Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

1.3. Qavariq va botiq funksiyalar. Kelgusi vaqtda qavariq va botiq deb ataluvchi funksiyalaridan ko’proq foydalanamiz. Shuning uchun bir qator ta’riflarini keltiramiz. Mayli o’lchamli chiziqli fazosi berilgan bo’lsin. qavariq to'plamida berilgan funksiyasini qavariq funksiya deb ataymiz, agarda to’plamidan olingan istalgan va nuqtalari uchun va istalgan uchun ushbu quyidagi munosabati o’rinli bo’lsa

(1.9)

Ko’pincha to’plami chiziqli fazosi bilan ustma-ust tushadi, yoki musbat to’plam bo’ladi.

Qavariq to’plamida berilgan funksiyasi botiq funksiya deb ataladi, agarda to’plamining istalgan bir ikki va nuqtalari uchun va istalgan uchun ushbu quyidagi munosabati o’rinli bo’lsa

. (1.10)

Agarda funksiyasi qavariq funksiya bo’lsa, unda funksiyasi botiq bo’ladi va aksincha. Uning geometrik ma’nosi quyidagini anglatadi: agarda qavariq yuzasi ( ) bo’lsa, unda bu yuzaning istalgan bir ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesmasi shu yuzada yotadi yoki undan yuqori bo’ladi( 1 rasm).

1- rasm

Funksiyalarning qavariqligi va botiqligi fazosidagi qavariq to’plamlarga qarata aniqlanadiganligini atab o’tamiz, sababi ta’rifi bo’yicha istalgan bir va nuqtalari bilan birgalikda barcha uchun nuqtalari ham bu to’plamiga tegishli bo’ladi. Bu aytilganlar to’plamlar qavariq bo’lgan holatda o’rinli bo’ladi.

Agarda (1.9) va (1.10) tengsizliklari qa’tiy bo’lib va ular bajarilsa, unda funksiyasi qa’tiy qavariq(qa’tiy botiq) bo’ladi. Uning geometrik ma’nosi bo’yicha bu yuzaning istalgan bir ikki nuqtasini tutashtiruvchi kesmasi yuzadan yuqori(past) joylashgan bo’ladi. qiymatlari uchun qa’tiy qavariq bo’lgan funksiyasi, biroq uchun qa’tiy emas qavariq bo’lgan funksiyasi 1 rasmda ko’rsatilgan.

Agarda bo’lsa, bunda - ba’zi-bir qavariq to’plamidagi qavariq funksiyalari, unda to’plamida funksiyasi ham qavariq bo’ladi.

Botiq funksiyalarning yig’indisi botiq funksiya bo’ladi degan tasdiqlash to’g’ri bo’ladi.

Agarda - fazosining musbat bo’lagida berilgan qavariq funksiyasi bo’lsa, unda shartlarini qanoatlandiradigan barcha nuqtalarning to’plami qavariq bo’ladi.

Bu tasdiqlashni isbotlash uchun da to’plami istalgan va nuqtalari bilan birgalikda nuqtasini o’z ichiga oladiganligini ko’rsatamiz, bunda . qavariq funksiya bo’lgani uchun, unda

.

va nuqtalari uchun va shartlari bajariladi.

Unda barcha uchun

bo’ladi.

Bundan

va

Isbotlandi.

Qavariq to’plamlarning kesishmasi qavariq bo’ladi, shuning uchun shartlarini qanoatlandiradigan barcha nuqtalar to’plami qavariq bo’ladi, agarda « » noma’lumiga ega tengsizliklarida qavariq funksiya bo’lsa, « » noma’lumiga ega tengsizliklarida esa botiq funksiya bo’lsa barcha uchun.

Funksiyaning qavariqligini yoki botiqligini aniqlaganda funksiya uzluksiz yoki differensiallanuvchi bo’lishi talab etilmaydi. Agarda to’plamining ichki nuqtalarida funksiyasi eng kamida bir marotaba uzluksiz va differensiallanuvchi bo’lib va qavariq bo’lsa, unda ushbu quyidagi natijani olishga bo’ladi.

(1.9) dan uchun

topamiz.

Eng kamida birinchi tartibli xususiy hosilalari bor bo’lgani sababli, unda

funksiyasini Teylor formulasi bo’yicha quyidagicha yozishga bo’ladi:

Bunda - funksiyaning gradienti, bu gradient nuqtasida hisoblangan.

Unda



da chegarasiga o’tib, quyidagiga ega bo’lamiz:

Bu sharti istalgan ichki va nuqtalari uchun bajariladi va funksiyasining qavariq bo’lishining zaruriy va yetarli sharti bo’ladi. Agarda funksiyasi o’zining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’lsa va to’plamida botiq bo’lsa, unda

(1.11)

Qavariq va botiq funksiyalarning ba’zi-bir xususiyatlarini qaraymiz.