Parabola va uning kanonik tenglamasi

PARABOLA VA UNING KANONIK TENGLAMASI


Reja:

1. 
   Ikkinchi tartibli egri chiziqlar
   
2. 
   Fazoda analitik geometriya elementlari. Fazoda tekislik
   
3. 
   Parabola va uning kanonik tenglamasi
   

Chiziq tenglamasi koordinatalar sistemasining joylashishiga qarab turli ko`rinishda bo`lishi mumkin. Koordinatalarni almashtirish yordamida chiziqning ixtiyoriy shakldagi tenglamasini sodda (kanonik) ko`rinishga keltirish mumkin.
Ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy ko`rinishdagi tenglamasi deb,
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0 (A² + B² + C² ≠ 0)
shakldagi tenglamaga aytiladi.
O`rta maktab matematikasida o`rganilgan aylana ikkinchi tartibli egri chiziqlar jumlasiga kiradi. Buning tasdig`i sifatida aylanaga berilgan ta`rifni va uning sodda tenglamasini eslash kifoya. Tekislikda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi tanlangan bo`lib, koordinatalar tekisligida markaz deb ataluvchi M<sub>0</sub>(a; b) nuqtadan teng radius deb ataluvchi R masofada yotuvchi nuqtalar to`plami (geometrik o`rni) bo`lmish aylana quyidagi
(x – a)² + (y – b)² = R²
tenglama bilan aniqlanadi (1–rasm ).
Ushbu tenglama aylananing kanonik tenglamasi deyiladi. Markazi koordinatalar boshida va R radiusli aylana x² + y² = R² tenglama vositasida ifodalanadi.

Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli egri chiziq aynan aylanani aniqlashi uchun uning koeffitsientlari quyidagi munosabatlarni bajarishi yetarli:

A = C , B = 0 va D² + E² – AF > 0 .
Tekislikda fokuslari deb ataluvchi berilgan F₁ va F₂ nuqtalargacha bo`lgan masofalari yig`indisi o`zgarmas kattalikka (fokuslar orasidagi masofadan katta) teng nuqtalar to`plamiga ellips deyiladi.
Agar o`zgarmas kattalikni 2a, fokuslar orasidagi masofani esa 2c bilan belgilasak va tekislikda ox abssissa o`qi fokuslari orqali o`tuvchi, koordinatalar boshi F<sub>1</sub>F<sub>2</sub> kesmaning o`rtasida joylashgan koordinatalar sistemasi tanlasak, ellips tenglamasi soddalashadi va quyidagi kanonik ko`rinishga keladi
, bu yerda b <sup>2</sup> = a <sup>2</sup> – c <sup>2</sup> ( a > c ).
Ushbu holda ellips fokuslari: F<sub>1</sub>(-c; 0), F<sub>2</sub>(c; 0) (2-rasm ).
Koordinatalar boshi 0 nuqta ellipsning simmetriya markazi, koordinata o`qlari esa uning simmetriya o`qlari hisoblanadi.
A<sub>1</sub>(-a; 0), A<sub>2</sub>(a; 0), B<sub>1</sub>(0; -b), B<sub>2</sub>(0; b) nuqtalarga ellipsning uchlari, 0A<sub>2</sub> = a va 0A<sub>1</sub>= b kesma uzunliklariga uning mos ravishda katta va kichik yarim o`qlari deyiladi.
Shunday qilib, ellips ikki simmetriya o`qlariga va simmetriya markaziga ega qavariq yopiq chiziqdir.
kattalikka ellipsning ekstsentrisiteti deb ataladi va har qanday ellips uchun ε < 1 munosabat o`rinli. Ekstsentrisitet ellipsning cho`zinchoqligini xarakterlaydigan kattalikdir.
Aylana ellipsning xususiy holi bo`lib, ekstsentrisiteti 0 ga teng yoki katta va kichik yarim o`qlari teng bo`lgan ellipsdir.
Simmetriya markazi (x₀; y₀) nuqtada va simmetriya o`qlari koordinata o`qlariga parallel ellips tenglamasi quyidagi ko`rinishdan iborat:
Masala. D(2; 0) nuqtaga x = 8 to`g`ri chiziqqa qaraganda ikki marta yaqinroq masofada joylashadigan M(x, u) nuqtalarning harakat traektoriyasini aniqlang.
.

nuqta harakat traektoriyasini tekislikda 2DM = MK tenglamani qanoatlantiruvchi M nuqtalar to`plami sifatida aniqlaymiz (3-rasm). Koordinatalar tekisligida ikki nuqta orasidagi masofani va nuqtadan vertikal to`g`ri chiziqqacha masofani topish formulalarini qo`llab,

tenglamani olamiz va uni soddalashtirsak, ko`rinishga keladi. Shunday qilib, M nuqta ellips bo`ylab harakatlanadi, ellipsning katta o`qi va fokuslari ox abssissa o`qida joylashadi (3-rasm).