Laplas almashtirilishi, uning xossalari. Originallar

Original va tasvir

1-Ta’rif. 1-3 shartlarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy ƒ⁽𝑡⁾ funksiya original deb ataladi; (1) foormula bilan aniqlanuvchi 𝐹⁽𝑝⁾ funksiya esa ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning tasviri deb ataladi

Original va unga mos tasvir orasidagi bog’lanishni

ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝⁾, 𝐹⁽𝑝⁾ → ƒ⁽𝑡⁾ yoki 𝐿^[ƒ⁽𝑡^)] = 𝐹⁽𝑝⁾

ko’rinishda belgilaymiz.

Shuni ta’kidlash lozimki, fizik jarayonlarni ifodalaydigan funksiyalarning aksariyati 1-3 shartlarni qanoatlantiradi.

Operatsion hisobning ustunlik jihati shundaki, differensiallash amali ko’paytirish bilan, integrallash esa bo’lish bilan almashinadi.

Operatsion hisob va uning tadbiqlari uchun muhim bo’lgan ba’zi funksiyalarning tasvirlarini topishga doir misollar qaraymiz.

1-Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini toping.

• 
  a) Birlik funksiya va uning tasviri.
  

Xevisaydning birlik funksiyasini qaraymiz:


1, 𝑡 ≥ 0
𝜃(𝑡) = { ^{0, 𝑡 < 0}

Bu funksiyaning tasvirini hisoblaymiz ⁽𝑝 = 𝑠 + i𝑟, 𝑠 = Re𝑝⁾

∞

𝐹⁽𝑝⁾ = ∫ 𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑝 = −

0

_𝑒−𝑝𝑡 ^∞


0
_𝑝 |

1

= _𝑝.

𝜃^(𝑡^)➛ ^1 𝑝

(3)

Bu tenglik Re𝑝 > 0 shart bajarilganda o’rinli. Demak

Agar 𝑔(𝑡) funksiya uchun 1 va 3 shartlar bajarilib 2 shart o’rinli bo’lmasa, u holda

𝑔(𝑡), 𝑡 ≥ 0
ƒ⁽𝑡⁾ = 𝜃⁽𝑡⁾ · 𝑔(𝑡) = { ^{0, 𝑡 < 0}

funksiya uchun 2 shart bajariladi va bu funksiya original bo’ladi.

2. 
   tenglikda 𝜃⁽𝑡⁾ ko’paytuvchini ko’paytuvchini tushirib qolamiz va funksiyani 𝑡 < 0 da nolga teng deb hisoblaymiz. Bu holda
   

1

1 ➛ _𝑝 ;

2. 
   ƒ⁽𝑡⁾ = 𝑒^𝖺𝑡 (𝘢 ixtiyoriy kompleks son).
   

∞ ∞

𝐹⁽𝑝⁾ = ∫ 𝑒^−𝑝𝑡𝑒^𝖺𝑡𝑑𝑝 = ∫ 𝑒^{−(𝑝−𝛼)𝑡}𝑑𝑝

0 0

Bu integral Re⁽𝑝 − 𝘢⁾ > 0, demak Re𝑝 > Re𝘢 da yaqinlashuvchi va

𝐹⁽𝑝⁾ = ¹

𝑝 − 𝘢

ya’ni

𝑒^𝖺𝑡 ➛ ¹ ;

𝑝 − 𝘢

2. 
   ƒ⁽𝑡⁾ = cos 𝜔𝑡, bu yerda 𝜔 ixtiyoriy haqiqiy son. Ma’lumki,
   

Shuning uchun ta’rif bo’yicha

cos 𝜔𝑡 = ¹ [𝑒^i𝜔𝑡 + 𝑒^−i𝜔𝑡].

2

𝐹⁽𝑝⁾

∞

= ∫ 𝑒

−𝑝𝑡

₁ ∞

cos 𝜔𝑡 𝑑𝑡 = ₂ ∫ 𝑒
−𝑝𝑡

_𝑒i𝜔𝑡

₁ ∞

𝑑𝑡 + ₂ ∫ 𝑒
−𝑝𝑡

_𝑒−i𝜔𝑡 ₌

0

₁ ∞ ₁ ∞

0 0

1 1 𝑝

⁼ 2 ^{∫ 𝑒}−(𝑝−i𝜔)𝑡^{𝑑𝑡 +} 2 ^{∫ 𝑒}−(𝑝+i𝜔)𝑡^{𝑑𝑡 =} 2⁽𝑝 − i𝜔^{) +} 2⁽𝑝 + i𝜔^{) =} 𝑝² + 𝜔^2.

0 0

cos 𝜔𝑡 ➛ ^𝑝, 𝑝^2+ 𝜔^2

bu yerda Re𝑝 > 0.

Shunday qilib

c) Xuddi yuqoridagi kabi amallarni bajarsak

sin 𝜔𝑡 ➛ ^𝜔

𝑝² + 𝜔²

munosabatni hosil qilamiz (tekshiring).

d) ƒ⁽𝑡⁾ = 𝑒^−𝛼𝑡 cos 𝜔𝑡, 𝛼 − kompleks son. Ta’rifga ko’ra

𝐹⁽𝑝⁾

∞

= ∫ 𝑒

−𝑝𝑡

_𝑒−𝛼𝑡

₁ ∞

cos 𝜔𝑡 𝑑𝑡 = ₂ ∫ 𝑒

−𝑝𝑡

_𝑒−𝛼𝑡

(𝑒

i𝜔𝑡

+ 𝑒

−i𝜔𝑡

)𝑑𝑡 =

0 0

1 ^∞ 1 ^∞ 1 1

_{= 2 ∫ 𝑒}−⁽𝑝+𝛼−i𝜔⁾𝑡_{𝑑𝑡 + 2 ∫ 𝑒}−⁽𝑝+𝛼+i𝜔⁾𝑡_{𝑑𝑡 = 2(𝑝 + 𝛼 − i𝜔) + 2(𝑝 + 𝛼 + i𝜔) =}

0

Shunday qilib

0

₌ 𝑝 + 𝛼

⁽𝑝 + 𝛼⁾² + 𝜔²
, Re⁽𝑝 + 𝛼⁾ > 0.

𝑒^−𝛼𝑡 cos 𝜔𝑡 ➛ ^{𝑝 + 𝛼} ;

⁽𝑝 + 𝛼⁾² + 𝜔²

5. 
   Xuddi shu singari
   

𝑒^−𝛼𝑡 sin 𝜔𝑡 ➛ <sup>𝜔

(</sup>𝑝 + 𝛼⁾² + 𝜔²

munosabat o’rinli bo’ladi (mashq sifatida tekshiring);

5. 
   ƒ⁽𝑡⁾ = sh𝑎𝑡, 𝑎 − kompleks son
   

_𝑒𝑎𝑡 _{− 𝑒}−𝑎𝑡

Shuning uchun

( )

∞

−𝑝𝑡

sh𝑎𝑡 =
₁ ∞

2
−𝑝𝑡₍

𝑎𝑡

−𝑎𝑡₎

𝐹 𝑝 = ∫ 𝑒

sh𝑎𝑡𝑑𝑡 = ₂ ∫ 𝑒 𝑒 − 𝑒 𝑑𝑡 =

0

₁ ∞ ₁ ∞

0

1 1 𝑎

⁼ 2 ^{∫ 𝑒}−(𝑝−𝑎)𝑡^{𝑑𝑡 −} 2 ^{∫ 𝑒}−(𝑝+𝑎)𝑡^{𝑑𝑡 =} 2⁽𝑝 − 𝑎^{) −} 2⁽𝑝 + 𝑎^{) =} 𝑝² − 𝑎^2,

0 0

bu yerda Re𝑝 > ^|Re𝑎^|

Demak, sh𝑎𝑡 ➛ 𝑎/(𝑝² − 𝑎²);

5. 
   ch𝑎𝑡 ➛ 𝑝/(𝑝² − 𝑎²), Re𝑝 > ^|Re𝑎^| (mashq sifatida tekshiring).◄
   

Endi har qanday original uchun tasvir mos kelishi haqidagi teoremaga o’tamiz. Quyidagi teorema o’rinli:

1. 
   Teorema. Har qanday ƒ⁽𝑡⁾ original funksiya uchun, Re𝑝 > 𝑠₀ yarim tekislikda (1) tenglik bilan aniqlanuvchi 𝐹(𝑝) tasvir funksiya mavjud va ushbu yarim tekislikda 𝐹(𝑝) analitik funksiyadan iborat, bu yerda 𝑠₀ − original funksiyaning o’sish ko’rsatgichi.
   

• 
  Original funksiya ta’rifining 3-shartiga ko’ra ^|ƒ⁽𝑡^)| ≤ 𝑀𝑒^𝑠0𝑡. Agar
  

𝑝 = 𝑠 + i𝑟 bo’lsa ^|𝑒^−𝑝𝑡| = 𝑒^−𝑠𝑡, shuning uchun

_{|ƒ(𝑡)𝑒}−𝑝𝑡_{| ≤ 𝑀𝑒}𝑠₀𝑡_𝑒−𝑠𝑡 _{= 𝑀𝑒}−⁽𝑠−𝑠₀⁾𝑡

Bu yerdan

∞

−𝑝𝑡

∞

−𝑝𝑡
∞

𝑀

0
−⁽𝑠−𝑠 ⁾𝑡

|∫ ƒ(𝑡)𝑒

0

Shunday qilib

𝑑𝑡| ≤ ∫ |ƒ(𝑡)𝑒

0

|𝑑𝑡 ≤ 𝑀∫ 𝑒

0

𝑑𝑡 = _{𝑠 − 𝑠}0

^|𝐹(𝑝)^|

∞

= |∫ ƒ(𝑡)𝑒

0
−𝑝𝑡

𝑑𝑡| ≤ ^𝑀

𝑠 − 𝑠₀

Bu yerdan (1) integralning mutlaq yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni tasvir funksiya mavjud. ◄

Natija. Agar ƒ(𝑡) original bo’lsa, u holda lim

Re𝑝→∞

𝐹⁽𝑝⁾ = 0

• 
  Agar ƒ(𝑡) ning o’sish ko’rsatgichi 𝑠₀, 𝑠 = Re𝑝 bo’lsa yuqorida isbotlanganiga ko’ra
  

^|𝐹(𝑝)^| ≤ ^𝑀

𝑠 − 𝑠₀

Agar bu tengsizlikda 𝑠 = Re𝑝 → ∞ da limitga o’tsak lim

Re𝑝→∞
𝐹⁽𝑝⁾ = 0.◄

Operatsion hisobning asosiy teoremalari

Bevosita ta’rif yordamida tasvirni topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi, chunki hisoblanishi kerak bo’lgan integral murakkablashib ketishi mumkin. Biz Laplas almashtirishining shunday xossalariga to’xtalamizki, ular bir qancha sinfdagi funksiyalarning tasvirini topish imkonini beradi. Bundan tashqari ular tasvir ma’lum bo’lsa, originalni tiklash usullarini ifodalaydi.

2. 
   Teorema. (Originalning yagonaligi) Agar ƒ₁(𝑡) va ƒ₂(𝑡) funksiyalarning tasvirlari o’zaro teng bo’lsa, bu funksiyalar uzluksiz bo’ladigan barcha 𝑡 > 0 nuqtalarda ustma ust tushadi.
   
3. 
   Teorema. (Chiziqlilik) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) va 𝑔(𝑡) ➛ 𝐺(𝑝) bo’lsa, u holda ixtiyoriy 𝜆 va 𝜇 kompleks sonlari uchun
   

𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡⁾ ➛ 𝜆𝐹⁽𝑝⁾ + 𝜇𝐺⁽𝑝⁾ (4)

• 
  Ta’rif bo’yicha 𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡⁾ funksiyaning originalini integralning chiziqliligidan foydalanib topamiz
  

∞

𝐿^[𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡^)] = ∫ ^[𝜆ƒ⁽𝑡⁾ + 𝜇𝑔⁽𝑡^)]𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 =

0

∞ ∞

= 𝜆∫ ƒ⁽𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 + 𝜇∫ ƒ⁽𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 = 𝜆𝐹⁽𝑝⁾ + 𝜇𝐺⁽𝑝⁾. ◄

0 0

Chiziqlilik teoremasiga misol tariqasida sin 𝜔𝑡 funksiyaning tasvirini topamiz.

sin 𝜔𝑡 = ¹ (𝑒^i𝜔𝑡 − 𝑒^−i𝜔𝑡) ➛ ¹ ( ¹ − ¹ ) = ^𝜔

2i 2i 𝑝 − i𝜔 𝑝 + i𝜔 𝑝² + 𝜔²

4. 
   Teorema. (O’xshashlik) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) bo’lsa, u holda ixtiyoriy
   

ƒ^(𝑎𝑡^)➛ ^1𝐹 (^𝑝) 𝑎 𝑎

(5)

𝑎 > 0 uchun

• 
  ƒ⁽𝑎𝑡⁾ funksiyaning tasvirini hisoblash uchun, integralda 𝑎𝑡 = 𝑟
  

almashtirish bajaramiz:

∞ ₁ ∞ _{𝑝 1} ∞ _𝑝

𝐿^[ƒ⁽𝑎𝑡^)] = ∫ ƒ⁽𝑎𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 =

0

∫ ƒ⁽𝑎𝑡⁾𝑒^{−𝑎𝑎𝑡}𝑑⁽𝑎𝑡⁾ =

𝑎 ₀

∫ ƒ⁽𝑟⁾𝑒^−𝑎𝑐𝑑⁽𝑟⁾ =

𝑎 ₀

1 𝑝

= _𝑎 𝐹 ( )

𝑎

5. 
   munosabatni hosil qoldik.◄
   

5. 
   Teorema. (Siljish) Agar ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝⁾, 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 bo’lsa, u holda
   

𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝 − 𝑎⁾ (6)

• 
  Ta’rif bo’yicha 𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾ ning tasvirini topamiz
  

𝐿^[𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡^)] =

∞ ∞

𝐿^[𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡^)] = ∫ 𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡 = ∫ ƒ⁽𝑡⁾𝑒^{−(𝑝−𝑎)𝑡}𝑑𝑡 = 𝐹⁽𝑝 − 𝑎⁾.◄

0 0

Demak, siljish teoremasiga ko’ra originalni 𝑒^𝑎𝑡 ga ko’paytirish, tasvir argumentining 𝑎 qiymatga siljishiga olib kelar ekan. Bu teorema yordamida, agar

ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning tasviri ma’lum bo’lsa, 𝑒^𝑎𝑡ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning tasvirini topish mumkin. Masalan,

𝑒^𝛼𝑡ch𝜔𝑡 ➛ ^{𝑝 − 𝑎} ;

⁽𝑝 − 𝑎⁾² − 𝜔²

𝑒^𝛼𝑡sh𝜔𝑡 ➛ ^𝜔

⁽𝑝 − 𝑎⁾² − 𝜔²

6. 
   Teorema. (Originalni differensiallash) Agar ƒ⁽𝑡⁾ ➛ 𝐹⁽𝑝⁾ va
   

ƒ⁽𝑡⁾, ƒ^′(𝑡⁾, ƒ"⁽𝑡⁾, … , ƒ^(𝑛)(𝑡⁾ bu ƒ(𝑡) originalning hosilalari bo’lsa, u holda

ƒ^′(𝑡⁾ ➛ 𝑝𝐹⁽𝑝⁾ − ƒ⁽0⁾; ƒ"⁽𝑡⁾ ➛ 𝑝²𝐹⁽𝑝⁾ − 𝑝ƒ⁽0⁾ − ƒ′(0);

ƒ^(𝑛)(𝑡⁾ ➛ 𝑝^𝑛𝐹⁽𝑝⁾ − 𝑝^𝑛−1ƒ⁽0⁾ − ⋯ − 𝑝ƒ^(𝑛−2)(0⁾ − ƒ^(𝑛−1)(0⁾ (7)

• 
  Ta’rifga ko’ra
  

∞

𝐿^[ƒ^′(𝑡^)] = ∫ ƒ^′(𝑡⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡

0

Bu integralni bo’laklab integrallaymiz: 𝑢 = 𝑒^−𝑝𝑡, 𝑑𝑣 = ƒ^′(𝑡⁾𝑑𝑡, 𝑑𝑢 = −𝑝𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡,

𝑣 = ƒ⁽𝑡⁾, demak

[ ^′( )]

∞

^′( )

−𝑝𝑡
−𝑝𝑡

( ) ^∞

∞

_{( )} −𝑝𝑡

0
𝐿 ƒ 𝑡 = ∫ ƒ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡 = 𝑒 ƒ 𝑡 | + 𝑝∫ ƒ 𝑡 𝑒 𝑑𝑡

0 0

ƒ⁽𝑡⁾ funksiyaning o’sish tezligi Re𝑝 dan katta bo’lganligi uchun 𝑡 → ∞ da

^|𝑒^−𝑝𝑡ƒ⁽𝑡^)| → 0. Shuning uchun ƒ^′(𝑡⁾ ➛ 𝑝𝐹⁽𝑝⁾ − ƒ⁽0⁾.

ƒ"⁽𝑡⁾ ning tasvirini topish uchun bu usulni ikki marta qo’llaymiz. Agar

ƒ^(𝑛)(𝑡⁾ tasviri uchun bu usulni 𝑛 marta qo’llasak (7) formula kelib chiqadi. ◄ Agar ƒ^(𝑘)(0⁾ = 0 𝑘 = 0^̅̅,^̅𝑛^̅̅̅−^̅̅̅1^̅ bo’lsa, (7) formula soddalashib

ƒ^(𝑛)(𝑡) ➛ 𝑝^𝑛𝐹(𝑝)

ko’rinishga keladi. Xususan ƒ^′(𝑡⁾ ➛ 𝑝𝐹⁽𝑝⁾.

2-Misol. 𝛼𝑒^𝛼𝑡 sin 𝜔𝑡 + 𝜔𝑒^𝛼𝑡 cos 𝜔𝑡 funksiyaning tasvirini toping.

• 
  Ma’lumki, 𝑒^𝛼𝑡 sin 𝜔𝑡 ➛ 𝜔/(⁽𝑝 − 𝛼⁾² + 𝜔²). Agar bu yerda originalni differensiallash teoremasini qo’llasak
  

yoki

⁽𝑒^𝛼𝑡 sin 𝜔𝑡^)′ ➛ 𝑝 <sup>𝜔

(</sup>𝑝 − 𝛼⁾² + 𝜔²

− 𝑒^−𝛼𝑡 sin 𝜔𝑡^|𝑡=0

𝛼𝑒^𝛼𝑡 sin 𝜔𝑡 + 𝜔𝑒^𝛼𝑡 cos 𝜔𝑡 ➛ 𝑝𝜔/(⁽𝑝 − 𝛼⁾² + 𝜔²). ◄

7. 
   Teorema. (Originalni integrallash) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) bo’lsa, u holda
   

∞

∫ ƒ⁽𝑟⁾𝑑𝑟 ➛ 𝐹⁽𝑝⁾/𝑝 (8)

0

• 
  Agar ƒ(𝑡) original bo’lsa,
  

∞

𝑔⁽𝑡⁾ = ∫ ƒ⁽𝑟⁾𝑑𝑟

0

ham original bo’lib 𝑔^′(𝑡⁾ = ƒ(𝑡), 𝑔⁽0⁾ = 0 tengliklar o’rinli. Agar 𝑔(𝑡) ➛ 𝐺(𝑝) bo’lsa, 𝑔(𝑡) ni differensiallab, originalni differensiallash teoremasiga asosan ƒ⁽𝑡⁾ = 𝑔^′(𝑡) ➛ 𝑝𝐺(𝑝), ya’ni 𝐹⁽𝑝⁾ = 𝑝𝐺⁽𝑝⁾ ga ega bo’lamiz. Demak

∞

∫ ƒ⁽𝑟⁾𝑑𝑟 ➛ 𝐺⁽𝑝⁾ = 𝐹⁽𝑝⁾/𝑝. ◄

0

7. 
   Teorema. (Tasvirni differensiallash) Agar 𝐹(𝑝) → ƒ(𝑡) bo’lsa, u holda
   

𝐹^(𝑛)(𝑝⁾ → ⁽−𝑡^)𝑛ƒ⁽𝑡⁾. (9)

• 
  𝐹(𝑝) funksiya Re𝑝 > 𝑠₀ (𝑠₀ − ƒ(𝑡) funksiyaning o’sish tezligi) yarim tekislikda analitik bo’lganligi uchun, uning ixtiyoriy tartibdagi hosilasi mavjud. Shunga asosan 𝐹(𝑝) funksiyadan hosila olsak,
  

∞ _∂


0
^′( )

−𝑝𝑡 _{( )}

∞

−𝑝𝑡 _{( )}

demak,

𝐹 𝑝

= ∫ _∂𝑝 (𝑒

ƒ 𝑡

)𝑑𝑡 = ∫ 𝑒

0

(−𝑡ƒ 𝑡

)𝑑𝑡

𝐹^′(𝑝) ➛ ⁽−𝑡⁾ƒ(𝑡)

𝐹"(𝑝) = ⁽𝐹^′(𝑝)⁾′ ➛ (−𝑡)⁽−𝑡⁾ƒ(𝑡) = 𝑡²ƒ(𝑡)

9. 
   formulani keltirib chiqarish uchun induktsiya usulini qo’llash mumkin. ◄
   

3. 
   Misol. 𝑡^𝑛 funksiyaning tasvirini toping
   

• 
  
  ′
  Buning uchun 𝑡, 𝑡², … funksiyalarning tasvirlarini yuqoridagi teoremaga asosan topamiz
  

( )
𝑡 = 𝑡 · 1 ➛ − ¹

𝑝

₌ 1

′
_𝑝2

( ₂)
𝑡² = 𝑡 · 𝑡 ➛ − ¹

𝑝

va hokazo bu jarayonni 𝑛 marta takrorlasak

_{𝑡𝑛 ➛} 𝑛!

_𝑝𝑛+1

₌ 2

_𝑝3

ni hosil qilamiz. Agar bu yerda siljish teoremasini qo’llasak

_𝑒−𝑎𝑡_𝑡𝑛 _➛ <sup>𝑛!

(</sup>𝑝 − 𝑎^)𝑛+1

bo’ladi.◄

3. 
   Misol. Quyidagi funksiyalarning tasvirlarini tasvirni differensiallash teoremasidan foydalanib hisoblang.
   

• 
  a) ƒ⁽𝑡⁾ = 𝑡 cos 𝜔𝑡. Tasvirni differensiallash teoremasiga asosan
  

𝑡 cos 𝜔𝑡 ➛ − ( ^𝑝 )′

𝑝² + 𝜔²

b) ƒ⁽𝑡⁾ = 𝑡 sin 𝜔𝑡

𝑝² − 𝜔²

^{= (}𝑝² + 𝜔^{2)2 ;}

)
𝑡 sin 𝜔𝑡 ➛ − ( ^𝜔 ′ = ^2𝜔𝑝 ;

c) ƒ⁽𝑡⁾ = 𝑡ch𝑎𝑡

a) ƒ⁽𝑡⁾ = 𝑡sh𝑎𝑡

𝑝² + 𝜔²
𝑡ch𝑎𝑡 ➛ − ( ^𝑝 )′

𝑝² − 𝑎²

⁽𝑝² + 𝜔²⁾²
𝑝² + 𝑎<sup>2

= (</sup>𝑝² − 𝑎^{2)2 ;}

)
𝑡sh𝑎𝑡 ➛ − ( ^𝑎 ′ = ^2𝑝𝑎

munosabatlarni hosil qilamiz. ◄

𝑝² − 𝑎<sup>2

(</sup>𝑝² − 𝑎²⁾²

9. 
   

   ƒ(𝑡) ^∞ ( ) 𝑡 ➛ ∫ 𝐹 £ 𝑑£ 𝑝

   (10)

   
   
   
   Teorema. (Tasvirni integrallash) Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) va ƒ(𝑡)/𝑡 original bo’lsa, u holda
   

• 
  ƒ(𝑡)/𝑡 ➛ Φ(𝑝) bo’lsin. 𝐹(𝑝) funksiyani (Re𝑝 > 𝑎 yarim tekislikda analitik) differensiallab topamiz
  

_{( )} ^∞ ƒ(𝑡)

−𝑝𝑡

Φ 𝑝 = ∫ _𝑡 𝑒

𝑑𝑡

_∞ 0

Φ^′(𝑝⁾ = −∫ 𝑒^−𝑝𝑡ƒ⁽𝑡⁾𝑑𝑡 = −𝐹(𝑝)

0

Bu tenglikni (𝑝, ∞) da integrallasak

∞

Φ⁽𝑝⁾ − Φ⁽∞⁾ = ∫ 𝐹⁽£⁾𝑑£

𝑝

1. 
   Teoremaning natijasiga ko’ra Φ⁽∞⁾ = 0 va
   

∞

Φ⁽𝑝⁾ = ∫ 𝐹⁽£⁾𝑑£

𝑝

ya’ni
∞

ƒ(𝑡)/𝑡 ➛ ∫ 𝐹⁽£⁾𝑑£. ◄

𝑝

3. 
   Misol. Integral sinus 𝑠i𝑡 ning tasvirini toping:
   

^𝑡 sin 𝑟

• 
  9-Teoremaga asosan
  

𝑠i𝑡 = ∫

0

_𝑟 𝑑𝑟

^{sin 𝑡 ∞ 1} ∞ ^𝜋


𝑝

𝑡
➛ ∫ _{1 + £2} 𝑑£ = arctg £ | _𝑝 = ₂ − arctg 𝑝

Oxirgi munosabatga originalni integrallash teoremasini qo’llaymiz, u holda

𝑠i𝑡 ➛ ^𝐹(𝑝) = ¹ (^𝜋 − arctg 𝑝)

𝑝 𝑝 2

munosabatga ega bo’lamiz.◄

10-Teorema. (Originalning kechikish teoremasi)

Agar ƒ(𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) va 𝑟 > 0 bo’lsa, u holda

ƒ⁽𝑡 − 𝑟⁾ ➛ 𝑒^−𝑝𝑐𝐹⁽𝑝⁾. (11)

• 
  ƒ⁽𝑡 − 𝑟⁾ ning tasvirini topish uchun integralda o’zgaruvchini almashtiramiz
  

∞

[ ( )] (

₎ −𝑝𝑡

𝑡 − 𝑟 = 𝑡₁

∞

_{( )} −𝑝⁽𝑡₁+𝑐⁾

𝐿 ƒ

𝑡 − 𝑟

= ∫ ƒ 𝑡 − 𝑟 𝑒 𝑑𝑡 = | _{𝑑𝑡 = 𝑑𝑡1} | = ∫ ƒ

𝑡₁ 𝑒

𝑑𝑡₁ =

∞ ⁰ ∞

−𝑐

= ∫ ƒ⁽𝑡₁⁾𝑒^−𝑝𝑡1 𝑒^−𝑝𝑐𝑑𝑡₁ = 𝑒^−𝑝𝑐∫ ƒ⁽𝑡₁⁾𝑒^−𝑝𝑡1 𝑑𝑡₁ = 𝑒^−𝑝𝑐𝐹⁽𝑝⁾. ◄

0 0

Bu teoremada kechikish so’zining ma’nosi quyidagicha: ƒ(𝑡) va ƒ⁽𝑡 − 𝑟⁾ bir xil funksiyalar bo’lib, farq shundaki, ƒ⁽𝑡 − 𝑟⁾ funksiya grafigi ƒ(𝑡) ga gisbatan 𝑟 birlik o’ngga surilgan (1 rasm).

1- rasm
Demak, fizik jihatdan ƒ(𝑡) va ƒ⁽𝑡 − 𝑟⁾ funksiyalar bir xil jarayonni ifodalaydi faqatgina ƒ⁽𝑡 − 𝑟⁾ funksiya ifodalaydigan jarayon 𝑟 vaqtga kechikib boshlanadi.

2-Ta’rif. ƒ va 𝑔 funksiyalarning ƒ * 𝑔 ko’rinishda belgilanadigan o’ramasi

deb
𝑡

⁽ƒ * 𝑔⁾⁽𝑡⁾ = ∫ ƒ⁽𝑟⁾ · 𝑔⁽𝑡 − 𝑟⁾𝑑𝑟 (12)

0

tenglik bilan aniqlanadigan funksiyaga aytiladi.

6-Misol. ƒ⁽𝑡⁾ = 𝑡 , 𝑔⁽𝑡⁾ = 𝑒^𝑡 funksiyalarning o’ramasini toping.

• 
  Bu funksiyalarning (12) o’ramasini bo’laklab integrallaymiz
  

0
𝑡

𝑡 𝑡−𝑐

𝑢 = 𝑟 𝑑𝑣 = 𝑒^𝑡−𝑐𝑑𝑟

𝑡−𝑐 ^𝑡

𝑡

𝑡−𝑐

𝑡 * 𝑒

= ∫ 𝑟𝑒

0

𝑑𝑟 = |

𝑑𝑢 = 𝑑𝑟 𝑣 = −𝑒

_𝑡−𝑐| = −𝑟𝑒

| + ∫ 𝑒

0

𝑑𝑟 =

= −𝑡 − 𝑒^𝑡−𝑐 |^𝑡

0

Demak, 𝑡 * 𝑒^𝑡 = 𝑒^𝑡 − 𝑡 − 1. ◄

= −𝑡 − 1 + 𝑒^𝑡

11-Teorema (Tasvirlar ko’paytmasi) Agar (𝑡) ➛ 𝐹(𝑝) , 𝑔(𝑡) ➛ 𝐺(𝑝), u holda ƒ * 𝑔 funksiyalar o’ramasining tasviri tasvirlar ko’paytmasiga teng:

𝑡

ƒ⁽𝑡⁾ * 𝑔⁽𝑡⁾ = ∫ ƒ(𝑟) · 𝑔⁽𝑡 − 𝑟⁾𝑑𝑟 ➛ 𝐹⁽𝑝⁾𝐺⁽𝑝⁾ (13)

0

• 
  ƒ * 𝑔 o’ramaning tasvirini hisoblaymiz
  

∞

𝐿^[ƒ⁽𝑡⁾ * 𝑔⁽𝑡^)] = ∫

0

𝑡

(∫ ƒ⁽𝑟⁾ · 𝑔⁽𝑡 − 𝑟⁾𝑑𝑟) 𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡

0

Bu ikki karrali integralning integrallash sohasini qaraymiz: 0 ≤ 𝑡 < ∞, 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑡

(2 rasm). Agar integrallash tartibini o’zgartirsak 0 ≤ 𝑟 < ∞, 𝑟 ≤ 𝑡 < ∞. Demak

2- расм

∞ ∞

𝐿^[ƒ⁽𝑡⁾ * 𝑔⁽𝑡^)] = ∫ 𝑑𝑟∫ ƒ(𝑟) · 𝑔⁽𝑡 − 𝑟⁾𝑒^−𝑝𝑡𝑑𝑡

0 𝑐

Ichki integralda 𝑡 − 𝑟 = 𝑡₁ ko’rinishda almashtirish bajaramiz, u holda

∞ ∞

𝐿^[ƒ⁽𝑡⁾ * 𝑔⁽𝑡^)] = ∫ ƒ(𝑟)𝑒^−𝑝𝑐𝑑𝑟∫ 𝑔⁽𝑡₁⁾𝑒^−𝑝𝑡1 𝑑𝑡₁

0 0

O’ng tomondagi ifoda ikkita integralning ko’paytmasi bo’lib, ular mos ravishda

ƒ(𝑡) va 𝑔⁽𝑡⁾ funksiyalarning tasvirlaridan iborat.

Demak ƒ * 𝑔 ➛ 𝐹⁽𝑝⁾𝐺(𝑝). ◄

7-Misol. Funksiyaning originalini toping:

𝐹⁽𝑝⁾ = ^2𝑝𝛼 . ⁽𝑝² − 𝛼²⁾²

• 
  Tasvirni ko’paytma shaklida yozamiz:
  

2𝑝𝛼


⁽𝑝² − 𝛼²⁾²

= 2 · ¹

𝑝² − 𝛼²

_· 𝑝𝛼 _.

𝑝² − 𝛼²

Bu yerdagi ikkita ko’paytuvchi mos ravishda sh𝛼𝑡 va ch𝛼𝑡 funksiyalarning tasvirlari. Tasvirlar ko’paytmasi formulasiga asosan

( ) ¹

𝑝𝛼 ^𝑡 _{( )}

𝐹 𝑝

= 2 · _{𝑝2 − 𝛼2} · _{𝑝2 − 𝛼2} → 2∫ 𝑠ℎ𝛼𝑟 · 𝑐ℎ𝛼

𝑡 − 𝑟

𝑑𝑟 =

bo’lar ekan.◄
𝑡sh𝛼𝑡 ➛ ^{2𝑝𝛼 (}𝑝² − 𝛼²⁾²

Tasvirlar ko’paytmasining maxsus ko’rinishi, ya’ni 𝑝𝐹⁽𝑝⁾𝐺(𝑝) ning originalini topish formulasini keltirib chiqaramiz. Quyidagicha almashtirish bajaramiz

𝑝𝐹⁽𝑝⁾𝐺⁽𝑝⁾ = ⁽𝑝𝐹⁽𝑝⁾ − ƒ(0)⁾𝐺⁽𝑝⁾ + ƒ(0)𝐺⁽𝑝⁾

Originalni differensiallash teoremasiga ko’ra 𝑝𝐹⁽𝑝⁾ − ƒ(0) → ƒ^′(𝑡).

Demak, tasvirlar ko’paytmasi va Laplas almashtirishining chiziqliligiga ko’ra

𝑝𝐹⁽𝑝⁾𝐺⁽𝑝⁾ → ƒ^′(𝑡⁾ * 𝑔⁽𝑡⁾ + ƒ⁽0⁾𝑔(𝑡)

yoki
𝑡

𝑝𝐹⁽𝑝⁾𝐺⁽𝑝⁾ → ∫ ƒ′(𝑟) · 𝑔⁽𝑡 − 𝑟⁾𝑑𝑟 + ƒ⁽0⁾𝑔⁽𝑡⁾ (14)

0

(14) tenglik Dyuamel formulasi deb ataladi.

Endi Laplas almashtirishining bu bo’limda o’rganilgan xossalari, ular yordamida hosil qilingan ba’zi elementar va tadbiqlarda ko’p uchraydigan maxsus funksiyalarning tasvirlari jadvalini keltiramiz.

Original- tasvirlar jadvali

Original

Tasvir

1. 1	1 𝑝
2. sin 𝛼𝑡	𝛼 𝑝^2+ 𝛼^2
3. cos 𝛼𝑡	𝑝 𝑝^2+ 𝛼^2
4. 𝑠ℎ𝛼𝑡	𝛼 𝑝^2− 𝛼^2
5. 𝑐ℎ𝛼𝑡	𝑝 𝑝^2− 𝛼^2
6. 𝑒^𝑎𝑡	1 𝑝 − 𝑎
7. 𝑒^−𝛼𝑡 sin 𝛽𝑡	𝛽 ^(𝑝 + 𝛼^)^2+ 𝛽^2
8. 𝑒^−𝛼𝑡 sin 𝛽𝑡	𝑝 + 𝛼 ^(𝑝 + 𝛼^)^2+ 𝛽^2
9. 𝑒^𝑎𝑡 sin(𝛽𝑡 + 𝜑)	𝛽 cos 𝜑 + (𝑝 − 𝛼) sin 𝜑 ^(𝑝 − 𝛼^)^2+ 𝛽^2
10. 𝑒^𝑎𝑡 cos(𝛽𝑡 + 𝜑)	^(𝑝 − 𝑎^)cos 𝜑 − 𝛽 sin 𝜑 ^(𝑝 − 𝛼^)^2+ 𝛽^2
11. 𝑡	1 𝑝2
12. 𝑡^𝑛	𝑛! 𝑝𝑛+1
13. 𝑡^𝑛𝑒^𝑎𝑡	𝑛! ^(𝑝 − 𝛼^)^𝑛+1
14. 𝑡 sin 𝛼𝑡	2𝑝𝛼 ^(𝑝^2+ 𝛼^2^)^2
15. 𝑡 cos 𝛼𝑡	𝑝^2 − 𝛼^2 ^(𝑝^2+ 𝛼^2^)^2
16. 𝑡𝑠ℎ𝛼𝑡	2𝑝𝛼 ^(𝑝^2− 𝛼^2^)^2
17. 𝑡𝑐ℎ𝛼𝑡	𝑝^2 + 𝛼^2 ^(𝑝^2− 𝛼^2^)^2
18. sin(𝑡 − 𝑟) 𝑡 − 𝑟 > 0	𝑒−𝑐𝑝 𝑝^2+ 1
19. cos^(𝑡 − 𝑟^) 𝑡 − 𝑟 > 0	𝑝𝑒−𝑐𝑝 𝑝^2+ 1
^20.∫^𝑡^ƒ^(^𝑟^)^𝑑𝑟 0	^1𝐹(𝑝) 𝑝

21. ƒ(𝑡) 𝑡	∞ ∫ 𝐹^(𝑞^)𝑑𝑞 𝑝
22. ƒ(𝑡 − 𝑡0)	𝑒^−𝑝𝑡^0𝐹(𝑝)
23. ƒ^(𝑛)^(𝑡^), ƒ^(0^)= … = ƒ^(𝑛−1)^(0^)= 0	𝑝^𝑛𝐹(𝑝)
24. ƒ * 𝑔	𝐹(𝑝) · 𝐺(𝑝)