Bir jinsli chetlari mustahkamlangan torning tashqi kuch ta’siridagi majburiy tebranishlarini tekshiramiz bu masala ushbu

Bir jinsli chetlari mustahkamlangan torning tashqi kuch ta’siridagi majburiy tebranishlarini tekshiramiz bu masala ushbu

(1)

tenglamaning

(2)

chegaraviy va

(3)

shartlarni qanoatlantiruvchi yechimni topishdan iboratdir.Bu masala yechimini

Bu erda funksiya (1) tenglamaning (2) chegaraviy va ushbu

(4)

boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi, esa _tenglamaning

(2) va (3) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidan iborat.Bu yechim esa quyidagiga teng:

.

va lar mos ravishda

formulalardan aniqlanadi.

(1)+(2)+(4) masalaning yechimini quyidagi qator ko‘rinishida izlaymiz.

(5)

Agar bu qator tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, (2) chegaraviy shartlarni o‘z-o‘zidan qanoatlantiradi.

Endi funksiyalarni shunday aniqlaymizki, (5) qator (1) tenglamani va (3) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin. Shu maqsadda (5) qatorni (1) tenglamaga qo‘yib, ushbu

(6)

tenglikni hosil qilamiz.

funksiyani da sinuslar bo‘yicha Fure qatoriga yoyamiz:

(7)

bunda

(6) va (7) yoyilmalarni taqqoslab, funksiyani aniqlash uchun o‘zgarmas koeffisentli differensial tenglamani hosil qilamiz

(8)

Oddiy differensial tenglamani hosil qilamiz. (5) qator bilan aniqlangan funksiya (4) boshlang‘ich shartlarni ham qanoatlantirishi uchun funksiyalar

(9)

shartlarni qanoatlantirishi yetarlidir.

(8) tenglamaning (9) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi ushbu

(10)

ko‘rinishga ega bo‘lamiz.

funksiyalarning bu qiymatlarini (5) ga qo‘ygandan so‘ng, hosil bo‘lgan qator va qatorni va bo‘yicha ikki marta differensiallash natijasida hosil bo‘lgan qatorlar tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda (5) qator (1), (2) va (4) masalaning yechimidan iborat bo‘ladi.

Shunday qilib (1)+(2)+(3) aralash masala yechimi ushbu

formula bilan beriladi. va lar mos ravishda

formulalardan aniqlanadi.

Izoh. Agar (2) chegaraviy shart o‘rniga quyidagi chegaraviy shartlar berilgan bo‘lsa, ularga mos almashtirishlarni keltiramiz.

:
:
:
:

Natijada, funksiya uchun (1)+(2)+(3) tipdagi masala kelib chiqadi.

Misol 11.1. Ushbu

(11)

(12)

(13)

aralash masalani yeching.

Yechish. (12) chegaraviy shartni bir jinsli chegaraviy shartga keltirish maqsadida (11)+(12)+(13) da quyidagicha

(14)

almashtirish bajaramiz, natijada ushbu

(15)

(16)

(17)

aralash masala hosil bo‘ladi. (15)+(16)+(17) masalaning yechimini

ko‘rinishda izlaymiz. Bunda funksiya ushbu

(18)

(19)

(20)

masalaning yechimi. funksiya esa, ushbu

(21)

(22)

(23)

masalaning yechimi. ni topamiz, ya’ni (18)+(19)+(20) masala yechimini

(24)

ko‘rinishida izlaymiz. (24) ni (18) ga qo‘yib, quyidagiga ega bo‘lamiz.

(25)

(26) ga ko‘ra

(26)

(27)

(26)+(27) Shturm – Liuvill masalasining yechimini topamiz. bo‘lganda (26)+(27) ning noldan farqli yechimi yo‘q, bo‘lganda (26) ning umumiy yechimi quyidagi

ko‘rinishda bo‘ladi. (27) ning birinchi shartiga ko‘ra . (27) ning ikkinchi shartiga ko‘ra:

Demak, funksiya (26)+(27) Shturm – Liuvill masalasining xos funksiyasi bo‘ladi. desak bo‘ladi. ni ko‘rinishda izlasak va (20) boshlang‘ich shartga e’tibor bersak, faqat bo‘lganda yechim boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirishini topishimiz mumkin.

ning topilgan qiymatini (32) ga qo‘yib, uni yechamiz, ya’ni ushbu

tenglamaning umumiy yechimini topamiz, desak

(29)

hosil bo‘ladi va (29) ni yechsak tenglik kelib chiqadi va

desak va boshlang‘ich shartlardan foydalansak,



<sub>ekanligi kelib chiqadi va



bo‘ladi.

Endi</sub> (21) +(22)+(23) masalaning yechimini topish bilan shug‘ullanamiz

Bu yechimni

ko‘rinishda izlasak va (21) tenglamaga olib borib qo‘ysak, (22) va (23) shartlarni e’tiborga olsak

desak va soddalashtirishlarni bajarsak

ekanligi kelib chiqadi.

Demak (1)+(2)+(3) masalaning yechimi funksiya quyidagicha bo‘ladi.