Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar

6 -ma’ruza

Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar sinfi, tasvirlar sinfi.

Operatsion hisobning asosiy teoremalari

Ma’ruza rejasi:

1. 
   Laplas almashtirishi.
   
2. 
   Original va tasvir.
   
3. 
   Operatsion hisobning asosiy teoremalari.
   

Laplas almashtirishi

Haqiqiy o’zgaruvchili ƒ(𝑡) funksiyaning Laplas almashtirishi deb

∞

𝐹⁽𝑝⁾ = ∫ ƒ(𝑡)𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑝 (1)

0

formula bilan aniqlanuvchi kompleks o’zgaruvchili 𝐹⁽𝑝⁾ funksiyaga aytiladi, bu

yerda 𝑝 = 𝑠 + i𝑟.

Integral kompleks 𝑝 parametrga bog’liq bo’lib, unga Laplas integrali deyiladi.

ƒ(𝑡) funksiya qanday shartlarni qanoatlantirishi kerakki, (1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lib haqiqatan ham biror 𝐹⁽𝑝⁾ funksiyani aniqlasin?

Faraz qilaylik quyidagi shartlar bajarilsin:

1. 
   ƒ(𝑡) funksiya 𝑡 ≥ 0 da bo’lakli uzluksiz, demak funksiya uzluksiz yoki faqat birinchi tur uzilishga ega (har bir chekli oraliqda uzilishlar soni chekli);
   
2. 
   Barcha 𝑡 < 0 larda ƒ⁽𝑡⁾ = 0;
   
3. 
   𝑡 → +∞ da ^|ƒ⁽𝑡^)| funksiyaning o’sishi ko’rsatgichli funksiyadan oshmaydi, ya’ni shunday 𝑀 > 0 va 𝑠 mavjudki, barcha 𝑡 larda
   

^|ƒ⁽𝑡^)| ≤ 𝑀𝑒^𝑠𝑡 (2)

2. 
   tengsizlik o’rinli bo’ladigan barcha 𝑠 qiymatlarning quyi chegarasi 𝑠₀
   

qiymatga funksiya o’sishining ko’rsatgichi deb ataladi.

3-shart Laplas integrali yaqinlashishini ta’minlaydi. Bu shartni barcha chegaralangan funksiyalar, shuningdek barcha 𝑡^𝑘 (𝑘 > 0) darajali funksiyalar qanoatlantiradi.