|
1.2. Variatsion masalalar bilan chegaraviy masalalarning o`zaro aloqasi
Variatsion hisobning dastlabki masalalari XVII asrda yuzaga kelgan bo`lib, o`sha vaqtdan boshlab variatsion hisob matematikaning muhim tarmog`i sifatida rivojlanib kelmoqda. Variatsion hisob funksionallarning ekstremumini topish bilan shug`ullanadi. Variatsion masalalarga braxistoxrona (Ya.Bernulli), nurning bir jinsli bo`lmagan muhitda tarqalish yo`lini topish (P.Ferma) va o`q bo`ylab aylanma harakat qilib siljiyotgan jism eng oz qarshilikka uchrashi uchun uning shakli qanday bo`lishi kerakligi (I.Nyuton) haqidagi masalalar kiradi. Variatsion hisob masalalarini yechishga L.Eyler katta xissa qo`shgan. Variatsion hisob metodlari mexanika, boshqaruv nazariyasi, matematik-fizika va shu kabi sohalarda keng qo`llaniladi. Bu sohalarda masalalarni yechish uchun uni yo differensial tenglama yoki biror funksionalning minimumini topishga keltiriladi. Bu bobda qaraladigan metodlar ham kollokatsiya metodi kabi taqribiy yechimni analitik shaklda ifodalaydi.
Masalaning mohiyatini tushunish uchun eng sodda
(1.21)
funksionalni qaraymiz, bunda berilgan funksiya bo`lib, uch o`lchovli Evklid sohasining biror sohasida o`zgarmaslarga nisbatan ikkinchi tartibli hosilalargacha uzluksizdir.
Faraz qilaylik , funksiya oraliqda uzluksiz bo`lib, da uzluksiz hosilaga ega va ning chekka nuqtalarida
(1.22)
shartlarni qanoatlantirsin.
funksiyaning -atrofida deb funksiyalarning shunday oilasiga aytiladiki, ular ning barcha nuqtalarida
tengsizlikni qanoatlantirsin, da uzluksiz hosilaga ega va (1.22) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin. Bunday oilaga kiradigan funksiyalar taqqoslashga joiz yoki sodda qilib joiz funksiyalar deyiladi. Variatsion hisoblashning asosiy masalasiga ko`ra joiz funksiyalar orasida shunday funksiyani topish kerakki, u (1.1) funksionalga absolyut minimum bo`lsin:
endi oilada funksionalga minimumni ta’minlaydigan uchun zaruriy shartni topamiz. Shu maqsadda
(1.23)
shartlarni qanoatlantiradigan uzluksiz hosilaga ega bo`lgan funksiyani olamiz. Keyin ushbu funksiyani qaraymiz. Bunda - kichik parametr, shuning uchun ham oilada yotadi, deb faraz qilishimiz mumkin. Bu funksiyani funksionalga qo`yamiz, u holda
(1.24)
ifoda kelib chiqadi. Bu ifodani ning funksiyasi deb qaraymiz: . Bu funksiya hosilasininng nuqtadagi qiymatini funksionalning birinchi variatsiyasi deyiladi va kabi belgilanadi:
xuddi shunga o`xshash
qiymat funksionalning ikkinchi variatsiyasi deyiladi. (1.24) ifodadan va variatsiyalar uchun quyidagi ifodalarni topamiz:
(1.25)
(1.26)
Endi (1.3) chegaraviy shartlarni hisobga olib, (1.5) ni bo`laklab integrallaymiz:
(1.27)
Ma’lumki, ning nuqtada ekstrimumga ega bo`lishining sharti ya’ni uchun ham (1.27) tenglikda funksiyaning ixtiyoriyligidan (1.22) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradigan va (1.21) integralni minimumini ta`minlaydigan funksiya
(1.28)
differensial tenglamani qanoatlantirishi kerak. Bu tenglama Eyler tenglamasi deyiladi. Shuni ham ta’kidlash kerakki, funksionalga minimumni ta’minlasa, u holda bo`lishi kerak.
Misol sifatida,
(1.29)
funksionalni olamiz. Bu yerda da uzluksiz hosilaga ega bo`lib, shartni qanoatlantiradi, va funksiyalar esa uzluksiz bo`lib, deb faraz qilamiz.
Ravshanki ,
shuning uchun ham (1.9) integral uchun Eyler tenglamasi
ga yoki
(1.30)
chegaraviy masalaga keladi; bu yerda chegaraviy shartlarning bajarilishi funksiyaning D oilaga kirishidan kelib chiqadi.
Shunday qilib, biz quyidagi teoremani isbot qildik:
1-teorema. Agar funksiya joiz funksiyalar orasida (1.29) funksionalning minimumini ta’minlasa, u holda u (1.10) chegaraviy masalaning yechimi bo`ladi.
Endi teskari teoremani ko`rib chiqamiz.
2-teorema. Agar funksiya (1.30) chegaraviy masalaning yechimi bo`lsa, u holda u joiz funksiyalar orasida funksionalning minumimini ta`minlaydi.
Isboti. Faraz qilaylik (1.30) chegaraviy masalaning yechimi bo`lsin. Ixtiyoriy joiz funksiyani olib, belgilash kiritamiz, va funksiyalar oraliqning chegaralarida bir xil qiymatlarni qabul qilganligi uchun funksiya uzluksiz hosilaga ega bo`lib, shartlarni qanoatlantiradi. Endi ni (1.29) integralga qo`yamiz:
(1.31)
O`rtadagi integralning birinchi hadini bo`laklab integrallaymiz, natijada
kelib chiqadi. Chunki yechim (1.30) chegaraviy masalaning yechimi bo`lib, .
Shuning uchun ham (1.31) tenglik quyidagi
(1.32)
ko`rinishga ega bo`ladi. Boshida qo`yilgan shartga ko`ra va . Shuning uchun ham (1.12) dagi oxirgi had manfiy emas har qanday joiz funksiya uchun
tengsizlik o`rinli bo`ladi. Bundan tashqari,
tenglikdan manfiy bo`lmagan uzluksiz funksiya bo`lganligi uchun da ekanligi kelib chiqadi. Ma`lumki, . Shuning uchun ham va bo`lishi kerak. Ammo oraliqning chegaralarida nol bo`lganligi uchun da aynan nol bo`lishi kerak. Demak, faqat bo`lgandagina bajariladi. Teorema isbotlandi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
