Bajardi: Rahmatova Nafisa Tekshirdi: Xasanov Ibrohim Reja: I. Kirish II. Nazariy qism

Teorema 1. f (x, y) ikkita x A va y B o'zgaruvchilarning haqiqiy funktsiyasi bo'lsin va mavjud
keyin b = c.
Dalil. Bu minimal va maksimal ta'rifidan kelib chiqadi
(1.11) ning chap tomonida x ixtiyoriy bo'lgani uchun
Tengsizlikning o'ng tomonida (1.12), y ixtiyoriydir
Q.E.D.
Xususan, () matritsa f (x, y) funktsiyasining alohida holati, ya'ni x = i, y = j, = f (x, y) ni qo'ygan bo'lsak, 1 -teoremadan shuni olamiz. pastroq aniq xarajatlar matritsa o'yinidagi eng yuqori aniq o'yin narxidan oshmaydi.
Ta'rif. F (x, y) ikkita x A va y B o'zgaruvchilarning haqiqiy funktsiyasi bo'lsin. Agar quyidagi tengsizliklar bajarilsa, f (x, y) funktsiya uchun nuqta (x 0, y 0) egar nuqtasi deyiladi.
f (x, y 0) f (x 0, y 0) f (x 0, y) (1.14)
har qanday x A va y B uchun.


2.2 Optimal aralash strategiyalar va ularning xossalari
Matritsali o'yinni o'rganish uning strategik yechimlarini topishdan boshlanadi. Agar matritsa o'yini toza strategiyalarda egar nuqtasiga ega bo'lsa, bu nuqtani topish o'yinni o'rganishni tugatadi. Agar matritsa o'yinida sof strategiyalarda egar nuqtasi bo'lmasa, unda siz ushbu o'yinning past va yuqori aniq narxlarini topishingiz mumkin, bu shuni ko'rsatadiki, birinchi o'yinchi o'yinning yuqori narxidan ko'proq yutishni kutmasligi kerak. u hech bo'lmaganda o'yinning past narxini olishiga ishonch hosil qiling. Egarsiz matritsa o'yinidagi o'yinchilarning sof strategiyadagi xatti-harakatlariga oid bunday tavsiyalar tadqiqotchilar va amaliyotchilarni qoniqtira olmaydi. Matritsali o'yinlar yechimlarini takomillashtirishda sof strategiya qo'llanilishining maxfiyligini va o'yinlarni o'yin shaklida ko'p marta takrorlash imkoniyatidan foydalanishni izlash kerak. Masalan, shaxmat, shashka, futbol o'yinlari ketma -ket o'tkaziladi va har safar futbolchilar o'z strategiyalarini shunday qo'llaydilarki, raqiblari ularning mazmuni haqida bilmaydilar va bu yo'lda o'rtacha natijaga erishadilar. o'yinlarning butun seriyasini o'ynab, ma'lum g'alabalar. Bu yutuqlar o'rtacha o'yin narxidan past va o'yin narxidan yuqori. Bu o'rtacha qiymat qanchalik katta bo'lsa, yaxshiroq strategiya o'yinchi tomonidan qo'llaniladi. Shuning uchun, tasodifan, ma'lum bir ehtimollik bilan, aniq strategiyalarni qo'llash g'oyasi paydo bo'ldi. Bu ulardan foydalanish maxfiyligini to'liq ta'minlaydi. Har bir o'yinchi o'zining toza strategiyasini qo'llash ehtimolini o'zgartirishi mumkin, bu ularning o'rtacha to'lovini maksimal darajada oshiradi va yo'l davomida maqbul strategiyani oladi. Bu fikr aralash strategiya kontseptsiyasiga olib keldi.
Ta'rif. Futbolchining aralash strategiyasi deyiladi to'liq to'plam uning aniq strategiyalarini qo'llash ehtimoli.
Shunday qilib, agar birinchi o'yinchi m, 1, 2, ... i, ... m strategiyalarga ega bo'lsa, unda uning aralashgan x strategiyasi x = (x 1, x 2, ..., xi,) sonlar to'plamidir. .., xm) munosabatlarni qondirish
x i 0 (i = 1, 2, ..., m), = 1. (1.15)
Xuddi shunday, n strategiyasi bo'lgan ikkinchi o'yinchi uchun, aralash strategiya y - munosabatlarni qondiradigan y = (y 1,…, y j,… y n) raqamlar to'plami.
y j 0 (j = 1, 2, ..., n), = 1. (1.16)
Har safar o'yinchi bitta strategiyadan foydalanganda, boshqasi ishlatilmasligi sababli, sof strategiyalar bir -biriga mos kelmaydigan hodisalardir. Bundan tashqari, ular yagona mumkin bo'lgan hodisalar.
Shubhasiz, sof strategiya - aralash strategiyaning alohida holati. Haqiqatan ham, agar aralash strategiyada men toza strategiya ehtimollik bilan qo'llaniladi, keyin boshqa barcha toza strategiyalar qo'llanilmaydi. Va bu i-th sof strategiya-aralash strategiyaning alohida holati. Maxfiylikni saqlash uchun har bir o'yinchi boshqa o'yinchining tanlovidan qat'iy nazar o'z strategiyasini qo'llaydi.
Ta'rif. A matritsali matritsali o'yinda birinchi o'yinchining o'rtacha to'lovi uning to'lovlarini matematik kutish sifatida ifodalanadi.
E (A, x, y) = (1.20)
Shubhasiz, birinchi o'yinchining o'rtacha to'lovi x va y o'zgaruvchilarining ikkita to'plamidan iborat. Birinchi o'yinchi x aralash strategiyalarini o'zgartirib, o'rtacha daromadini E (A, x, y) oshirishga intiladi, ikkinchisi esa aralash strategiyasi tufayli E (A, x, y) ni minimal qilishga intiladi, ya'ni. O'yinni hal qilish uchun o'yinning yuqori narxiga erishiladigan x, y ni topish kerak.
Buyurtma o'yini 22
22 -tartibli matritsa o'yini birinchi o'yinchining quyidagi to'lov matritsasi bilan belgilanadi:
Bu o'yinning yechimi sof strategiyalarda egar nuqtasini topishdan boshlanishi kerak. Shu maqsadda ular birinchi qatordan minimal elementni topadilar va uning ustunidagi maksimal ekanligini tekshiradilar. Agar bunday element topilmasa, ikkinchi qator xuddi shu tarzda tekshiriladi. Agar bunday element ikkinchi qatorda topilgan bo'lsa, demak u egardir.
Egar elementini topish, agar mavjud bo'lsa, uning yechimini topish jarayonini tugatadi, chunki bu holda o'yinning narxi - egar elementi va egar nuqtasi, ya'ni birinchi va ikkinchisiga bir juft toza strategiya topiladi. optimal strategiyalarni tashkil etadigan o'yinchilar. Agar toza strategiyalarda egar nuqtasi bo'lmasa, aralash strategiyalarda matritsa o'yinlarining asosiy teoremasiga muvofiq mavjud bo'lgan egar nuqtasini topish kerak.
Biz x = (x 1, x 2), y = (y 1, y 2) bilan mos ravishda birinchi va ikkinchi o'yinchi aralash strategiyalarini belgilaymiz. Eslatib o'tamiz, x 1 - bu birinchi o'yinchi birinchi strategiyasidan foydalanish ehtimolini, x 2 = 1 - x 1 - u ikkinchi strategiyasini qo'llash ehtimoli. Xuddi shunday ikkinchi o'yinchi uchun: 1 - birinchi strategiyadan foydalanish ehtimoli, 2 = 1 - 1 - ikkinchi strategiyadan foydalanish ehtimoli.
Teoremaning xulosasiga ko'ra, x va y aralash strategiyalarining optimalligi uchun x 1, x 2, y 1, y 2 negativ bo'lmaganlar uchun quyidagi munosabatlar bo'lishi zarur va yetarli:
Keling, shuni ko'rsataylikki, agar matritsa o'yinida sof strategiyada egar nuqtasi bo'lmasa, unda bu tengsizliklar tengliklarga aylanishi kerak:
Haqiqatdan ham. O'yinda toza strategiyalarda egar nuqtasi bo'lmasin, shunda aralash strategiyalarning maqbul qiymatlari tengsizliklarni qondiradi.
0<<1, 0<< 1,
0< <1, 01. (1.25)
Faraz qilaylik, (1.22) dagi ikkala tengsizlik ham qattiq
keyin, teoremaga ko'ra, shartlarga zid bo'lgan y 1 = y 2 = 0 bo'ladi (1.25).
(1.23) dagi ikkala tengsizlik ham qat'iy tengsizlik bo'la olmasligi shunga o'xshash tarzda isbotlangan.
Faraz qilaylik, (1.22) tengsizliklardan biri qat'iy bo'lishi mumkin, masalan, birinchi
Bu shuni anglatadiki, teoremaga ko'ra, y 1 = 0, y 2 = 1. Shuning uchun, (1.23) dan olamiz
Agar ikkala tengsizlik (1.24) qat'iy bo'lsa, teorema bo'yicha x 1 = x 2 = 0 bo'ladi, bu (1.25) ga zid. Agar 12 a 22 bo'lsa, u holda (1.27) tengsizliklardan biri qat'iy, ikkinchisi esa tenglikdir. Bundan tashqari, 12 va 22 dan katta elementlar uchun tenglik bo'ladi, ya'ni (1.27) dan bitta tengsizlik qat'iy bo'lishi kerak. Masalan, 12< а 22 . U holda 12 < v o'rinli bo'ladi va bu (1.24) dagi birinchi tengsizlikning qat'iy ekanligiga teng. Keyin teoremaga ko'ra, (1.25) shartga zid bo'lgan x 1 = 0. Agar a 12 = a 22 bo'lsa, u holda ikkala tengsizlik (1.27) tenglikka aylanadi va keyin (1.25) ga zid bo'lgan x 1 = 0 ni o'rnatishimiz mumkin. Shunday qilib, (1.22) dagi birinchi tengsizlik qat'iy bo'lishi mumkin degan taxmin to'g'ri emas. Xuddi shunday, (1.22) dagi ikkinchi tengsizlik ham qat'iy bo'lishi mumkin emasligini ko'rsatish mumkin.
Shunday qilib, agar matritsa o'yinida sof strategiyalarda egar nuqtasi bo'lmasa, birinchi o'yinchining optimal strategiyasi uchun tengsizliklar (1.22) tengliklarga aylanadi. Tengsizliklar haqidagi o'xshash mulohaza (1.23), bu holda tengsizliklar (1.23) tenglik bo'lishi kerakligiga olib keladi.
Shunday qilib, agar 22 -tartibli matritsali o'yinda egar nuqtasi bo'lmasa, o'yinchilarning optimal aralash strategiyalari va o'yin narxini tenglamalar tizimini echish orqali aniqlash mumkin (1.24). Bundan tashqari, agar 2x2 matritsali o'yinda o'yinchilardan biri eng maqbul sof strategiyaga ega bo'lsa, boshqa o'yinchi ham eng maqbul sof strategiyaga ega bo'ladi.
Shuning uchun, agar matritsa o'yinida sof strategiyalarda egar nuqtasi bo'lmasa, u holda aralash strategiyalarda yechim bo'lishi kerak, ular tenglamalardan aniqlanadi (1.24). Tizim yechimi (1.25)
Algebraik usul
Algebraik usul bilan muammolarni hal qilishning ikkita mumkin bo'lgan holati mavjud:
1. matritsaning egar nuqtasi bor;
2. matritsaning egar nuqtasi yo'q.
Birinchi holda, yechim - o'yinning egar nuqtasini tashkil etuvchi juft strategiya. Keling, ikkinchi holatni ko'rib chiqaylik. Bu yerda yechimlarni aralash strategiyalarda topish mumkin:
Keling, strategiyani topamiz va. Birinchi o'yinchi o'zining maqbul strategiyasidan foydalanganda, ikkinchi o'yinchi, masalan, ikkita shunday sof strategiyani qo'llashi mumkin
Mulk tufayli, agar o'yinchilardan biri optimal aralash strategiyani qo'llasa, ikkinchisi - optimal strategiyasiga nolga teng bo'lmagan har qanday sof strategiya kirsa, to'lovning matematik kutilishi har doim o'zgarmaydi. va o'yin narxiga teng, ya'ni
Bu holatlarning har birida to'lov V o'yin qiymatiga teng bo'lishi kerak. Bu holda quyidagi nisbatlar to'g'ri:
Ikkinchi o'yinchining optimal strategiyasi uchun (2.5), (2.6) ga o'xshash tenglamalar tizimi ham tuzilishi mumkin:
Normalizatsiya holatini hisobga olgan holda:
Keling, noma'lumlarga nisbatan (1.37) - (1.41) tenglamasini birgalikda hal qilaylik, hammasini birdaniga emas, balki bir vaqtning o'zida uchta hal qilish mumkin: alohida (1.36), (1.38), (1.40) va (1.37) , (1.39), (1.41). Yechim natijasida biz quyidagilarni olamiz: