Berdaq nomidagi Qoraqalpoq davlat universiteti Matematika fakulteti

4-§. Topologik fazolarda kompaktlik

X topologik	fazo bo’lib , Y uning biror	qism fazosi bo’lsin. Ochiq
to’plamlarning	sistema uchun	bo’lsa, u holda

bu sistema Y to’plamning ochiq qoplamasi deb ataladi.
Agar ochiq qoplama chekli elementlardan iborat bo’lsa, u holda u
chekli ochiq qoplama deyiladi.
Agar topologik fazoning ixtiyoriy ochiq qoplamasidan chekli qism qoplama ajratib olish mumkin bo’lsa, u holda bu topologik fazo kom- paktli deyiladi.
aksiomasini qanoatlantiruvchi kompaktli topologik fazoni kompakt
deb ataymiz.
M to’plamning qism to’plamlaridan iborat {A} sistemadan hohla- gancha olingan chekli sondagi to’plamlarning kesishmasi bo’sh bo’lmasa u holda {A} sistema markazlashgan deb ataladi.
Agar X topologik fazoning har bir cheksiz qism to’plami kamida bir limit nuqtaga ega bo’lsa, u holda bu fazo sanoqli-kompaktli deyiladi.

Masalalar

1. Ixtiyoriy [a,b] kesma kompakt to’plamdir.
Yechimi. [a,b] kesmaning intervallar bilan qoplamasidan chekli qop- lama ajratib olish mumkinligini ko’rsatish yetarlidir.
Aytaylik , ℱ = intervallar sistemasi uchun [a,b] ⸦ bo’lsin.



.


shunday
C orqali [a,b] kesmaning shunday x nuqtalarini belgilaymizki , bunda [a,x] kesma ℱ sistemaning chekli intervallari bilan qoplangan bo’lsin. C bo’sh bo’lmagan to’plamdir. Haqiqatan , a soni biror intervalga tegishliligidan , [a,a] ⸦ , ya’ni a
bo’lsin. Shunday mavjudki,
Aniq quyi chegara ta’rifidan mavjudki
[a,x] kesma ℱ sistemaning chekli intervallari bilan qoplangani uchun [a, ham bu sistemaning chekli intervallari bilan qoplanadi. Bundan .


Agar desak , u holda oraliqda C to’plamning nuq- tasi topiladi , bu esa ning aniq quyi chegara ekanligiga ziddir. Hosil bo’lgan ziddiyatdan kelib chiqadi , ya’ni [a,x] kesmani ℱ siste- maning chekli intervallari bilan qoplash mumkin.