Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

Tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan ba’zi bir yuqori tartibli
differensial tenglamalar
Yuqori tirtibli differensial tenglamaning eng sodda ko’rinishi
(3)
shaklda bo’ladi. Bu tenglama umumiy yechimini topish uchun uni va oralig’ida integrallaymiz, u holda ekanligidan
(4)
ifodaga ega bo’lamiz, bunda integrallash o’zgarmasi. (4) ni bir marta integrallab

integrallashni shunday davom ettirib, nihoyat ( -marta integrallashdan keyin) umumiy integralining
(5)
ifodani hosil qilamiz. Oxirgi (5) ifoda (3) tenglamani umumiy yechimi bo’ladi. Agar (2) boshlang’ich shartlar berilgan bo’lsa, ularga mos larni aniqlab differensial tenglamani xususiy yechimini topamiz.
1-misol: tenglamani ni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.
Yechish: Berilgan tenglamani ketma-ket uch marta integrallaymiz, u holda
,
.


.
Endi boshlang’ich shartlardan foydalanamiz dan .
dan ,
bundan . dan .
Demak xususiy yechim
.
1. Ushbu (1)
ko’rinishdagi tenglama noma’lum у funktsiyani oshkor holda o’z ichiga olmaydi belgilashlar kiritamiz. qo’yamiz
Bu ifodalarni (1) tenglamaga. U holda х ning noma’lum Р(х) funktsiyaga nisbatan birinchi tartibli
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab, uning p=p(х,c₁) umumiy yechimini topamiz, undan keyin munosabatdan (1) tenglamaning
y= ₁)dx+c₂ umumiy integralini topamiz.
Misol .
Zanjirli chiziq tenglamasini ni qaraaylik.
Yechish. deb olib, ni topamiz va biz p ga nisbatan birinchi tartibli tenglamani hosil qilamiz. O’zgaruvchilarni ajratsak tenglamaga kelamiz, bu tenglamani integrallab ni hosil qilamiz, bundan ekanligini topamiz. Buni yana bir marta integrallab berilgan tenglama umumiy echimini topamiz. Boshlang’ich shartlardan foydalanib , tenglama xususiy yechimi ni nopamiz.
Izoh: Yuqoridagi usul bilan tenglamani ham ham yechish mumkin. deb olib ni hosil qilamiz. Oxirgi tenglamadan p ni xning funktsiyasi sifatida aniqlab tenglikdan y yechimni topamiz.

1. 
   х erkli o’zgaruvchini oshkor holda o’z ichiga olmagan (2)
   

ko’rinishdagi tenglama. ni (2) –tenglamaga qo’ysak
tenglamani hosil qilamiz.
Buni integrallab p ni у vа ixtiyoriy с₁ o’zgarmas miqdorning funktsiyasi kabi aniqlaylik р=р(у, с₁)
Bu qiymatni munosabatga qo’ysak, х ning у funktsiyasi uchun birinchi tartibli _,c₁) differentsial tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglamani integrallab, dastlabki tenglamaning umumiy integralini topamiz.
Misol
tenglama umumiy integralini topaylik.
Yechish.
dap ni y ni funktsiyasi deb hisoblab, ni hosil qilamiz. Buni berilgan tenglamaga qo’ysak ga ega bo’lamiz. Oxirgi tenglamani integrallab ni hosil qilamiz. Bundan ga ega bo’lamiz., bunda deb olib ni yoki olamiz, bu erdan . Oxirgi integralni hisoblash uchun almashtirish qilamiz. U holda , bo’ladi. Buni integrallab ga yoki
tenglama umumiy integralini topamiz.