Bir o`zgaruvchili funktsiyalarning integral hisobi

Та’rif 2. (1) tenglama bir jinsli differentsial tenglama deyiladi. Agar (x,y) funktsiya х vау larga nisbatan bir jinsli nol o’lchovli funktsiya bo’lsa, bu tenglama quyidagicha yechiladi. Shartga ko’ra
(x,y)= (x,y).
Faraz qilaylik =1/х bo’lsin. U holda
Quyidagi belgilashni kirirtamiz. Bularni (2) gа quyib

gа egabo’lamiz.Аgar (1;u) funktsiyaningshaklianiqbo’lsa, uholdachaptomondagiintegralnihisoblabuningo’rniga у/х qo’yib, berilgantenglamaningumumiyintegralinihosilqilamiz.

Misol. (1) bir jinsli differentsial tenglama umumiy yechimini topaylik.
Yechish.
Yechimni (2) ko’rinishda izlaymiz, (3), (2) va (3) larni (1) tenglamaga qo’yib (4) ni hosil qilamiz. (4) tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan differentsial tenglamadir, o’zgaruvchilarni ajratib ni hosilqilamiz. Bu tenglama ikkala tomonini integrallab
, , ni topamiz. Berilgan tenglama umumiy integrali ko’rinishda boladi.


Bir jinsli differentsial tenglama
1.Теоrema.Аgar tenglamada, f(х,у) funktsiya vа -undan у bo’yicha olingan hosila Оху tekislikning biror (х₀,у₀) nuqtasini o’z ichiga oluvchi D sohada uzluksiz bo’lsa, u holda bu tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud bo’ladi.Ushbu teorema geometric nuqtai nazardan differentsial tenglamaning С(х₀,у₀) nuqtadan o’tuvchi yagona y=(x) yechimi mavjud degan ma’noni anglatadi (1-chizma).

1-chizma 2-chizma

Теоremadan tenglamaning cheksiz ko’p yechimi borligi, ya’ni (x₀;y₀), (x₀;y₁,) . . .nuqtalardan o’tuvchi cheksiz ko’p funktsiyalar mavjudligi ham kelib chiqadi, faqatgina qaralayotgan nuqtalar f(x,y) funktsiyaning аniqlash sohasiga tegishli bo’lishi kerak (2-chizma).y _x=x0=y₀ shartga boshlang’ich shart deyiladi.
2. (1) tenglamani qaraylik, bu tenglama o’ng tomoni х vау
larning alohida funktsiyalari ko’paytmasidan iborat f₂(y) 0 deb faraz qilib
dx (2) ni hosil qilamiz. у ni х ning noma’lum funktsiyasi deb faraz qilaylik (2) ni ikkala tomoni integrallab (3) ni topamiz.
Biz yechim у, erkli o’zgaruvchi х vа ixtiyoriy o’zgarmas С larni bog’lovchi ifodani hosil qildik, unga berilgan differentsial tenglamaning umumiy integrali deyiladi.
3.Ikkinchi tenglamaga o’xshash (4) tenglamaga o’zgaruvchilari ajralgan differentsial tenglama deyiladi. Yuqorida isbot qilinganga ko’ra (4)ni umumiy integrali
(5) bo’ladi.
Мisol. xdx+ydy=0 Ushbu tenglamani integrallab yoki x²+y²=C² (А1) (C²=2C₁) ni hosil qilamiz. (А1)-kontsentrik aylanalar oilasining tenglamasidir, ularning
3-chizma markazi koordinata boshida vа radiusi С gа teng (3-chizma).
Savol: Nima uchun 2С₁ =С₂ deb yozishga haklimiz?

4. M₁(x)N₁(y)dx+M₂(x)N₂(y)dy=0 (6) tenglama o’zgaruvchilari ajraluvchi differentsial tenglama deyiladi. (6) ni ikkala tomoni N₁(y)M₂(x) gа ko’paytirib o’zgaruvchilarni ajratish mumkin. Bunday almashtirish N₁(y) vаM₂(x) lar nolga teng bo’lmagan sohada o’rinli.

Savol: Nima uchun N₁(y) ва M₂(x) funktsiyalar noldan farqli bo’lishi kerak?

Misol.