Aylanma sirt ta’rifini keltiring tеkislikda birоr chiziq va to’g’ri chiziq bеrilgan bo’lsin. Ta’rif

Kvadratik forma va uning matritsasi
tushunchalariga ta’rif bering.

1. 
   Kvadratik forma va uning matritsasi.
   

T a ` r i f: Kvadratik formani hosil qiluvchi yagona simmetrik bichiziqli formaning matritsasiga kvadratik formaning matritsasi deb ataladi.
Shunday qilib, kvadratik formaning matritsasi maydon xarakteristikasi 2 dan farqli bo`lganda aniqlanib, u doim simmetrik.

Kvadratik formani kanonik ko’rinishini
tushuntiring.
Ushbu mavzuda biz simmetrik bichiziqli formaga oid maydonda berilgan

kvadratik formani kanonik bazisini qurish bilan kanonik shaklga, ya’ni koeffisiyentlarni kvadratlarini yig’indisi shaklga olib kelishini Yakobi usulidan farqli bo’lgan yana bir Lagranj nomi bilan ataluvchi Lagranj usulini keltiramiz va ularni haqiqiy sonlar maydoni bo’lganda o’rganib chiqamiz. Qulaylik uchun kvadratik formani o’zgaruvchili ko’phadlar funksiyasi deb qaraymiz.
Kvadratik formani kanonik shaklga, ya’ni o’zgaruvchilarni kvadratlarini yig’indisi shakli olib kelishni matematik induksiya usuli yordamida bajaramiz.
Faraz qilaylik, kvadratik forma nolmas bo’lsin. Aks holda, agar kvadratik forma aynan nol bo’lsa, uning matrisasi nol matrisa bo’lib, uni istalgan bazisda kanonik shaklga kelgan deb hisoblaymiz. Agar kvadratik formada o’zgaruvchilarining kvadratlari oldidagi birorta koeffisiyenti noldan farqli bo’lsa, ya’ni masalan, bo’lsin. U holda o’zgaruvchilar soni da kvadratik forma

kanonik shaklga ega bo’ladi. Endi kvadratik formani o’zgaruvchilar uchun to’g’ri deb, ya’ni kanonik shaklga keltirilgan bo’lib, o’zgaruvchilar uchun kanonik shaklga kelishini ko’rsatamiz. U holda kvadratik formadagi hamma ishtirok etgan hadlarni to’plab, uni

shaklda keltirib olamiz. Ikkinchi yig’indida hosil bo’lgan o’zgaruvchili haqiqatan kvadratik forma bo’lib, matematik induksiya faraziga asosan kvadratik forma o’zgaruvchilarning kvadratlarining yig’indisi shakliga keladi va demak kvadratik forma kanonik shaklga ega bo’ladi.
Agar kvadratik formada barcha o’zgaruvchilarining kvadratlari qatnashmasa, ya’ni bo’lsa, u holda masalan deb qaraz qilib, o’zgaruvchilarga quyidagi chiziqli almashtirishlarni

bajarib, kvadratik formaga olib borib qo’ysak, biz yangi o’zgaruvchilardan iborat kvadratik formani hosil qilamizki, u kvadratik formada noldan farqli had qatnashadi. Bu kvadratik formaga ham yuqoridagi matematik induksiya mulohazasini tadbiq qilib berilgan kvadratik formani o’zgaruvchilarni kvadratlarini yig’indisi, ya’ni kanonik shaklga ifodalash mumkin bo’ladi.