Amaliy matematika va informatika” yo’nalishi 18. 06-guruh talabasi Otajonova Oyzoda Sodiqjon qizining

II.BOB PROYEKSION USULLAR

2.1. Proyeksion usullar bilan chegaraviy masalalarning o`zaro bog`liqligi

Biz oldingi boblarda chegaraviy masalalarni chekli ayirmali metodlar va variatsion metodlar bilan taqribiy yechish masalasini ko`rib chiqgan edik. Bu metodlarning har birining ustunliklari va kamchiliklari bor. Agar differensial operator musbat aniqlangan va simmetrik bo`lsa, variatsion metodni qo`llash natijasida hosil bo`lgan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi ham musbat aniqlangan va simmetrik bo`ladi. Ammo bu matritsa to`la, ya`ni noldan farqli elementlari juda ko`p bo`ladi. Shuning uchun ham matritsaning tartibi katta bo`lsa, bunday masalani yechish uchun juda katta mehnat talab qilinadi. Ikkinchi tomondan, chekli-ayirmali metodda matritsa uch diagonalli bo`lib, chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi siyrak bo`ladi. Ammo differensial operator musbat aniqlangan holda sistemaning matritsasi musbat aniqlanmagan bo`lishi mumkin.

Keyingi yillarda shunday metodlar yaratila boshladiki, ular variatsion va ayirmali metodlarning ijobiy tomonlarini o`zida mujassamlashtirgan. Bu metodlar variatsion ayirmali metodlar deyiladi. Bunday metodlarni ko`rish uchun variatsion metodlarda bazis funksiyalar sifatida chekli bardoshli funksiyalardir. Bunday funksiyalar yechim mavjud bo`lgan sohaning faqat kichik qismidagina noldan farqlidir.

Biz bilamizki, agar

(2.1)

funksional aniqlangan sohada yechimi bo`ladi. Aksincha, agar yechim (2.1) funksionalning aniqlanish sohasida uning uchun minimumini ta`minlaydi.

Variatsion-ayirmali metodning mohiyati tushunchasi uchun

to`rda

(2.2)

finit funksiyalarni olib, ularni bazis funksiyalar sifatida qabul qilamiz. Finit funksiyaning orqali belgilanadi, bu holda . Taqribiy yechimini

ko`rinishida qidiramiz, bu yerda koeffitsiyentlarni variatsion algoritm bo`yicha aniqlaymiz. Bu holda (1.1) funksional uchun minimum ta`minlash shartida

(2.3)

tenglamalar sistemasini kelib chiqadi. (1.6), (1.7) formulaga ko`ra

(2.4)

Uncha nurakkab bo`lmagan hisoblashlardan , lar uchun quyidagilarni hosil qilamiz:

(2.5)

Shunday qilib, variatsion algoritm (1.3) finit funksiyaga qo`llash natijasi bilan (2.3) tenglamalar sistemasiga keltiriladi. Bu qandaydir ayirmali tenglama bo`lib, ayrimlari metodlarda hosil bo`ladigan tenglamalarga o`xshashdir. Bu sistemaning matritsasi uch diagonalli bo`ladi.

2.2. Galyorkin metodi

Rits metodining asosiy kamchiligi shundaki, u faqat operatori simmetrik va musbat bo`lgan tenglamalarda qo`llaniladi. Akademik B.G.Galyorkin 1915 yilda shunday metod taklif qildiki, u Rits metodiga nisbatan umumiydir. Bu metod hech qanday variatsion masala bilan bog`liq emas, shuning uchun ham u batamom universal metod hisoblanadi. Bu metodni elliptik, parabolik va gipperbolik tenglamalarga, hatto ularga ular variatsion masala bilan bog`liq bo`lmasa ham, katta muvaffaqiyat bilan qo`llash mumkin. Agar tenglamaning operatori simmetrik va musbat bo`lsa, Galyorkin metodi osonroq yo`l bilan Rits metodi beradigan taqribiy yechimni beradi. Taqribiy yechimning koeffitsiyentlarini aniqlaydigan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi bir xil bo`ladi. Galyorkin metodining yaqinlashishini akademik M.B.Keldish ko`rsatgan.

Endi Galyorkin metodining asosiy g`oyasi bilan tanishamiz. Faraz qilaylik

(2.6)

tenglama berilgan bo`lib, A-qandaydir ikki o`zgaruvchili differensial operator bo`lsin va (1.1) tenglamaning yechimi bir jinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bu masalaning yechimini quyidagi ko`rinishda izlaymiz:

(2.7)

Ushbu sistemaning chiziqli kombinatsiyasini olamiz,

bo`lganligi sababli ixtiyoriy uchun .

Endi (2.6), (2.7) variatsion masalaning yechimini ko`rinishda izlaymiz. Buning uchun ifodani (1.1) funksionalga qo`yib, quyidagiga ega bo`lamiz:

(2.8)

Bunda ta o`zgaruvchiga bog`liq bo`lgan ma`lum funksiya. Biz larni shunday tanlashimiz kerakki, minimalga erishsin. Buning uchun sonlar quyidagi

(2.9)

tenglamalar sistemasini yechimi bo`lishi kerak. Bu sistemani yechib, ga minimum beradigan larni topamiz; bu qiymatlarni (2.9) ga qo`yib, kerakli taqribiy yechimlarni hosil qilamiz:

(2.10)

Shuni ta’kidlash kerakki, muayyan holda bu taqribiy yechimni topish jarayoni juda sodda. Chunki amaliyotda uchraydigan muhim hollarda funksionalda uchraydigan integrallarda integral ostidagi ifoda lar nisbatan ikkinchi darajali ko`phad bo`lib, (2.5) sistema larni nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat bo`ladi. Amaliyotda yetarlicha aniqlikka erishishish uchun xatto ayrim hollarda deb olsak ham yetarli bo`ladi.