|
2-teorema. Ixtiyoriy va qadamlarda (9), (10) masalaning yechimi uchun (18) baho o’rinlidir.
Isboti. Oldingi teoremani isbotiga o’xshash (9) ifodani quyidagicha yozamiz:
, (26)
Qiymati moduli bilan ga teng bo’lgan larning orasida indeksi eng kichik qiymatini qabul qiladiganini olamiz. Agar yoki bo’lsa, u holda (19) ning bajarilishi ravshan. Faraz qilaylik, endi va bo’lsin, u holda ning ta’rifiga ko’ra va . Shuning uchun ham va . Demak,
Shunday qilib, barcha va qadamlarda (8), (9) sxema uchun (25) formulaga ega bo’ldik. Isbotning qolgan qismi 1-teoremaning isbotidek tugaydi. Shunday qilib, (8), (9) sxema shartsiz ravishda turg’un ekan.
Oshkormas sxemaning shunisi yaxhiki, vaqt bo’yicha qadamni ancha katta qilib olish mumkin, ammo qatlamdan qatlamga o’tishda uch dioganalli tenglamalar sistemasini yechishga to’g’ri keladi. Biroq bir o’lchovli hol uchun bu qiyinchilik tug’dirmaydi. Xususiy holda ma’lum bo’lsa, haydash usuli bilan ta amal bajarib, vektorni topib olish mumkin, ya’ni qatlamdan qatlamga o’tishda arifmetik amallarning soni taqriban oshkor sxemadagidek bo’ladi. Bundan ko’ramizki, amalda oshkormas sxemani ishlatish ma’quldir, chunki EHM da hisoblaganda mashina vaqtini tejaydi.
Endi (14) vazniy sxemani tekshirishga o’tamiz. Ayirmali sxemalar nazariyasida matritsa bilan bu matritsa yaratadigan operatorni farq qilishmaydi. Bundan keyin biz ham shunday qilamiz. Biz orqali vektorga vektorni mos qo’yadigan operatorni (matritsani) belgilaymiz. Agar deb olsak, u holda (14) ayirmali sxema quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
yoki
,
.
shunday qilib, (14) tenglamalar sistemasi
ko’rinishda yoziladi. Bunda qatlamdan qatlamga o’tish matritsasi
dan iboratdir. Faraz qilaylik, matritsaning xos sonlari dan iborat bo’lsin. matritsa simmetrik bo’lganligi uchun munosabat o’rinlidir. Endi ni matritsaning xos funksiyalari bo’yicha Fur’ening chekli qatoriga yoyamiz:
Ravshanki,
Shunday qilib, operatorning xos sonlari ga teng. Demak, matritsaning xos sonlari
,
bo’ladi. Shuning uchun ham
Bundan ko’ramizki, (14) sxema turg’un bo’lishi uchun tengsizlik bajarilishi kerak. Demak, biz va larga nisbatan shunday shartlarni topishimiz kerakki,
tengsizlik o’rinli bo’lsin. Agar bo’lsa, u holda bo’lganligi uchun yuqoridagi tengsizlik munosabat bilan teng kuchli bo’ladi. Agar bo’lsa, oxirgi tengsizlik barcha lar uchun bajariladi. Agar bo’lsa, u holda
(27)
bo’lishi kerak.
Shunday qilib, (14), (8) ayirmali sxema dastlabki ma’lumotlarga nisbatan turg’unligining yetarli shartlarini o’rnatdik. Jumladan, , bo’lsa, u holda bo’lganda (14), (8) ayirmali sxema shartsiz ravishda turg’un bo’lib, bo’lganda (14), (8) sxema (21) shart bajarilganda turg’un, ya’ni shartli ravishda turg’un bo’ladi.
Agar differensial operator yoki chegaraviy shartlar biz qaragan (1)-(3) chegaraviy masalaga nisbatan murakkab bo’lsa, u holda ayirmali masala ham murakkab bo’ladi va uning turg’unligini maksimum prinsipi yoki Fur’e metodi bilan tekshirish ma’lum qiyinchiliklar tug’diradi yoki umuman mumkin bo’lmaydi. Bunday holda energetik baholar metodidan foydalaniladi.
Yuqoridagidek orqali ning -qatlamdagi qiymatini belgilaymiz,ya’ni . Yana ushbu
(28)
belgilashni kiritamiz. Bunda biz quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
, (29)
Endi vektorlar uchun fazoning to’rdagi skalyar ko’paytmasi va normasini kiritamiz:
, ,
Ravshanki, (14) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:
Bu tenglamani (22) va (23) tengliklar asosida quyidagicha yozib olamiz:
Ohirgi tengliklarni har ikkala tomonini vektor bilan skalyar ko’paytiramiz. Natijada quyidagi hosil bo’ladi:
(30)
Ushbu
qismiy yig’ish formulasida , deb va , tengliklarni hisobga olib,
ni hosil qilamiz. Endi operatorning simmetrikligidan foydalanib,
tenglikka ega bo’lamiz. Oxirgi ikkita munosabatdan foydalanib, (24) ni quyidagicha yozib olamiz:
(31)
Bu tenglik fazoning to’rdagi normasi bo’yicha energetik ayniyat deyiladi.
Endi ushbu
tengsizlikda , deb olib, skalyar ko’paytma uchun quyidagi
tengsizlikni hosil qilamiz. Buning natijasida (25) dan quyidagi baho hosil bo’ladi:
(32)
Hozirgacha ixtiyoriy son edi, endi deb olamiz. U holda shart bajarilganda katta qavslar ichidagi ifoda manfiy bo’lmaydi. Shuning uchun ham (26) dan ushbu
(33)
baho kelib chiqadi.
Ko’rsatish mumkinki, bo’lganda (27) baho o’rinli bo’lishi uchun
(34)
Shart bajarilishi kerak. Endi (27) bahoni ketma-ket qo’llab,
,
bahoni hosil qilamiz. O’ng tomondagi yig’indi integral uchun kvadrat yig’indi bo’lganligi sababli shunday topiladiki,
tengsizlik bajariladi.
Bu yerda
Demak,
.
Bu tengsizlik esa (14), (18) sxemaning boshlang’ich ma’lumotlar hamda o’ng tomonga nisbatan turg’unligini bildiradi.
Shunday qilib, (14), (18) ayirmali sxema bo’lganda shartsiz turg’un bo’lib, bo’lganda va qadamlar orasida (28) shart bajarilganda turg’un bo’ladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
