B. R. Nazarov oliy geodeziya

Qutb sharti. Geodezik to‘rtburchakda va markaziy sistema­ da bitta tomon ortiqcha hisoblanadi. Shuning uchun bunday shakllarda­ qutb sharti paydo bo‘ladi, uning mohiyati quyidagicha­ bo‘ladi.


6.4-rasm. Geodezik to‘rtburchak (a) burchaklari o‘lchangan

markaziy sistema (b), (d)

Markaziy sistema (geodezik to‘rtburchak) O qutbida shartli ravishda boshlang‘ich deb qabul qilingan, masalan, OA tomon uzunligiga uchburchaklarni tenglangan burchaklari (yo‘nalishlari) bo‘yicha ketma-ket yechish natijasida ikkinchi marta hisoblab topilgan natija teng chiqishi lozim.

Bu talab uchburchak tomonlarining nisbati orqali ifodalani­ shi mumkin. Geodezik to‘rtburchakda (6.4, a-rasm) qutb sifati­ da O nuqtani qabul qilamiz. Bunda qutb sharti quyidagi tenglik ko‘rinishida yoziladi:

OA OB OC	 1 .	(6.10)
OB OC OA

135

Tomonlar nisbatini uchburchakni qarama-qarshi burchak­ lari sinuslari nisbati bilan almashtirib (6.10) tenglama o‘rniga yo­ zamiz:

sin VI sin(I  VIII ) sin IV
sin(IV  V ) sinVII sin I ^.	(6.11)

Markaziy sistema uchun (6.4, b-shakl) qutb sifatida O nuqtani qabul qilamiz va qutb shartini oldin uchburchak tomonlarini nis­ bati ko‘rinishida yozamiz:
OA OB OC OD _{ 1}


OB OCOD OA

so‘ngra qarama-qarshi burchaklar sinuslarining nisbati ko‘rinishida yozamiz:

sin II sin IV sin VI sinVIII	 1	(6.13)
sin I sin III sin V sinVII

Oldingiga o‘xshash tenglashtirilgan X_i qiymatlarni o‘lchangan

xi miqdorlar va vi tuzatmalar yig‘indisidan topamiz:
Xi = xi + vi.	(6.13)

X₁, X₂, ... ... X_n miqdorlarni bog‘lovchi shartli tenglamasini umumiy ko‘rinishda yozamiz:

F = (X1, X2, ... ... Xn) = 0.

(6.14)

X_i miqdorlarni x_i va v_i yig‘indilari bilan almashtiramiz. Shunda

P = (x1, x2, ... ... xn) + ω = 0,

(6.15)

bu yerda: ω – shartli tenglama bog‘lanmasligi (ozod hadi).

(6.14) ifodani (6.13)ni hisobga olgan holda Teylor qatoriga yoyib birinchi tartibli kichiklar bilan chegaralanamiz. Natijada olamiz

6. 
    ( x₁  υ₁ , x ₂  υ₂ ,.....x_n  υ_n )  F ( x₁ , x _{2 ,} .....x_n ) 
   



∂F

υ



∂F

υ

 ⋅ ⋅ ⋅ 

∂F

υ

 0

2

n

1

∂x2

∂xn

∂x1

yoki

136

∑		∂F		^υi	+ ω = 0
		∂xi
						(6.16)
bu yerda
ω = F(x1, x2, ...... xn).						(6.17)

(6.16) ifoda geodezik tarmoqlarni tenglashtirishda qabul qilin­ gan kabi, chiziqli ko‘rinishiga keltirilgan shartli tenglamalarning umumiy ko‘rinishidan iborat bo‘ladi.

Geodezik to‘rtburchakda (6.4, a-rasmga qarang) (6.11) qutb shartli tenglamasini chiziqli ko‘rinishiga keltirish uchun belgi­ laymiz:

_{G ' =} sin VI sin(I + VIII ) sin IV
sin(IV + V ) sinVII sin I

(6.16) ifodaga muvofiq har bir o‘lchangan β burchak bo‘yicha G' dan xususiy hosila olamiz, so‘ngra har bir hosilani sin β ga ko‘paytiramiz va bo‘lamiz. Natijada tarmoqni burchaklar bo‘yicha tenglashtirish holati uchun olamiz:

ctg 6 (6 ) + ctg(1 + 8 )(1 ) + ctg (1 + 8 )(8 ) + ctg4 (4) − ctg(4 + 5 )(4) −	(6.18)
−ctg(4 + 5 )(5 ) − ctg7 (7 ) − ctg1 (1) + ω = 0

bu yerda tenglamaning ozod hadi quyidagiga teng:

sin 6 sin(1 + 8 ) sin 4

P1

P1

− P2

ω =

− 1

ρ '' =

− 1

ρ =

ρ ^'' (6.19)

+ 5 ) sin7 sin 1

P2

P2

sin(4

Ushbu holda P₁ va P₂ – burchak sinusining surat va maxraj­ ga ko‘paytmasi.

(6.18) ifodada bir xil tuzatmalarda o‘xshash hadlarni kelti­ rishni bajarib, geodezik to‘rtburchakda qutb shartli tenglamasini yakuniy ko‘rinishida yozamiz:

[ctg (1 + 8 ) − ctg1 ](1 ) + [ctg 4 − ctg(4 + 5 )](4) −
−ctg (4 + 5 )(5 ) + ctg6 (6 ) − ctg7 (7 ) +	(6.20)
+ ctg(1 + 8 )(8 ) + ω = 0

Markaziy sistema uchun (18.4,b-shaklga qarang) qutb shart­ li tenglamasi (18.12) uni burchaklar bo‘yicha tenglashtirilganda quyidagi ko‘rinishda yoziladi:

137

−ctg 1 (1 ) + ctg2 (2) − ctg 3 (3) + ctg4 (4) − ctg5 (5 ) +									(6.21)
+ ctg 6 (6 ) − ctg7 (7 ) + ctg8(8 ) + ω = 0 ,
bu yerda
sin 2 sin 4 sin 6 sin 8						P1	− P2
ω =		− 1		ρ =				ρ '' .	(6.22)
							P2
sin 1 sin 3 sin 5 sin7

Qutb shartli tenglamalari (6.18) va (6.21) triangulyatsiyani bur­ chaklar bo‘yicha tenglashtirish holatiga to‘g‘ri keladi. Yo‘nalishlar bo‘yicha tenglashtirganda burchaklarga tuzatmalarni o‘lchangan yo‘nalishlarning tuzatmasi orqali ifodalash lozim. Masalan, agar β burchak 2 va 1 yo‘nalishlar farqiga teng bo‘lsa, ya’ni agar β = 2 – 1, unda tarmoqni burchaklar bo‘yicha tenglashtirishda yo­ zamiz: ctgβ(β), tarmoqni yo‘nalishlar bo‘yicha tenglashtirishda – ctg(2 - 1)(1) + tg(2 – 1)(2)

Markaziy sistemani (6.5-rasm) yo‘nalishlar bo‘yicha tenglash­ tirganda bir xil tuzatmalarda o‘xshash hadlar keltirilgandan so‘ng qutb shartli tenglamasi quyidagi ko‘rinishda yoziladi:

ctg (6 − 5 )(5 ) − [ctg(6 − 5 ) + ctg (7 − 6 )](6 ) + ctg(7 − 6 )(7 ) +

+ ctg(9 − 8 )(8 ) + [+ctg (10 − 9 ) − ctg(9 − 8 )](9) −										(6.23)
−ctg (10 − 9 )(10 ) + ctg(12 − 11 )(11) − [ctg(13 − 12)
+ ctg (12 − 11)](12) + ctg(13 − 12)(13) + ctg(15 − 14)(14) −
−[ctg (15 − 14) + ctg(16 − 15 )](15 ) + ctg(16 − 15 )(16 ) + ω = 0 ,
bu yerda:
sin(10 − 9 ) sin(13 − 12 ) sin(16 − 15 ) sin(7 − 6 )
ω =							− 1		ρ '' =
			− 11) sin(15 − 14)
sin(6 − 5 ) sin(9 − 8 ) sin(12									(6.24)
		P1 − P2
	=				ρ ''
		P2

Shuni ta’kidlash kerakki, tarmoqni yo‘nalishlar bo‘yicha teng­ lashtirishda xohlagan shartli tenglamadagi tuzatmalardagi koef­ fitsientlar yig‘indisi nolga teng bo‘lishi lozim, chunki burchaklar tuzatmasini yo‘nalish tuzatmasiga almashtirishdan so‘ng ular­ ning koeffitsientlari bir marta musbat, ikkinchi marta esa manfiy ishoraga ega bo‘ladi. Yo‘nalishlarni tenglashtirganda hisoblash­ larni oraliq nazorat qilishda bu talabdan foydalaniladi.

138