Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

Chiziqli tenglamani yechish

1. 
   tenglamaning yechimini х‑ning ikkita funktsiya ko’paytmasi shaklida izlaymiz
   

y=u(x)v(x) (2)
Bu funktsiyalardan birini ixtiyoriy olish mumkin, ikkinchisi esa (1) tenglamaga asosan aniqlanadi. (2) tenglikning ikkala tomonini differentsiallaymiz.

hosilaning topilgan ifodasini (1) tenglamaga qo’yamiz.
(3)
funktsiyani
tenglama o’rinli bo’ladigan qilib tanlaymiz. Bu differentsial tenglamada o’zgaruvchilarni v₁ gа nisbatan аjratamiz; (4) tenglamaning noldan farqli biror yechimi topish yetarli bo’lgani uchun V(x) funktsiya deb
v(x)=e^-pdx (5)
ni olishimiz mumkin. v(x)0 bo’lishi o’z o’zidan ravshan.
v(x) ning topilgan qiymatini (3) tenglamaga qo’yib ekanini e’tiborga olib, v(x) yoki tenglamani hosil qilamiz, bundan y= ekani kelib chiqadi. V vаU ning bu qiymatini (2)formulaga qo’ysak natijada y=v(x) yoki y=v(x) (6) hosil bo’ladi.
Misol.
Yechimni ko’rinishda izlaymiz. Bu yerda bo’lib,
formulalar yordamida hisoblanadi.
va
bu berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimi.


Bernulli tenglamasi
Ushbu
(1)
ko’rinishdagi tenglamaga Bernulli tenglamasi deyiladi. Bu yerda n0, n1 (аks holda chiziqli tenglama hosil bo’ladi). Тenglamaning barcha hadlarini уⁿ gа bo’lamiz.
(2)
Endi z=y^-n+1аlmashtirishni bajaramiz. U holda

bu ifodalarni (2) tenglamaga qo’ysak, chiziqli tenglama hosil bo’ladi:

Bu tenglama umumiy inregralini topib, hamda z o’rniga уⁿ ifodani qo’yib, Bernulli tenglamasining umumiy integralini topamiz.
Misol tenglama umumiy echimini toping.
Yechish: Bu tenglama 1-tartibli chiziqli tenglamadir, unda bizga tenglama umumiy yechimning ko’rinishi
ekanligi ma’lum. Bizning misolda

bo’ladi.