Бакалаврская работа на тему

Задача 2 ( № 16 из учебника А. В. Погорелова [18, С. 136]).
Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его 
осью симметрии. 
Решение: 
Пусть 
прямая , содержащая биссектрису угла 
(Рис. 30).
О 
С' 
С 
Х' 
Х 
А 
а 

---

63 
Возьмем точку на стороне 
и построим симметричную ей точку 
относительно прямой 
. Треугольники 
и 
равны по двум кате-
там (
- общий,
по определению симметрии относительно прямой). 
Рис. 30 
Из равенства треугольников следует 
. Значит, угол 
равен углу 
и по аксиоме откладывания углов (аксиома 6) 
и 
сов-
падают, т.е. точка лежит на стороне 
угла 
. Это означает, что угол 
при симметрии относительно биссектрисы переходит сам в себя.
Следовательно, прямая, содержащая биссектрису угла, является его 
осью симметрии. Вершина угла лежит на оси симметрии и переходит сама 
в себя. 
На закрепление понятия движение плоскости с использованием поня-
тия осевой симметрии можно предложить учащимся выполнить следующее 
задание. 
На рисунке 31 даны прямая и треугольник 
. Постройте фигуру , 
на которую отображается данный треугольник при осевой симметрии с осью 
. Что представляет собой фигура ? 
А 
Х' 
Х 
В 
N 
К 
М 

---

64 
Рис. 31 
Решение: 
Построим точки 
, симметричные точкам 
относительно 
прямой и проведем отрезки 
, 
и
. 
Так как при движении, в частности при осевой симметрии, треугольник 
отображается на равный ему треугольник, то искомой фигурой является тре-
угольник 
, равный треугольнику 
.