Bir jinisli differensial tenglamalar

5. Ikkinchi tartibli o’zgarmas koffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar.
Tayanch ibora va tushunchalar
Yuqori tartibli differensial tenglamalar, bevosita ketma-ket integrallanib yechiladigan yuqori tartibli tenglamalar, tartibni pasaytirish bilan yechiladigan yuqori tartibli differensial tenglamalar, ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar, ikkinchi tartibli bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan tenglamalar, chiziqli bog’langan va chiziqli bog’lanmagan funksiyalar, Vronskiy determinanti, ikkinchi tartibli o’zgarmas koffitsientli chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar, xarakteristik tenglama, Eyler formulasi.
.
1. ko’rinishdagi differensial tenglamalar
ko’rinishdagi differensial tenglama ketma-ket marta integrallash bilan uning yechimi topiladi. Har bir integrallashda bittadan ixtiyoriy o’zgarmas hosil bo’lib, natijada ta ixtiyoriy o’zgarmasga bog’liq umumiy yechim hosil bo’ladi.
1-misol. differensial tenglamaning bo’lganda bo’ladigan xususiy yechimini toping.
Yechish. desak, bo’lib, berilgan tenglama

ko’rinishda bo’ladi. Oxirgi tenglamani integrallab,

tenglamani hosil qilamiz.
bo’lganligi uchun

ya’ni,

Oxirgi tenglikni integrallab,

umumiy yechimni olamiz.
Endi berilgan boshlang’ich shartlarda Koshi masalasini yechamiz: bo’lganda bo’lganligi uchun,

Shunday qilib, Koshi masalasining yechimi

bo’ladi.
2. ko’rinishdagi differensial tenglamalar ko’rinishdagi differensial tenglama
almashtirish orqali birinchi tartibli differensial tenglamani yechishga keltiriladi.
2-misol. tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish: bilan almashtirib olsak

birinchi tartibli chiziqli tenglamaga kelamiz. Bu tenglamani yechib:

umumiy yechimni olamiz.
3. (erkli o’zgaruvchi oshkor qatnashmagan) bunday differensial tenglamaning umumiy yechimini almashtirib olib, birinchi tartibli tenglamaga keltirib yechim topiladi.

bo’ladi.
3-misol. differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. almashtirish olib, ekanligini hisobga olsak,
tenglama hosil bo’ladi. Bu birinchi tartibli o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama:
oxirgi tenglamani integrallab,

bundan

bo’ladi. ni hisobga olsak ,

bo’ladi.Oxirgi tenglikdan

bo’ladi.Bu berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.