Berdaq nomidagi qoraqalpoq davlat universiteti matematika fakulteti

1.2. Lagranjning ko’paytuvchilar usuli. Mayli matematik programmalashtirish masalasi berilgan bo’lsin:

(1.5)

funksiyasining maksimum qiymatini quyida berilgan chegaralovchi shartlarida

(1.6)

toping.

Berilgan masaladagi chegaralovchi shartlari tenglama turida berilgan, shuning uchun uni yechish uchun ko’p o’zgaruvchiga ega funksiyaning shartli ekstremumini topishning klassik usullaridan foydalanamiz. Bunda va funksiyalari o’zlarining birinchi tartibli xususiy hosilalari bilan uzluksiz bo’ladi deb hisoblaymiz. Bu masalani yechish uchun ushbu quyidagi funksiyani yasaymiz

(1.7)

(1.7) funksiyaning xususiy hosilalarini aniqlaymiz , va ularni nolga tenglaymiz. Natijada ushbu tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz:

(8)

(1.7) funksiyasini Lagranj funksiyasi deb, sonlarini esa Lagranj ko’paytuvchilari deb ataymiz. Agarda funksiyasi nuqtasida ekstremum qiymatiga ega bo’lsa, unda vektori bor bo’lib va nuqtasi (8) sistemaning yechimi bo’lib hisoblanadi. Demak, (8) sistemasining yechimidan funksiyasi ekstremal qiymatiga ega bo’lish mumkin bo’lgan nuqtalar to'plamiga ega bo’lamiz.Biroq bu yerda global minimum yoki maksimum nuqtalarini aniqlash usuli noma’lum. Biroq agarda sistemaning yechimi topilgan bo’lsa, unda global minimum(maksimum)ni aniqlash uchun mos nuqtalarida funksiyaning qiymatlarini hisoblash yetarli bo’ladi. Agarda va funksiyalari uchun ularning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari bor bo’lib va ular uzluksiz bo’lsa, unda (1.8) sistemaning yechimi bo’ladigan nuqtalarda funksiyaning lokal ekstremum bor bo’ladiganligining yetarli shartlarini keltirishga bo’ladi.