Asimptota

Garmonik qator. 
Garmonik qator—1+
...
1
...
4
1
3
1
2
1





n
- sonli qator. Garmonik qatorning 
ikkinchisidan boshlab har bir hadi ikkita qo’shni hadining o’rta garmonigiga teng 
bo’lgani uchun ham shunday ataladi. Garmonik qatorning hadlari nomeri ortishi bilan 
kamayadi va nolga intiladi, ammo, 
n
S
n
1
...
2
1
1




xususiy yig’indilari cheksizlikka intiladi. 
2
3
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
7
1
6
1
5
1
,
2
1
1
4
1
4
1
4
1
3
1
,
2
1
1
,
1
4
4
8
2
2
4
2
1















































S
S
S
S
S
s
S
S
Bu mulohazalarning davom ettirib , garmonik qatorning 
k
2
ta hadi yig’indisi 

---

1+
2
k
dan katta degan xulasaga kelamiz. Bundan esa, garmonik qatorning xususiy 
yig’indilari cheklanmay o’sishi, ya’ni garmonik qatorning uzoqlashuvchanligi kelib 
chiqadi. Ammo, bu o’sish juda sekindir. Garmonik qatorning xossalarini o’rgangan L 
Eyler 
39
,
14
,
48
,
7
1000000
1000


S
S
ekanligini topgan Bundan tashqari, Eyler garmonik 
qator xususiy yig’indilari uchun ajoyib bo’g’lanishni o’rnatadi. 
Hosilalar jadvali. 
Y 
Yˈ 
Y 
yˈ 
cˈ 
0 
a
u
a
u
uˈ 
X 
1 
e
u
e
u
uˈ 
u±v 
Uˈ± vˈ 
Uv 
Uˈv±uvˈ 
sin u 
-
v
u
α
u 
tgu 
-
u’ 
Arcctgu 
-
Arcsinu 
Chu 
Shuu’ 
Arccosu 
-
u’ 
Cthu 

---

Arctgu 
Shu 
Chuu’ 
Hosilaning hisoblash qoidalari. 
1-teorema
Berilgan f(x) hamda 
funksiyalar yig’indisi 
,( f(x)+
)’=f’(x)+
funksiya, x nuqtaga hosilaga ega va 
(f(x)+
Isboti: 
f(x)+
orttirmasi 
bo’ladi. Bu tenglikning har ikki tomonini 
ga bo’lib, so’ng 
da limitga o’tib topamiz: 
,
=
(1)
(1) munosabatdan e’tiborga olib
Tenglikka kelamiz. Bunda esa f(x) +
funksiyaning hosilasi mavjudligi hamda 
(f(x)+
Ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi. 
Xuddi shunga o’xshash f(x)-
funksiyaning hosilasi mavjud va
(f(x)-
. 
2-teorema.
Berilgan f(x) hamda 
funksiyalarning ko’paytmasi f(x) *
)
(
x

Funksiyaning x nuqtada hosilaga ega va

---

(f(x)
bo’ladi. 
Isboti: f(x)*
funksiya ortiramasini topamiz: 
-
f(x)*
Bu tenglikning har ikki tomonini 
ga bo’lib , so’ng 
limitga o’tamiz: 
=
(1) munosabatni hamda 
Tenglikni e’tiborga olib topamiz: 
Bundan esa f(x)*
funksiyaning hosilasi mavjud
(f(x)*
Ekanligi kelib chiqadi.Teorema isbotlandi. 
3-teorema.
Berilgan f(x) hamda (x) funksiyalar nisbati 
Funksiya x nuqtaga hosilaga ega va 

---

bo’ladi. 
Isboti. 
funksiya orttirmasini topamiz: 
. 
Bu tenglikning har ikki tomonini 
da limitga o’tamiz. 
Yuqoridagi (5) munosabatda hamda 
Tenglikni e’tiborga olib topamiz:
. 
Bundan esa 
funksiyaning hosilasi mavjudligi hamda 
Ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.