Бакалаврская работа на тему

Задача 1 (№ 5 из учебника А. В. Погорелова [18, С. 135]).
Докажите , что центр окружности является ее центром симметрии. 
Y 
X 
Y
' 
X' 
O 
F 
F
' 

---

66 
Доказательство: 
Пусть точка -центр окружности.Возьмем произвольную точку на 
окруостии тчку , в которую переходит точка при симметрии относительно 
точки . 
Так как 
, т.е. точка лежит на данной окружности.
Значит, окружность присимметрииотносительно центра переходит сама в
себя. 
Таким образом, точка является центром симметрии окружности. 
Задача 2 ( № 9 из учебника А. В. Погорелова [18, С. 135]).
Докажите , что четырехугольник, у которого есть центр симметрии, яв-
ляется параллелограммом. 
Доказательство: 
Вершина 
четырехугольника
(Рис. 33) не может быть его центром 
симметрии, так как в противном случае 
три вершины лежали бы на одной пря-
мой. Исходя из этого, в данном четырех-
угольнике имеются две пары симметрич-
ных друг другу вершин. Отрезки, соеди-
няющие симметричных вершины, пересекаясь в центре симметрии, делятся 
пополам. Это означает, что ни один из этих отрезков не является стороной. 
Значит, эти отрезки-диагонали. 
По признаку параллелограмма данный четырехугольник является па-
раллелограммом. 
Задача 3 ( № 10 из учебника А. В. Погорелова [18, С. 135]).
Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на этих прямых. 
Постройте отрезок с концами на данных прямых и серединой в данной точке. 
Решение: 
Рис. 33 
С 
В 
А 
D 
О 

---

67 
Рис. 34 
Пусть две прямые a и b пересекаются в точке (Рис. 34). 
Соединим и и на продолжении отрезка 
за точку отложим от-
резок 
, равный
. Через точки проведем прямые, параллельные дан-
ным прямым, до пересечения с ними. 
Полученный четырехугольник 
- параллелограмм по определе-
нию: стороны попарно параллельны. Его диагональ
и будет искомый от-
резок. 
Задача 4 ( № 5 из учебника А. Д. Александрова [1, С. 117]).
Построить отрезок, концы которого лежат на данных фигурах 
, а 
середина находится в данной точке . 
Решение: 
Построим фигуру симметричную фигуре 
, относительно точки . 
Рис. 35 
А 
b 
В 
О 
О' 
М 
а 
О 
А 
В 

---

68 
Пусть A-точка пересечения фигур и 
, тогда симметричная ей от-
носительно точки точка B
. Так как точка 
середина отрезка 
. 
Следовательно, отрезок 
- является решением задачи (Рис. 35). 
При решении задач центральная симметрия часто применяется также 
не ко всему чертежу в целом, а лишь к некоторой его части. При этом мы 
приходим к новому чертежу, который может оказаться более удобным для 
решения задач, чем исходный.
На закрепление понятия движения плоскости с использованием цен 
тральной симметрии можно предложить учащимся выполнить следующие
задания. 
1. Точка F - середина стороны 
в треугольники 
. Постройте точку 
, симметричную точке относительно точки , и докажите, что четырех- 
угольник
– параллелограмм. 
2. Нарисуйте равносторонний треугольник 
. Постройте треуголь-
ник 
, симметричный данному относительно вершины . Докажите, что 
точки 
являются вершинами прямоугольника.