|
2.3 Ayirmali sxema qurishning balans metodi.
Issiqlik o’tkazuvchanlik, diffuziya, tebranish va shu kabi turli xil fizik jarayonlar issiqlik, massa, harakat miqdori, energiya va h.k. saqlanishning integral formadagi kqonunlari bilan tavsiflanadi. Matematik fizikaning differensial tenglamalarini chiqarishda kichik hajm uchun saqlanish qonunini ifodalovchi muayyan integral munosabatdan (balans tenglamasidan) ishni boshlashadi. Tenglamada qatnashadigan funksiyalarning barcha kerakli hosilalarini mavjud deb faraz qilib va balans tenglamasidagi hajmlarni nolga intiltirib, differensial tenglama hosil qilinadi. Chekli-ayirmali metodning fizik ma’nosi shundan iboratki, biz uzluksiz muhitdan uning qandaydir diskret modeliga o’tamiz. Tabiiyki, bunday o’tishda fizik jarayonning asosiy xossalari saqlanishini talab qilish kerak. Bunday xossalar qatorida, birinchi navbatda, saqlanish qonunlari turadi. To’r sohada saqlanish qonunlarini ifodalaydigan ayirmali sxemalar konservativ sxemalar deyiladi. Konservativ ayirmali sxemalarni hosil qilish uchun to’r sohada elementar hajm uchun yozilgan balans tenglamalarida qatnashadigan integrallarni va hosilalarni taqribiy ayirmali ifodalari bilan almashtirish kerak. Konservativ ayirmali sxemalarni hosil qilishning bunday usuli balans metodi yoki integral-interpolyatsion metod deyiladi. Balans metodini qo’llashga misol sifatida issiqlik o’tkazuvchanlikning statsionar tenglamasi uchun birinchi chegaraviy masalani qaraymiz:
, (35)
, (36)
Bunda , , lar yetarlicha silliq funksiyalar bo’lib, , shartlarni qanoatlantiradi, va esa berilgan sonlar. Bu shartlar bajarilganda (35), (36) chegaraviy masala yagona yetarlicha silliq yechimga ega bo’ladi. Ayirmali sxema qurish uchun kesmada muntazam
to’rni olamiz. Quyidagi
, ,
belgilashlarni kiritib, (29) tenglamani oraliqda integrallaymiz, natijada
(37)
tenglama hosil bo’lib, u kesmada issiqlikning balans tenglamasini aniqlaydi. Endi
integralni uning taqribiy qiymati bilan almashtirib, quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
, (38)
Natijada (37) tenglama
(39)
ko’rinishga ega bo’ladi. Endi ni ning to’r nuqtalaridagi qiymatlari orqali ifodalaymiz. Buning uchun ifodani kesmada intefallaymiz, natijada
(40)
hosil bo’ladi. Agar
(41)
deb belgilab olsak, (40) dan quyidagi takribiy tengliklarni hosil qilamiz:
,
Bu ifodalarni (39) tenglamaga qo’yib, izlanayotgan funksiyaning , , nuqtalardagi qiymatini o’z ichiga olgan ushbu
(42)
ayirmali tenglamaga ega bo’lamiz. (42) tenglamani to’r sohaning barcha ichki nuqtalari, ya’ni uchun yozsak, u holda ta noma’lumli tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Ikkita yetmagan tenglamani (36) dastlabki shartdan hosil qilamiz:
(43)
Ayirmali masalaning yechimini differensial masalaning yechimidan farq qilish uchun urgi orqali belgilaymiz, demak, , . Endi (42) va (43) tenglamalarni birlashtirib, (35), (36) chegaraviy masala uchun quyidagi ayirmali sxemaga ega bo’lamiz:
(44)
Bu sistemani haydash metodi bilan yechish maqsadga muvofiq bo’ladi. Buning uchun (38) sistemani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:
, , ,
bunda
, , ,
Chegaraviy masalaning koeffitsientlariga qo’yilgan shartlardan va kelib chiqadi, bulardan esa ni, ya’ni haydash metodining turg’unlik shartini hosil qildik. Demak, (38) ayirmali masala yagona yechimga ega va bu yechimni haydash metodi bilan topish mumkin.
Endi (35) differensial tenglamani (44) ayirmali tenglama bilan almashtirganda yuzaga keladigan approksimatsiya xatoligini tekshiramiz. Buning uchun (29) tenglamaning chap tomonini va (38) tenglamaning chap tomonini orqali belgilaymiz, ya’ni
,
Faraz qilaylik, yetarlicha silliq funksiya bo’lib, uning to’rdagi qiymati bo’lsin. Endi
(45)
baho o’rinli ekanligini ko’rsatamiz. Buning uchun operator tarkibidagi ni nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz. Ravshanki,
Demak
Ikkinchi tomondan
Bu munosabatlardan
ni hosil qilamiz. (39) shart bajarilishi uchun
, (46)
, (47)
tengliklar o’rinli bulishi kerak.
Endi deb belgilaymiz va ni nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz, natijada
hosil bo’ladi. Demak,
Shunga o'xshash
Bulardan esa
,
larga ega bo’lamiz, bular esa (45) ni isbotlaydi. (47) tengliklarning bajarilishini kursatish qiyin emas. Haqiqatan ham, va ni mos ravishda va bilan almashtirish (38) integralni o’rta tugunli to’g’ri burchakli to’rtburchak formulasi bilan hisoblashdan iboratdir. Ma’lumki, bunday formulaning qoldiq hadi . Shunday qilib, biz (46), (47) tengliklarni va shu bilan birga (45) bahoni ko’rsatdik. Bu esa operator ni (35), (36) masalaning yechimida ga nisbatan ikkinchi tartibli approksimatsiya qilishini ko’rsatadi.
2.6 Chiziqli bo’lmagan issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasini yechish.
Quyidagi chegaraviy masalani qaraymiz:
, ,
, , (48)
Odatda, chiziqli bo’lmagan tenglamalarda funksiyaning o’zgarish sohasi oldindan ma’lum bo’lmasa, oshkor sxemalar ishlatilmaydi.
Sof oshkormas sxema noma’lumlarga nisbatan chiziqli sistemani ham, chiziqli bo’lmagan sistemani ham tashkil etishi mumkin. Ushbu sxema
(49)
da deb olsak, u holda noma’lumlarga nisbatan chiziqli, absolyut turg’un bo’lib, approksimatsiya xatoligi bo’ladi. Bu sistemaning yechimi haydash metodi bilan topiladi.
Ko’pincha (48) tenglama uchun ushbu
(50)
sof oshkormas sxema ishlatiladi. Bu sxemani qo’llash uchun u yoki bu iteratsion metod qo’llaniladi. Masalan, iteratsion jarayonni quyidagicha olib borishimiz mumkin:
, , (51)
bu yerda — iteratsiya nomeri. Bu iteratsion jarayondan ko’ramizki, chiziqli bo’lmagan koeffitsientlar oldingi iteratsiyada, ya’ni da hisoblanadi, ning dastlabki yaqinlashishi sifatida olinadi. Agar qadam qancha kichik bo’lsa, bu dastlabki yaqinlashish shuncha yaxshi bo’ladi. Agar koeffitsientlar silliq bo’lib, shart bajarilsa, odatda, ikki-uchta iteratsiya qoniqarli natijaga olib keladi. Har bir yangi iteratsiyada ning qiymatlari (51) sistemadan haydash metodi bilan aniqlanadi. Shuningdek, (51) sistemani yechish uchun ikkinchi tartibli aniqlikka ega bo’lgan prediktor-korrektor sxemasi ham ishlatiladi. Bunda -qatlamdan qatlamga o’tish ikki bosqichda bajariladi. Birinchi bosqichda haydash metodi bilan oshkormas chiziqli sistema
, ,
,
yechilib, oradagi qiymatlar topiladi. Ikkinchi bosqichda esa , chiziqli bo’lmagan koeffitsientlar da hisoblanib, larni topish quyidagi olti nuqtali simmetrik sxema
,
, ,
asosida olib boriladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
