Aylanma sirt ta’rifini keltiring tеkislikda birоr chiziq va to’g’ri chiziq bеrilgan bo’lsin. Ta’rif

Teorema 2. Kvadratik formaning kanonik shaklidagi indekslari uning kanonik bazisining tanlab olinishiga bog’liq emas.
Isbot. Faraz qilaylik, kvadratik forma ikkita va kanonik bazislar yordamida kanonik shaklga keltirilgan bo’lib, bu bazislarda bo’lsin. U holda orqali vektorlarning chiziqli qobig’ini va orqali vektorlarning chiziqli qobig’ini belgilaymiz, ya’ni

bo’lsin. Bu vektorlar sistemalari chiziqli erkli bo’lganligi tufayli
.
Bundan

bo’lib, noldan farqli vektorlarga egaligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik bu vektor bo’lsin va demak bo’lib, u va bazis vektorlarini chiziqli kombinasiyasidan iborat, ya’ni

bo’ladi va bu tenglikdan shartga asosan

va

hosil bo’lib, vektor uchun kvadratik forma bir tomondan musbat, ikkinchi tomondan manfiy bo’lishligi kelib chiqyapti. Bu esa faqat nol vektordan iborat bo’lgan yoki boshqacha qilib aytganda vektordan iborat bo’lgandagi o’rinlidir va demak bo’ladi. Xuddi shu mulohazalarni uchun ham olib borsak ekanligini hosil qilamiz.
Xuddi shunday mulohazalarni kvadratik formaning manfiy indekslari uchun ham olib boriladi, bu holda formani olib qarash kifoyadir.
Misol 3. Ushbu kvadratik

formaning matrisasi

bazisda

bo’lib, uning berilgan bazisdagi o’tish

matrisasi olib,

hisoblasak (ko’rsating!)

diagonal matrisani hosil qilamiz va demak kvadratik formaning kanonik

shakldan iborat bo’lib, boshqa bir ikkinchi kanonik

bazisdagi o’tish

matrisasidagi kvadratik formaning

matrisasi (hisoblang)

diagonal shakldan iborat bo’lib, uning kanonik

shaklini hosil qilamiz.
Ko’rinib turibdiki, kvadratik formani ikki kanonik bazislar orqali keltirilgan kanonik shakllaridagi musbat va manfiy indekslari

bo’ladi.