Arifmetik progressiya yig‘indisi n. Arifmetik progressiyani qanday topish mumkin? Yechimli arifmetik progressiya misollari. Matematik sonlar ketma-ketligi

Arifmetik progressiya yig‘indisi n. Arifmetik progressiyani qanday topish mumkin? Yechimli arifmetik progressiya misollari. Matematik sonlar ketma-ketligi
Rasm va she’riyat kabi matematikaning ham o‘ziga xos go‘zalligi bor.
Rus olimi, mexanik N.E. Jukovskiy
Matematikadan kirish testlarida juda keng tarqalgan vazifalar arifmetik progressiya tushunchasi bilan bog'liq bo'lgan topshiriqlardir. Bunday masalalarni muvaffaqiyatli hal qilish uchun arifmetik progressiyaning xossalarini yaxshi bilish va ularni qo'llashda ma'lum ko'nikmalarga ega bo'lish kerak.
Keling, avval arifmetik progressiyaning asosiy xususiyatlarini eslaylik va eng muhim formulalarini keltiramiz, ushbu kontseptsiya bilan bog'liq.
Ta'rif. Raqamli ketma-ketlik, unda har bir keyingi atama avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi, arifmetik progressiya deb ataladi. Shu bilan birga, raqamprogressiya farqi deyiladi.
Arifmetik progressiya uchun formulalar amal qiladi
, (1)
qayerda. Formula (1) arifmetik progressiyaning umumiy hadining formulasi deb ataladi va (2) formula arifmetik progressiyaning asosiy xossasidir: progressiyaning har bir a'zosi qo'shni a'zolarining o'rtacha arifmetik qiymatiga to'g'ri keladi va .
E'tibor bering, aynan shu xususiyat tufayli ko'rib chiqilayotgan progressiya "arifmetik" deb ataladi.
Yuqoridagi (1) va (2) formulalar quyidagicha umumlashtiriladi:
(3)
Jami hisoblash uchun birinchi arifmetik progressiyaning a'zolariodatda formuladan foydalaniladi
(5) qayerda va .
Agar formulani hisobga olsak (1), keyin formula (5) nazarda tutadi
Agar belgilasak
qayerda. Chunki, u holda (7) va (8) formulalar mos keladigan (5) va (6) formulalarni umumlashtirishdir.
Ayniqsa , (5) formuladan kelib chiqadi, nima
Ko'pchilik talabalarga kam ma'lum bo'lganlar qatorida quyidagi teorema orqali tuzilgan arifmetik progressiyaning xossasi bor.
Teorema. Agar , keyin
Isbot. Agar , keyin
Teorema isbotlangan.
Masalan , teoremadan foydalanish, buni ko'rsatish mumkin
Keling, “Arifmetik progressiya” mavzusidagi masalalarni yechishning tipik misollarini ko'rib chiqishga o'tamiz.
1-misol Keling va . Toping.
Yechim. Formulani (6) qo'llash orqali biz ni olamiz. Buyon va , keyin yoki .
2-misol Uch marta ko'p bo'lsin va qismga bo'linganda 2 chiqadi, qolgan 8 bo'ladi. va ni aniqlang.
Yechim. Tenglamalar tizimi misol shartidan kelib chiqadi
Chunki, , va , keyin (10) tenglamalar sistemasidan olamiz
Bu tenglamalar sistemasining yechimi va.
3-misol If va ni toping.
Yechim. Formula (5) bo'yicha bizda yoki . Biroq, (9) xususiyatdan foydalanib, biz ni olamiz.
dan beri va , keyin tenglikdan tenglama quyidagicha yoki .
4-misol Agar toping.
Yechim.Formula (5) bo'yicha bizda mavjud
Biroq, teoremadan foydalanib, yozish mumkin
Bu yerdan va formuladan (11) ni olamiz.
5-misol. Berilgan: . Toping.
Yechim. O'shandan beri . Biroq, shuning uchun.
6-misol Keling, va. Toping.
Yechim. Formuladan (9) foydalanib, biz . Shuning uchun, agar , keyin yoki .
O'shandan beri va u holda bizda tenglamalar tizimi mavjud
Qaysi birini yechsak, va ni olamiz.
Tenglamaning tabiiy ildizi bir .
7-misol If va ni toping.
Yechim.(3) formulaga muvofiq bizda shunday bo'lganligi sababli, masalaning shartidan tenglamalar tizimi kelib chiqadi
Agar ifodani almashtirsaktizimning ikkinchi tenglamasiga, keyin biz yoki ni olamiz.
Ildizli kvadrat tenglama bor va .
Keling, ikkita holatni ko'rib chiqaylik.
1. Mayli, keyin . O'shandan beri va, keyin.
Bunday holda, (6) formulaga muvofiq, biz bor
2. Agar , keyin , va
Javob: va.
8-misol Ma'lumki, va Toping.
Yechim. Formula (5) va misolning shartini hisobga olib, va yozamiz.
Bu tenglamalar tizimini nazarda tutadi
Agar tizimning birinchi tenglamasini 2 ga ko'paytirsak va keyin uni ikkinchi tenglamaga qo'shsak, biz hosil bo'lamiz.
Formula (9) bo'yicha bizda mavjud. Shu munosabat bilan (12) dan kelib chiqadi yoki .
O'shandan beri va, keyin.
Javob: .
9-misol If va ni toping.
Yechim. Buyon, va sharti bilan, keyin yoki.
Formuladan (5) ma'lum, nima . O'shandan beri .
Demak, bu erda chiziqli tenglamalar tizimi mavjud
Bu yerdan biz va . Formula (8) ni hisobga olgan holda, biz yozamiz.
10-misol Tenglamani yeching.
Yechim. Berilgan tenglamadan kelib chiqadiki. Faraz qilaylik, , va. Unday bo `lsa .
Formula (1) bo'yicha biz yoki yozishimiz mumkin.
Chunki (13) tenglama yagona mos ildizga ega.
11-misol. va sharti bilan maksimal qiymatni toping.
Yechim., deb hisoblangan arifmetik progressiya kamayib bormoqda. Shu munosabat bilan ifoda progressiyaning minimal ijobiy hadining soni bo'lganda maksimal qiymatni oladi.
Biz formula (1) va faktdan foydalanamiz, qaysi va . Keyin biz buni olamiz yoki .
Chunki , keyin yoki . Biroq, bu tengsizlikdaeng katta natural son, Shunung uchun .
Agar va qiymatlari (6) formulaga almashtirilsa, biz ni olamiz.
Javob: .
12-misol. 6 ga bo‘linganda 5 ta qolgan ikki xonali natural sonlarning yig‘indisini toping.
Yechim. Barcha ikki qiymatli natural sonlar to'plami bilan belgilang, ya'ni. . Keyinchalik, biz to'plamning o'sha elementlaridan (raqamlaridan) iborat bo'lgan kichik to'plamni quramiz, u 6 raqamiga bo'linganda 5 ning qoldig'ini beradi.
O'rnatish oson, nima . Shubhasiz, to'plamning elementlariarifmetik progressiya hosil qiling, unda va .
To'plamning kardinalligini (elementlar soni) aniqlash uchun, deb faraz qilamiz. Chunki va, keyin (1) formula yoki ni bildiradi. Formula (5) ni hisobga olgan holda, biz .
Muammolarni hal qilishning yuqoridagi misollari hech qachon to'liq deb da'vo qila olmaydi. Ushbu maqola tahlilga asoslangan zamonaviy usullar berilgan mavzu bo'yicha tipik muammolarni hal qilish. Arifmetik progressiya bilan bog'liq masalalarni yechish usullarini chuqurroq o'rganish uchun tavsiya etilgan adabiyotlar ro'yxatiga murojaat qilish tavsiya etiladi.
1. Texnika oliy o'quv yurtlariga abituriyentlar uchun matematikadan topshiriqlar to'plami / Ed. M.I. Skanavi. - M .: Dunyo va ta'lim, 2013. - 608 b.
2. Suprun V.P. O'rta maktab o'quvchilari uchun matematika: maktab o'quv dasturining qo'shimcha bo'limlari. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 b.
3. Medinskiy M.M. To'liq kurs topshiriq va mashqlarda elementar matematika. 2-kitob: Sonlar ketma-ketligi va taraqqiyoti. – M.: Editus, 2015. - 208 b.
Savollaringiz bormi?
Repetitor yordamini olish uchun - ro'yxatdan o'ting.
sayt, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola talab qilinadi.

Masalan, ketma-ketlik \(2\); \(5\); \(sakkiz\); \(o'n bir\); \(14\)… arifmetik progressiyadir, chunki har bir keyingi element oldingisidan uchga farq qiladi (oldingi elementdan uchta qoʻshish orqali olinishi mumkin):

Ushbu progressiyada \(d\) farq ijobiy (\(3\) ga teng) va shuning uchun har bir keyingi had oldingisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.
Biroq, \(d\) manfiy son ham bo'lishi mumkin. masalan, arifmetik progressiyada \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… progressiya farqi \(d\) minus oltiga teng.
Va bu holda, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'ladi. Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda.
Arifmetik progressiya belgilariProgression kichik lotin harfi bilan belgilanadi.
Progressiya hosil qiluvchi sonlar deyiladi a'zolari(yoki elementlar).
Ular arifmetik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element raqamiga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, arifmetik progressiya \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) \(a_1=2\) elementlaridan iborat; \(a_2=5\); \(a_3=8\) va hokazo.

Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\o'ng\)\)
Arifmetik progressiyaga oid masalalar yechish
Aslida, yuqoridagi ma'lumotlar arifmetik progressiya bo'yicha deyarli har qanday muammoni hal qilish uchun etarli (shu jumladan OGEda taklif qilinganlar).
Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(b_1=7; d=4\) shartlar bilan beriladi. \(b_5\) toping.
Yechim:
Javob: \(b_5=23\)
Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: \(62; 49; 36…\) Bu progressiyaning birinchi manfiy hadining qiymatini toping.
Yechim:

	Bizga ketma-ketlikning birinchi elementlari berilgan va bu arifmetik progressiya ekanligini bilamiz. Ya'ni, har bir element qo'shnisidan bir xil raqam bilan farq qiladi. Keyingi elementdan oldingisini ayirish orqali qaysi biri ekanligini aniqlang: \(d=49-62=-13\).
	Endi biz kerakli (birinchi salbiy) elementga o'tishimizni tiklashimiz mumkin.
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(-3\)
Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket elementlari berilgan: \(...5; x; 10; 12,5...\) \(x\) harfi bilan belgilangan elementning qiymatini toping.
Yechim:

	\(x\) ni topish uchun keyingi element oldingisidan qanchalik farq qilishini, boshqacha aytganda progressiya farqini bilishimiz kerak. Uni ikkita ma'lum qo'shni elementlardan topamiz: \(d=12,5-10=2,5\).
	Va endi biz izlayotgan narsani muammosiz topamiz: \(x=5+2,5=7,5\).
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(7,5\).
Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu progressiyaning dastlabki olti hadining yig‘indisini toping.
Yechim:

Progressiyaning dastlabki olti hadining yig'indisini topishimiz kerak. Lekin biz ularning ma'nolarini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element berilgan. Shuning uchun, biz birinchi navbatda bizga berilgan qiymatlardan foydalanib, qiymatlarni hisoblaymiz: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Va bizga kerak bo'lgan oltita elementni hisoblab, ularning yig'indisini topamiz.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Soʻralgan miqdor topildi.

Javob: \(S_6=9\).
Misol (OGE). Arifmetik progressiyada \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu progressiyaning farqini toping.
Yechim:
Javob: \(d=7\).
Muhim arifmetik progressiya formulalari
Ko'rib turganingizdek, ko'plab arifmetik progressiya muammolarini asosiy narsani tushunish orqali hal qilish mumkin - arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va bu zanjirning har bir keyingi elementi oldingisiga bir xil sonni qo'shish orqali olinadi (farq progressiyaning).
Biroq, ba'zida "peshonada" hal qilish juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, tasavvur qiling-a, birinchi misolda biz beshinchi elementni \(b_5\) emas, balki uch yuz sakson oltinchi \(b_(386)\) ni topishimiz kerak. Bu nima, biz \ (385 \) marta to'rtta qo'shamiz? Yoki tasavvur qiling-a, oxirgi misolda siz birinchi yetmish uchta elementning yig'indisini topishingiz kerak. Hisoblash chalkash...
Shuning uchun, bunday hollarda, ular "peshonada" hal qilmaydi, balki arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalanadi. Eng asosiylari esa progressiyaning n-chi hadi formulasi va birinchi hadlar yig‘indisi \(n\) formulasidir.
\(n\)-chi a'zo uchun formula: \(a_n=a_1+(n-1)d\), bu erda \(a_1\) progressiyaning birinchi a'zosi;
\(n\) - kerakli elementning soni;
\(a_n\) - \(n\) sonli progressiya a'zosi.

Bu formula bizga faqat birinchi va progressiya farqini bilgan holda kamida uch yuzinchi, hatto millioninchi elementni tezda topishga imkon beradi.

Misol. Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) toping.
Yechim:
Javob: \(b_(246)=1850\).
Birinchi n ta hadning yig'indisi formulasi: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), bu yerda
\(a_n\) - oxirgi yig'ilgan atama;

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(a_n=3,4n-0,6\) shartlar bilan berilgan. Bu progressiyaning birinchi \(25\) hadlarining yig‘indisini toping.

Yechim:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Birinchi yigirma besh elementning yig'indisini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi muddatning qiymatini bilishimiz kerak. Bizning progressiyamiz uning soniga qarab n-sonning formulasi bilan beriladi (batafsilroq qarang). Birinchi elementni \(n\) ni bitta bilan almashtirib hisoblaymiz.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Endi \(n\) o'rniga yigirma beshni qo'yib, yigirma beshinchi hadni topamiz.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Xo'sh, endi biz hech qanday muammosiz kerakli miqdorni hisoblaymiz.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(25)=1090\).
Birinchi shartlarning \(n\) yig'indisi uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: shunchaki \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) oʻrniga \(a_n\) formulasini qoʻying \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz olamiz:
Birinchi n ta hadning yig'indisi formulasi: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), bu yerda

\(S_n\) - birinchi elementlarning kerakli summasi \(n\);

\(a_1\) - yig'iladigan birinchi atama;
\(d\) – progressiya farqi;
\(n\) - yig'indidagi elementlar soni.
Misol. Arifmetik progressiyaning birinchi \(33\)-ex hadlari yig'indisini toping: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Yechim:
Javob: \(S_(33)=-231\).
Murakkab arifmetik progressiya masalalari
Endi siz deyarli har qanday arifmetik progressiya masalasini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarga egasiz. Keling, mavzuni nafaqat formulalarni qo'llash, balki biroz o'ylash kerak bo'lgan muammolarni ko'rib chiqaylik (matematikada bu foydali bo'lishi mumkin ☺)
Misol (OGE). Progressiyaning barcha manfiy hadlari yig'indisini toping: \(-19,3\); \(-o'n to'qqiz\); \(-18,7\)…
Yechim:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Biz ham xuddi shunday yechishni boshlaymiz: avval \(d\) ni topamiz.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Endi biz yig'indi formulasiga \(d\) ni qo'yamiz ... va bu erda kichik nuance paydo bo'ladi - biz \(n\) ni bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz qancha atama qo'shish kerakligini bilmaymiz. Qanday aniqlash mumkin? Keling, o'ylab ko'raylik. Birinchi ijobiy elementga kelganimizda elementlarni qo'shishni to'xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini topishingiz kerak. Qanaqasiga? Arifmetik progressiyaning istalgan elementini hisoblash formulasini yozamiz: bizning holatimiz uchun \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Bizga \(a_n\) noldan katta bo'lishi kerak. Keling, \(n\) nima bo'lishini bilib olaylik.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Tengsizlikning ikkala tomonini \(0,3\) ga ajratamiz.
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Biz minus birini o'tkazamiz, belgilarni o'zgartirishni unutmaymiz
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Hisoblash...
\(n>65 333…\)		...va ma'lum bo'lishicha, birinchi musbat element \(66\) raqamiga ega bo'ladi. Shunga ko'ra, oxirgi salbiy \(n=65\) ga ega. Har holda, keling, buni tekshirib ko'ramiz.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Shunday qilib, biz birinchi \(65\) elementlarni qo'shishimiz kerak.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(65)=-630,5\).
Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan beriladi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-chi elementdan \(42\) gacha boʻlgan miqdorni toping.
Yechim:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu masalada siz elementlarning yig'indisini ham topishingiz kerak, lekin birinchisidan emas, balki \(26\)-dan boshlab. Bizda buning formulasi yo'q. Qanday qaror qilish kerak? Oson - \(26\)-dan \(42\)-gacha bo'lgan yig'indini olish uchun avval \(1\)-dan \(42\)gacha bo'lgan yig'indini topib, so'ngra undan yig'indini ayirish kerak. birinchidan \ (25 \) th (rasmga qarang).
	Bizning progressiyamiz \(a_1=-33\) va farq \(d=4\) uchun (oxir-oqibat, keyingi elementni topish uchun oldingi elementga to'rtta qo'shamiz). Buni bilib, birinchi \(42\)-uh elementlarning yig'indisini topamiz.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Endi birinchi \(25\)-chi elementlarning yig'indisi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Va nihoyat, biz javobni hisoblaymiz.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Javob: \(S=1683\).
Arifmetik progressiya uchun amaliy jihatdan foydaliligi pastligi sababli biz ushbu maqolada ko'rib chiqmagan yana bir qancha formulalar mavjud. Biroq, siz ularni osongina topishingiz mumkin.
Algebrani o'rganayotganda umumiy ta'lim maktabi(9-sinf) Muhim mavzulardan biri - sonli ketma-ketliklarni o'rganish bo'lib, ular progressiyalar - geometrik va arifmetikdir. Ushbu maqolada biz arifmetik progressiya va yechimlari bilan misollarni ko'rib chiqamiz.
Arifmetik progressiya nima?
Buni tushunish uchun ko'rib chiqilayotgan progressiyaning ta'rifini berish, shuningdek, muammolarni hal qilishda keyingi qo'llaniladigan asosiy formulalarni berish kerak.
Arifmetik yoki algebraik progressiya shunday tartiblangan ratsional sonlar to'plami bo'lib, ularning har bir a'zosi oldingisidan qandaydir doimiy miqdor bilan farqlanadi. Bu qiymat farq deb ataladi. Ya'ni, tartiblangan raqamlar qatorining istalgan a'zosini va farqni bilib, butun arifmetik progressiyani tiklashingiz mumkin.
Keling, bir misol keltiraylik. Keyingi raqamlar ketma-ketligi arifmetik progressiya bo'ladi: 4, 8, 12, 16, ..., chunki bu holda farq 4 ga teng (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ammo 3, 5, 8, 12, 17 raqamlar to'plamini endi ko'rib chiqilayotgan progressiya turiga bog'lash mumkin emas, chunki u uchun farq doimiy qiymat emas (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠). 17 - 12).

Muhim formulalar
Endi biz arifmetik progressiya yordamida muammolarni yechish uchun zarur bo'ladigan asosiy formulalarni beramiz. a n belgisi bilan belgilang n-a'zo n butun son bo'lgan ketma-ketliklar. Farq lotincha d harfi bilan belgilanadi. Keyin quyidagi iboralar to'g'ri bo'ladi:
N-sonning qiymatini aniqlash uchun formula mos keladi: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
Birinchi n ta hadning yig'indisini aniqlash uchun: S n = (a n + a 1)*n/2.
9-sinfda yechim bilan arifmetik progressiyaning har qanday misollarini tushunish uchun ushbu ikkita formulani eslab qolish kifoya, chunki ko'rib chiqilayotgan turdagi har qanday masalalar ulardan foydalanish asosida qurilgan. Bundan tashqari, progressiya farqi formula bilan aniqlanishini unutmang: d = a n - a n-1 .
1-misol: Noma'lum a'zoni topish

Biz arifmetik progressiyaning oddiy misolini va yechish uchun ishlatilishi kerak bo'lgan formulalarni keltiramiz.
10, 8, 6, 4, ... ketma-ketligi berilsin, unda beshta hadni topish kerak.
Muammoning shartlaridan kelib chiqadiki, dastlabki 4 ta atama ma'lum. Beshinchisini ikki yo'l bilan aniqlash mumkin:
Avval farqni hisoblab chiqamiz. Bizda: d = 8 - 10 = -2. Xuddi shunday, bir-birining yonida turgan ikkita boshqa atamani olish mumkin. Masalan, d = 4 - 6 = -2. Ma'lumki, d \u003d a n - a n-1, keyin d \u003d a 5 - a 4, biz qaerdan olamiz: a 5 \u003d a 4 + d. Biz ma'lum qiymatlarni almashtiramiz: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Ikkinchi usul, shuningdek, ko'rib chiqilayotgan progressiyaning farqini bilishni talab qiladi, shuning uchun siz avval yuqorida ko'rsatilganidek, uni aniqlashingiz kerak (d = -2). Birinchi had a 1 = 10 ekanligini bilib, biz ketma-ketlikning n raqami uchun formuladan foydalanamiz. Bizda: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Oxirgi ifodada n = 5 ni almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Ko'rib turganingizdek, ikkala yechim ham bir xil natijaga olib keladi. E'tibor bering, bu misolda progressiyaning d farqi manfiy. Bunday ketma-ketliklar kamayuvchi deb ataladi, chunki har bir keyingi atama oldingisidan kamroq.
2-misol: progressiya farqi
Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz, qanday qilib misol keltiramiz
Ma'lumki, ba'zilarida 1-chi had 6 ga, 7-chi had esa 18 ga teng bo'ladi. Ayirmani topib, bu ketma-ketlikni 7-songa qaytarish kerak.
Noma'lum atamani aniqlash uchun formuladan foydalanamiz: a n = (n - 1) * d + a 1 . Shartdan ma'lum ma'lumotlarni, ya'ni a 1 va 7 raqamlarini almashtiramiz, bizda: 18 \u003d 6 + 6 * d. Ushbu ifodadan siz farqni osongina hisoblashingiz mumkin: d = (18 - 6) / 6 = 2. Shunday qilib, masalaning birinchi qismiga javob berildi.
Ketma-ketlikni 7-a'zoga qaytarish uchun algebraik progressiyaning ta'rifidan foydalanish kerak, ya'ni a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d va hokazo. Natijada, biz butun ketma-ketlikni tiklaymiz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 va 7 = 18.
3-misol: progressiya qilish

Keling, muammoning holatini yanada murakkablashtiraylik. Endi siz arifmetik progressiyani qanday topish mumkinligi haqidagi savolga javob berishingiz kerak. Quyidagi misolni keltirish mumkin: ikkita raqam berilgan, masalan, 4 va 5. Bular orasiga yana uchta had qo'yish uchun algebraik progressiya qilish kerak.
Ushbu muammoni hal qilishni boshlashdan oldin, berilgan raqamlar kelajakdagi rivojlanishda qaysi o'rinni egallashini tushunish kerak. Ular orasida yana uchta atama bo'ladi, keyin 1 \u003d -4 va 5 \u003d 5. Buni o'rnatgandan so'ng, biz avvalgisiga o'xshash vazifaga o'tamiz. Shunga qaramay, n-son uchun biz formuladan foydalanamiz, biz olamiz: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Kimdan: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Bu erda biz farqning butun qiymatini olmadik, lekin shunday ratsional son, shuning uchun algebraik progressiya uchun formulalar bir xil bo'lib qoladi.
Endi topilgan farqni 1 ga qo'shamiz va progressiyaning etishmayotgan a'zolarini tiklaymiz. Biz olamiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u00, bu muammoning holatiga to'g'ri keldi.
4-misol: progressiyaning birinchi a'zosi

Yechimli arifmetik progressiyaga misollar keltirishda davom etamiz. Oldingi barcha masalalarda algebraik progressiyaning birinchi soni ma'lum edi. Endi boshqa turdagi masalani ko'rib chiqing: ikkita raqam berilsin, bu erda a 15 = 50 va 43 = 37. Bu ketma-ketlik qaysi raqamdan boshlanishini topish kerak.
Hozirgacha qo'llanilgan formulalar 1 va d ni bilishni nazarda tutadi. Muammoning holatida bu raqamlar haqida hech narsa ma'lum emas. Shunga qaramay, bizda ma'lumotga ega bo'lgan har bir atama uchun iboralarni yozamiz: a 15 = a 1 + 14 * d va 43 = a 1 + 42 * d. Biz ikkita noma'lum miqdor (a 1 va d) mavjud bo'lgan ikkita tenglama oldik. Demak, masala chiziqli tenglamalar sistemasini echishga keltiriladi.
Agar har bir tenglamada 1 ni ifodalasangiz va natijada olingan ifodalarni solishtirsangiz, belgilangan tizimni yechish eng oson hisoblanadi. Birinchi tenglama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikkinchi tenglama: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Ushbu iboralarni tenglashtirib, biz quyidagilarni olamiz: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, farq d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (faqat 3 kasr berilgan).
d bilgan holda, 1 uchun yuqoridagi 2 ta ifodadan istalgan birini ishlatishingiz mumkin. Masalan, birinchi: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Agar natijaga shubha tug'ilsa, uni tekshirishingiz mumkin, masalan, shartda ko'rsatilgan progressiyaning 43-a'zosini aniqlang. Biz olamiz: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Kichik xatolik hisob-kitoblarda mingdan birgacha yaxlitlash ishlatilganligi bilan bog'liq.
5-misol: summa
Endi arifmetik progressiya yig‘indisining yechimlari bilan bir necha misollarni ko‘rib chiqamiz.
Quyidagi ko'rinishdagi sonli progressiya berilsin: 1, 2, 3, 4, ...,. Ushbu raqamlarning 100 tasining yig'indisini qanday hisoblash mumkin?
Rivojlanish uchun rahmat kompyuter texnologiyasi siz ushbu muammoni hal qilishingiz mumkin, ya'ni odam Enter tugmasini bosgandan so'ng kompyuter bajaradigan barcha raqamlarni ketma-ket qo'shing. Biroq, agar siz berilgan raqamlar qatori algebraik progressiya ekanligiga e'tibor qaratsangiz va uning farqi 1 ga teng bo'lsa, muammoni aqliy ravishda hal qilish mumkin. / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Shunisi qiziqki, bu muammo "Gauss" deb nomlanadi, chunki 18-asrning boshlarida mashhur nemis hali 10 yoshda bo'lganida, uni bir necha soniya ichida hal qila oldi. Bola algebraik progressiya yig‘indisining formulasini bilmas edi, lekin u ketma-ketlikning chetida joylashgan juft sonlarni qo‘shsangiz, har doim bir xil natijaga erishishini, ya’ni 1 + 100 = 2 + 99 ekanligini payqadi. = 3 + 98 = ... va bu summalar aniq 50 (100 / 2) bo'lganligi sababli, to'g'ri javobni olish uchun 50 ni 101 ga ko'paytirish kifoya.

6-misol: n dan m gacha bo'lgan atamalar yig'indisi
Arifmetik progressiya yig‘indisining yana bir tipik misoli quyidagicha: bir qator raqamlar berilgan: 3, 7, 11, 15, ..., uning 8 dan 14 gacha bo‘lgan hadlari yig‘indisi qanday bo‘lishini topish kerak.
Muammo ikki yo'l bilan hal qilinadi. Ulardan birinchisi 8 dan 14 gacha bo'lgan noma'lum atamalarni topib, keyin ularni ketma-ket umumlashtirishni o'z ichiga oladi. Bir nechta atamalar mavjud bo'lganligi sababli, bu usul etarlicha mashaqqatli emas. Shunga qaramay, ushbu muammoni universalroq bo'lgan ikkinchi usul bilan hal qilish taklif etiladi.
Maqsad m va n hadlar orasidagi algebraik progressiya yig’indisi formulasini olishdir, bunda n > m butun sonlardir. Ikkala holatda ham yig'indi uchun ikkita ifoda yozamiz:
S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
n > m bo'lgani uchun 2 yig'indiga birinchisini kiritishi aniq. Oxirgi xulosa shuni anglatadiki, agar bu yig’indilar orasidagi ayirmani olib, unga a m atamasini qo’shsak (farq olingan taqdirda u S n yig’indisidan ayiriladi), u holda masalaga kerakli javobni olamiz. Bizda: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1-m / 2). Bu ifodada a n va a m formulalarini almashtirish kerak. Keyin biz olamiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1) - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Olingan formula biroz og'ir, ammo S mn yig'indisi faqat n, m, a 1 va d ga bog'liq. Bizning holatda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu raqamlarni almashtirsak, biz quyidagilarga erishamiz: S mn = 301.

Yuqoridagi yechimlardan ko‘rinib turibdiki, barcha masalalar n-sonli ifoda va birinchi hadlar to‘plami yig‘indisi formulasini bilishga asoslangan. Ushbu muammolardan birini hal qilishni boshlashdan oldin, shartni diqqat bilan o'qib chiqishingiz, nimani topmoqchi ekanligingizni aniq tushunishingiz va shundan keyingina hal qilishni davom ettirishingiz tavsiya etiladi.
Yana bir maslahat - soddalikka intiling, ya'ni agar siz murakkab matematik hisob-kitoblardan foydalanmasdan savolga javob bera olsangiz, unda siz buni qilishingiz kerak, chunki bu holda xato qilish ehtimoli kamroq. Masalan, 6-sonli yechim bilan arifmetik progressiya misolida, S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am formulasida to'xtash mumkin, va umumiy vazifani alohida kichik vazifalarga ajrating (v bu holat avval a n va a m atamalarini toping).
Natijaga shubha tug'ilsa, keltirilgan misollarning ba'zilarida bo'lgani kabi, uni tekshirish tavsiya etiladi. Arifmetik progressiyani qanday topish mumkinligi aniqlandi. Buni tushunganingizdan so'ng, bu unchalik qiyin emas.
Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." deganlar uchun.
Va "juda ..." bo'lganlar uchun)
Arifmetik progressiya - bu har bir raqam oldingisidan bir xil miqdorda katta (yoki kamroq) bo'lgan raqamlar qatoridir.
Bu mavzu ko'pincha qiyin va tushunarsiz. Harf ko'rsatkichlari, progressiyaning n-a'zosi, progressiyaning farqi - bularning barchasi qandaydir chalkash, ha ... Keling, arifmetik progressiyaning ma'nosini aniqlaylik va hamma narsa darhol amalga oshadi.)
Arifmetik progressiya haqida tushuncha.
Arifmetik progressiya juda oddiy va tushunarli tushunchadir. Shubha? Bekorga.) O'zingiz ko'ring.
Men tugallanmagan raqamlar qatorini yozaman:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bu qatorni uzaytira olasizmi? Qaysi raqamlar beshdan keyin keladi? Har bir inson ... uh ..., qisqasi, har bir kishi 6, 7, 8, 9 va hokazo raqamlarning oldinga borishini aniqlaydi.
Keling, vazifani murakkablashtiramiz. Men tugallanmagan raqamlar qatorini beraman:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Siz naqshni ushlashingiz, seriyani kengaytirishingiz va nomlashingiz mumkin yettinchi qator raqami?
Agar siz bu raqam 20 ekanligini bilsangiz - sizni tabriklayman! Siz nafaqat his qildingiz arifmetik progressiyaning asosiy nuqtalari; balki ularni biznesda ham muvaffaqiyatli ishlatgan! Agar tushunmasangiz, o'qing.
Endi sezgilardan asosiy fikrlarni matematikaga aylantiramiz.)
Birinchi asosiy nuqta.
Arifmetik progressiya sonlar qatori bilan bog'liq. Bu birinchi navbatda chalkash. Biz tenglamalarni echishga, grafiklar tuzishga va shunga o'rganib qolganmiz ... Va keyin qatorni kengaytiring, qatorlar sonini toping ...
Hech narsa xato emas. Shunchaki progressiyalar matematikaning yangi bo‘limi bilan birinchi tanishuvdir. Bo'lim "Seriya" deb nomlanadi va raqamlar va ifodalar qatori bilan ishlaydi. Bunga ko'nik.)
Ikkinchi asosiy nuqta.
Arifmetik progressiyada har qanday son oldingisidan farq qiladi bir xil miqdorda.
Birinchi misolda bu farq bitta. Qaysi raqamni olsangiz, oldingisidan bittaga ko'p. Ikkinchisida - uchta. Har qanday raqam avvalgisidan uch baravar katta. Aslida, aynan shu daqiqa bizga naqshni ushlash va keyingi raqamlarni hisoblash imkoniyatini beradi.
Uchinchi asosiy nuqta.
Bu daqiqa hayratlanarli emas, ha ... Lekin juda, juda muhim. Mana: Har bir progressiya soni o'z o'rnida. Birinchi raqam bor, yettinchi bor, qirq beshinchi bor va hokazo. Agar siz ularni tasodifan aralashtirib yuborsangiz, naqsh yo'qoladi. Arifmetik progressiya ham yo'qoladi. Bu shunchaki raqamlar qatori.
Hamma gap shunda.
Albatta, ichida yangi mavzu yangi atamalar va belgilar paydo bo'ladi. Ular bilishlari kerak. Aks holda, siz vazifani tushunolmaysiz. Masalan, siz shunday qaror qabul qilishingiz kerak:
a 2 = 5, d = -2,5 bo'lsa, arifmetik progressiyaning (a n) birinchi oltita hadini yozing.
Bu ilhomlantiradimi?) Harflar, ba'zi indekslar ... Va vazifa, aytmoqchi, osonroq bo'lishi mumkin emas. Siz faqat atamalar va belgilarning ma'nosini tushunishingiz kerak. Endi biz bu masalani o'zlashtiramiz va vazifaga qaytamiz.
Shartlar va belgilar.
Arifmetik progressiya har bir raqam oldingisidan farq qiladigan raqamlar qatoridir bir xil miqdorda.
Bu qiymat deyiladi . Keling, ushbu kontseptsiyani batafsilroq ko'rib chiqaylik.
Arifmetik progressiya farqi.
Arifmetik progressiya farqi har qanday progressiya sonining miqdori Ko'proq oldingi.
Bir muhim nuqta. Iltimos, so'zga e'tibor bering "Ko'proq". Matematik jihatdan bu har bir progressiya soni olinganligini bildiradi qo'shish arifmetik progressiyaning oldingi songa ayirmasi.
Hisoblash uchun, aytaylik ikkinchi qator raqamlari, buni qilish kerak birinchi raqam qo'shish arifmetik progressiyaning aynan shu farqi. Hisoblash uchun beshinchi- farq kerak qo'shish Kimga to'rtinchi yaxshi va boshqalar.
Arifmetik progressiya farqi balkim ijobiy keyin seriyaning har bir raqami haqiqiy bo'lib chiqadi oldingisidan ko'proq. Bu progressiya deyiladi ortib boradi. Masalan:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Bu erda har bir raqam qo'shish ijobiy raqam, oldingisiga +5.
Farqi bo'lishi mumkin salbiy keyin seriyadagi har bir raqam bo'ladi oldingisidan kamroq. Ushbu rivojlanish deyiladi (siz bunga ishonmaysiz!) kamaymoqda.
Masalan:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Bu erda har bir raqam ham olinadi qo'shish oldingisiga, lekin salbiy raqam, -5.
Aytgancha, progressiya bilan ishlashda uning tabiatini darhol aniqlash juda foydali - u ortib bormoqda yoki kamaymoqda. Bu qaror qabul qilishda o'z nuqtai nazaringizni topishga, xatolaringizni aniqlashga va kech bo'lmasdan ularni tuzatishga yordam beradi.
Arifmetik progressiya farqi odatda harf bilan belgilanadi d.
Qanday topish mumkin d? Juda oddiy. Seriyaning istalgan sonidan ayirish kerak oldingi raqam. Ayirmoq. Aytgancha, ayirish natijasi "farq" deb ataladi.)
Keling, masalan, aniqlaymiz d ortib borayotgan arifmetik progressiya uchun:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Biz qatorning istalgan raqamini olamiz, masalan, 11. Undan ayirish oldingi raqam bular. sakkiz:
Bu to'g'ri javob. Bu arifmetik progressiya uchun farq uchga teng.
Siz shunchaki olishingiz mumkin har qanday miqdordagi progressiya, chunki Muayyan rivojlanish uchun d-har doim bir xil. Hech bo'lmaganda qatorning boshida, hech bo'lmaganda o'rtada, hech bo'lmaganda har qanday joyda. Siz faqat birinchi raqamni ololmaysiz. Faqat birinchi raqam, chunki oldingisi yo'q.)
Aytgancha, buni bilish d=3, bu progressiyaning ettinchi raqamini topish juda oddiy. Biz beshinchi raqamga 3 qo'shamiz - biz oltinchini olamiz, u 17 bo'ladi. Oltinchi raqamga uchta qo'shamiz, ettinchi raqamni olamiz - yigirma.
Keling, aniqlaymiz d kamayuvchi arifmetik progressiya uchun:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Shuni eslatib o'tamanki, belgilardan qat'i nazar, aniqlash uchun d istalgan raqamdan kerak oldingisini olib tashlang. Biz progressiyaning istalgan sonini tanlaymiz, masalan -7. Uning oldingi raqami -2. Keyin:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Arifmetik progressiyaning farqi har qanday son bo'lishi mumkin: butun, kasr, irratsional, har qanday.
Boshqa atamalar va belgilar.
Seriyadagi har bir raqam chaqiriladi arifmetik progressiyaning a'zosi.
Progressiyaning har bir a'zosi uning raqami bor. Raqamlar qat'iy tartibda, hech qanday hiyla-nayranglarsiz. Birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi va boshqalar. Masalan, progressiyadagi 2, 5, 8, 11, 14, ... ikkita birinchi a'zo, beshta ikkinchi, o'n bir to'rtinchi, yaxshi, tushunasiz ...) Iltimos, aniq tushuning - raqamlarning o'zi mutlaqo har qanday, butun, kasr, inkor, nima bo'lishidan qat'iy nazar, lekin bo'lishi mumkin raqamlash- qat'iy tartibda!
Progressni qanday qayd etish kerak umumiy ko'rinish? Hammasi joyida! Seriyadagi har bir raqam harf sifatida yozilgan. Arifmetik progressiyani belgilash uchun, qoida tariqasida, harf ishlatiladi a. A'zo raqami pastki o'ngdagi indeks bilan ko'rsatilgan. A'zolar vergul (yoki nuqta vergul) bilan quyidagicha yoziladi:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
a 1 birinchi raqam hisoblanadi a 3- uchinchi va boshqalar. Hech qanday qiyin narsa yo'q. Siz ushbu seriyani quyidagicha qisqacha yozishingiz mumkin: (a n).
Rivojlanishlar mavjud chekli va cheksiz.
yakuniy progressiya a'zolarining cheklangan soniga ega. Besh, o'ttiz sakkiz, nima bo'lishidan qat'iy nazar. Lekin bu chekli raqam.
Cheksiz progressiya - siz taxmin qilganingizdek, cheksiz sonli a'zolarga ega.)
Siz yakuniy progressni shunday qator orqali yozishingiz mumkin, barcha a'zolar va oxirida nuqta:
a 1, 2, 3, 4, 5.
Yoki shunday, agar a'zolar ko'p bo'lsa:
a 1, a 2, ... a 14, a 15.
Qisqa yozuvda siz a'zolar sonini qo'shimcha ravishda ko'rsatishingiz kerak bo'ladi. Misol uchun (yigirma a'zo uchun) quyidagicha:
(a n), n = 20
Cheksiz progressiyani ushbu darsdagi misollardagi kabi qator oxiridagi ellips bilan tanib olish mumkin.
Endi siz allaqachon vazifalarni hal qilishingiz mumkin. Vazifalar oddiy, faqat arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.
Arifmetik progressiya uchun topshiriqlarga misollar.
Keling, yuqoridagi vazifani batafsil ko'rib chiqaylik:
1. Arifmetik progressiyaning (a n) birinchi olti a'zosini yozing, agar a 2 = 5, d = -2,5.
Vazifani tushunarli tilga tarjima qilamiz. Cheksiz arifmetik progressiya berilgan. Ushbu progressiyaning ikkinchi soni ma'lum: a 2 = 5. Ma'lum progressiv farq: d = -2,5. Ushbu progressiyaning birinchi, uchinchi, to'rtinchi, beshinchi va oltinchi a'zolarini topishimiz kerak.
Aniqlik uchun men muammoning holatiga qarab ketma-ket yozaman. Birinchi olti a'zo, ikkinchi a'zo besh bo'lsa:
a 1, 5, 3, 4, 5, 6,....
a 3 = a 2 + d
Biz ifodada almashtiramiz a 2 = 5 va d=-2,5. Minusni unutmang!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Uchinchi muddat ikkinchidan kamroq. Hammasi mantiqiy. Agar raqam avvalgisidan katta bo'lsa salbiy qiymat, shuning uchun raqamning o'zi avvalgisidan kamroq bo'ladi. Rivojlanish pasaymoqda. Xo'sh, buni hisobga olamiz.) Biz seriyamizning to'rtinchi a'zosini ko'rib chiqamiz:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Shunday qilib, uchinchidan oltinchigacha bo'lgan muddatlar hisoblab chiqilgan. Natijada bir qator paydo bo'ldi:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Birinchi atamani topish qoladi a 1 taniqli ikkinchisiga ko'ra. Bu boshqa yo'nalishdagi qadam, chapga.) Demak, arifmetik progressiyaning farqi d ga qo'shilmasligi kerak a 2, a olib ketish:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Hammasi shu. Vazifaga javob:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
O'tayotganda shuni ta'kidlaymanki, biz bu vazifani hal qildik takrorlanuvchi yo'l. Bu dahshatli so'z faqat progressiyaning a'zosini qidirishni anglatadi oldingi (qo'shni) raqam bo'yicha. Progressiya bilan ishlashning boshqa usullari keyinroq muhokama qilinadi.
Ushbu oddiy vazifadan bitta muhim xulosa chiqarish mumkin.
Eslab qoling:
Agar arifmetik progressiyaning kamida bitta a’zosi va ayirmasini bilsak, bu progressiyaning istalgan a’zosini topishimiz mumkin.
Esingizdami? Ushbu oddiy xulosa ushbu mavzu bo'yicha maktab kursining aksariyat muammolarini hal qilish imkonini beradi. Barcha vazifalar uchta asosiy parametr atrofida aylanadi: arifmetik progressiya a’zosi, progressiyaning ayirmasi, progressiya a’zosining soni. Hamma narsa.
Albatta, oldingi barcha algebra bekor qilinmaydi.) Progressiyaga tengsizliklar, tenglamalar va boshqa narsalar biriktiriladi. Lekin taraqqiyotga ko'ra- hamma narsa uchta parametr atrofida aylanadi.
Misol uchun, ushbu mavzu bo'yicha ba'zi mashhur vazifalarni ko'rib chiqing.
2. Yakuniy arifmetik progressiyani ketma-ket yozing, agar n=5, d=0,4 va a 1=3,6 bo‘lsa.
Bu erda hamma narsa oddiy. Hammasi allaqachon berilgan. Arifmetik progressiyaning a'zolari qanday hisoblanganini, hisoblashini va yozishni eslab qolishingiz kerak. Vazifa shartidagi so'zlarni o'tkazib yubormaslik tavsiya etiladi: "yakuniy" va " n=5". To'liq ko'karib qolmaguningizcha hisoblamaslik uchun.) Bu progressiyada faqat 5 (besh) a'zo bor:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Javobni yozish qoladi:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Boshqa vazifa:
3. 7 soni arifmetik progressiyaning (a n) a’zosi bo‘ladimi yoki yo‘qligini aniqlang, agar a 1 \u003d 4.1; d = 1,2.
Hm... Kim biladi? Biror narsani qanday aniqlash mumkin?
How-how... Ha, progressiyani ketma-ketlik shaklida yozing va ettita bo'ladimi yoki yo'qmi! Ishonamizki:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4,1 + 1,2 \u003d 5,3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Endi biz yetti yoshda ekanligimiz aniq ko'rinib turibdi sirg'alib o'tdi 6,5 dan 7,7 gacha! Yettilik bizning raqamlar qatorimizga kirmadi va shuning uchun ettitasi berilgan progressiyaning a'zosi bo'lmaydi.
Javob: yo'q.
Va bu erda GIA ning haqiqiy versiyasiga asoslangan vazifa:
4. Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket a'zolari yoziladi:
...; 15; X; 9; 6; ...

Mana oxiri va boshi bo'lmagan seriya. A'zolar raqamlari yo'q, farq yo'q d. Hech narsa xato emas. Muammoni hal qilish uchun arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish kifoya. Keling, nima qila olishimizni ko'rib chiqaylik kashf qilish bu qatordan? Uchta asosiy parametrlar qanday?

A'zolar raqamlari? Bu erda bitta raqam yo'q.
Ammo uchta raqam bor va - diqqat! - so'z "ketma-ket" holatda. Bu raqamlar qat'iy tartibda, bo'shliqlarsiz ekanligini anglatadi. Bu qatorda ikkitasi bormi? qo'shni ma'lum raqamlar? Ha bor! Bular 9 va 6. Shunday qilib, biz arifmetik progressiyaning farqini hisoblay olamiz! Biz oltitadan ayiramiz oldingi raqam, ya'ni. to'qqiz:
Bo'sh joylar qoldi. X uchun oldingi qaysi raqam bo'ladi? O'n besh. Shunday qilib, x ni oddiy qo'shish orqali osongina topish mumkin. 15 ga arifmetik progressiyaning farqini qo'shing:
Ana xolos. Javob: x=12
Quyidagi muammolarni o'zimiz hal qilamiz. Eslatma: bu boshqotirmalar formulalar uchun emas. Faqat arifmetik progressiyaning ma'nosini tushunish uchun.) Biz shunchaki bir qator raqamlar-harflarni yozamiz, qaraymiz va o'ylaymiz.
5. a 5 = -3 bo'lsa, arifmetik progressiyaning birinchi musbat hadini toping; d = 1,1.
6. Ma'lumki, 5,5 soni arifmetik progressiyaning (a n) a'zosi bo'lib, bu erda a 1 = 1,6; d = 1,3. Bu atamaning n sonini aniqlang.
7. Ma'lumki, arifmetik progressiyada a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. 3 ni toping.
8. Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket a'zolari yoziladi:
...; 15,6; X; 3.4; ...
X harfi bilan belgilangan progressiyaning hadini toping.
9. Poyezd stansiyadan harakatlana boshladi, asta-sekin tezligini daqiqasiga 30 metrga oshirdi. Besh daqiqada poezdning tezligi qanday bo'ladi? Javobingizni km/soatda bering.
10. Ma'lumki, arifmetik progressiyada a 2 = 5; a 6 = -5. 1 ni toping.
Javoblar (tartibsiz): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Hammasi chiqdimi? Ajoyib! Arifmetik progressiyani keyingi darslarda yuqori darajada o‘rganishingiz mumkin.
Hammasi amalga oshmadimi? Hammasi joyida. 555-sonli maxsus bo'limda bu muammolarning barchasi bo'laklarga bo'linadi.) Va, albatta, bunday vazifalarni hal qilishni darhol kaftingizda bo'lgani kabi aniq, aniq ta'kidlaydigan oddiy amaliy texnika tasvirlangan!
Aytgancha, poezd haqidagi jumboqda odamlar tez-tez qoqilib ketadigan ikkita muammo bor. Biri - faqat progressiya bilan, ikkinchisi - matematika va fizikadagi har qanday vazifalar uchun umumiydir. Bu o'lchamlarning biridan ikkinchisiga tarjimasi. Bu muammolarni qanday hal qilish kerakligini ko'rsatadi.
Ushbu darsda biz arifmetik progressiyaning elementar ma'nosini va uning asosiy parametrlarini ko'rib chiqdik. Bu mavzu bo'yicha deyarli barcha muammolarni hal qilish uchun etarli. Qo'shish d raqamlarga, ketma-ket yozing, hamma narsa hal qilinadi.
Barmoq eritmasi ushbu darsdagi misollarda bo'lgani kabi, seriyaning juda qisqa qismlari uchun yaxshi ishlaydi. Agar seriya uzunroq bo'lsa, hisob-kitoblar yanada murakkablashadi. Misol uchun, agar savolda 9-muammoda bo'lsa, o'zgartiring "besh daqiqa" ustida "o'ttiz besh daqiqa" muammo yanada yomonlashadi.)
Bundan tashqari, mohiyatiga ko'ra oddiy, ammo hisob-kitoblar nuqtai nazaridan mutlaqo absurd bo'lgan vazifalar mavjud, masalan:
Arifmetik progressiya (a n) berilgan. a 1 =3 va d=1/6 bo'lsa, 121 ni toping.
Va nima, biz 1/6 ni ko'p marta qo'shamiz?! O'z joniga qasd qilish mumkinmi!?
Mumkin.) Agar siz bunday vazifalarni bir daqiqada hal qilishingiz mumkin bo'lgan oddiy formulani bilmasangiz. Bu formula keyingi darsda bo'ladi. Va bu muammo o'sha erda hal qilinadi. Bir daqiqada.)
Agar sizga bu sayt yoqsa...
Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)
Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan test. O'rganish - qiziqish bilan!)
funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.
Kimdir "progressiya" so'zini yuqori matematika bo'limlaridan juda murakkab atama sifatida ehtiyotkorlik bilan ko'rib chiqadi. Ayni paytda, eng oddiy arifmetik progressiya taksi hisoblagichining ishi (ular hali ham saqlanib qolgan). Va bir nechta elementar tushunchalarni tahlil qilib, arifmetik ketma-ketlikning mohiyatini tushunish (va matematikada "mohiyatni tushunish" dan muhimroq narsa yo'q) unchalik qiyin emas.
Matematik sonlar ketma-ketligi
Raqamli ketma-ketlikni har biri o'z raqamiga ega bo'lgan bir qator raqamlar deb atash odatiy holdir.
va 1 - ketma-ketlikning birinchi a'zosi;
va 2 - ketma-ketlikning ikkinchi a'zosi;
va 7 - ketma-ketlikning ettinchi a'zosi;
n esa ketma-ketlikning n-chi a'zosi;
Biroq, bizni hech qanday o'zboshimchalik bilan raqamlar va raqamlar to'plami qiziqtirmaydi. Biz e'tiborimizni sonli ketma-ketlikka qaratamiz, unda n-a'zoning qiymati uning tartib raqami bilan matematik tarzda aniq ifodalanishi mumkin bo'lgan bog'liqlik orqali bog'lanadi. Boshqacha qilib aytganda: n-sonning son qiymati n ning qandaydir funktsiyasidir.
a - sonli ketma-ketlik a'zosining qiymati;
n - uning seriya raqami;
f(n) – n son qatoridagi tartib argument bo‘lgan funksiya.
Ta'rif
Arifmetik progressiya odatda har bir keyingi had oldingisidan bir xil songa kattaroq (kamroq) bo'lgan sonli ketma-ketlik deb ataladi. Arifmetik ketma-ketlikning n-a’zosi formulasi quyidagicha:

a n - arifmetik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;
a n+1 - keyingi sonning formulasi;
d - farq (ma'lum bir raqam).
Aniqlash oson, agar farq musbat (d>0) boʻlsa, koʻrib chiqilayotgan qatorning har bir keyingi aʼzosi oldingisidan katta boʻladi va bunday arifmetik progressiya ortib boradi.
Quyidagi grafikda buning sababini tushunish oson raqamli ketma-ketlik"o'sish" deb ataladi.

Farq salbiy bo'lgan hollarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Belgilangan a'zoning qiymati
Ba'zan arifmetik progressiyaning ba'zi bir ixtiyoriy had a n qiymatini aniqlash kerak bo'ladi. Buni arifmetik progressiyaning barcha a'zolarining qiymatlarini birinchisidan kerakligacha ketma-ket hisoblash orqali amalga oshirishingiz mumkin. Biroq, masalan, besh minginchi yoki sakkiz millioninchi muddatning qiymatini topish zarur bo'lsa, bu yo'l har doim ham maqbul emas. An'anaviy hisoblash uzoq vaqt talab etadi. Biroq, ma'lum bir arifmetik progressiyani ma'lum formulalar yordamida tekshirish mumkin. Bundan tashqari, n-son uchun formula mavjud: arifmetik progressiyaning istalgan a'zosining qiymatini progressiyaning birinchi a'zosining yig'indisi progressiyaning ayirmasi bilan kerakli a'zoning soniga ko'paytmasi, minus bittasi bilan aniqlash mumkin. .

Formula progressiyani oshirish va kamaytirish uchun universaldir.
Berilgan a'zoning qiymatini hisoblash misoli
Arifmetik progressiyaning n-azosining qiymatini topishga oid quyidagi masalani yechamiz.
Shart: parametrlarga ega arifmetik progressiya mavjud:
Ketma-ketlikning birinchi a'zosi 3;
Raqamlar qatoridagi farq 1,2 ga teng.
Vazifa: 214 ta atamaning qiymatini topish kerak
Yechish: berilgan a’zoning qiymatini aniqlash uchun quyidagi formuladan foydalanamiz:
a(n) = a1 + d(n-1)
Muammo bayonotidagi ma'lumotlarni ifodaga almashtirsak, bizda:
a(214) = a1 + d(n-1)
a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Javob: Ketma-ketlikning 214-a'zosi 258,6 ga teng.
Ushbu hisoblash usulining afzalliklari aniq - butun yechim 2 qatordan ko'p bo'lmaydi.
Berilgan miqdordagi atamalar yig'indisi
Ko'pincha, ma'lum bir arifmetik qatorda uning ba'zi segmentlarining qiymatlari yig'indisini aniqlash talab qilinadi. Bundan tashqari, har bir atamaning qiymatlarini hisoblash va keyin ularni jamlash kerak emas. Agar yig'indisi topilishi kerak bo'lgan atamalar soni kam bo'lsa, bu usul qo'llaniladi. Boshqa hollarda quyidagi formuladan foydalanish qulayroqdir.
1 dan n gacha bo‘lgan arifmetik progressiya a’zolari yig‘indisi birinchi va n-chi a’zolar yig‘indisiga teng bo‘lib, n a’zo soniga ko‘paytirilib, ikkiga bo‘linadi. Agar formulada n-chi a'zoning qiymati maqolaning oldingi bandidagi ifoda bilan almashtirilsa, biz quyidagilarni olamiz:

Hisoblash misoli
Masalan, quyidagi shartlar bilan muammoni hal qilaylik:
Ketma-ketlikning birinchi hadi nolga teng;
Farqi 0,5 ga teng.
Muammoda 56 dan 101 gacha bo'lgan qator shartlari yig'indisini aniqlash talab qilinadi.
Yechim. Progressiya yig'indisini aniqlash uchun formuladan foydalanamiz:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Birinchidan, muammomizning berilgan shartlarini formulaga almashtirish orqali progressiyaning 101 a'zosi qiymatlari yig'indisini aniqlaymiz:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525
Shubhasiz, 56-dan 101-gacha bo'lgan progressiyaning shartlari yig'indisini bilish uchun S 101 dan S 55 ni ayirish kerak.
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Shunday qilib, ushbu misol uchun arifmetik progressiyaning yig'indisi:
s 101 - s 55 \u003d 2525 - 742,5 \u003d 1782,5
Arifmetik progressiyaning amaliy qo'llanilishiga misol
Maqolaning oxirida, keling, birinchi xatboshida berilgan arifmetik ketma-ketlik misoliga qaytaylik - taksimetr (taksi mashinasini hisoblagich). Keling, bunday misolni ko'rib chiqaylik.
Taksiga chiqish (bu 3 kmni o'z ichiga oladi) 50 rublni tashkil qiladi. Har bir keyingi kilometr 22 rubl / km miqdorida to'lanadi. Sayohat masofasi 30 km. Sayohat narxini hisoblang.
1. Dastlabki 3 kmni tashlab qo'yaylik, uning narxi qo'nish narxiga kiritilgan.
30 - 3 = 27 km.
2. Keyingi hisoblash arifmetik sonlar qatorini tahlil qilishdan boshqa narsa emas.
A'zolar soni - bosib o'tgan kilometrlar soni (birinchi uchtadan minus).
A'zoning qiymati yig'indisidir.
Ushbu muammoning birinchi muddati 1 = 50 rublga teng bo'ladi.
Progressiya farqi d = 22 p.
bizni qiziqtirgan soni - arifmetik progressiyaning (27 + 1) a'zosining qiymati - 27-kilometrning oxirida hisoblagich ko'rsatkichi - 27,999 ... = 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Kalendar ma'lumotlarini o'zboshimchalik bilan uzoq vaqt davomida hisoblash ma'lum raqamli ketma-ketliklarni tavsiflovchi formulalarga asoslanadi. Astronomiyada orbita uzunligi geometrik jihatdan osmon jismining yoritgichgacha bo'lgan masofasiga bog'liq. Bundan tashqari, turli xil sonli qatorlar statistikada va matematikaning boshqa amaliy sohalarida muvaffaqiyatli qo'llaniladi.
Raqamlar qatorining yana bir turi geometrikdir
Geometrik progressiya arifmetik bilan solishtirganda katta o'zgarish tezligi bilan tavsiflanadi. Siyosatda, sotsiologiyada, tibbiyotda ko'pincha ma'lum bir hodisaning, masalan, kasallikning epidemiya vaqtida tarqalishining yuqori tezligini ko'rsatish uchun ular jarayonning eksponensial rivojlanishini aytishlari bejiz emas.
Geometrik sonlar qatorining N- a'zosi oldingisidan qandaydir doimiy songa ko'paytirilishi bilan farq qiladi - maxraj, masalan, birinchi a'zo 1 ga, maxraj mos ravishda 2 ga teng, keyin:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geometrik progressiyaning joriy a'zosining qiymati;
b n+1 - geometrik progressiyaning keyingi a'zosining formulasi;
q - geometrik progressiyaning (doimiy son) maxraji.
Agar arifmetik progressiyaning grafigi to'g'ri chiziq bo'lsa, geometrik bir oz boshqacha rasm chizadi:

Arifmetikada bo'lgani kabi, geometrik progressiya ham ixtiyoriy a'zoning qiymati uchun formulaga ega. Geometrik progressiyaning har qanday n-chi hadi birinchi hadning ko‘paytmasiga va n ning darajasiga kamaytirilgan progressiyaning maxrajiga teng:

Misol. Bizda birinchi hadi 3 ga, progressiyaning maxraji 1,5 ga teng bo‘lgan geometrik progressiya bor. Progressiyaning 5-chi hadini toping
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15.1875
Berilgan a'zolar sonining yig'indisi ham maxsus formula yordamida hisoblanadi. Geometrik progressiyaning birinchi n a’zosining yig‘indisi progressiyaning n-a a’zosi bilan uning maxraji va progressiyaning birinchi a’zosi o‘rtasidagi ayirmaning bir kamaytirilgan maxrajiga bo‘linganiga teng:

Agar b n yuqorida ko'rib chiqilgan formuladan foydalanib almashtirilsa, ko'rib chiqilayotgan sonlar qatorining birinchi n a'zosi yig'indisining qiymati quyidagicha bo'ladi:

Misol. Geometrik progressiya 1 ga teng birinchi haddan boshlanadi. Maxraj 3 ga teng o'rnatiladi. Birinchi sakkiz hadning yig'indisini topamiz.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 28