Amaliy matematika va infarmatika

Ichki va tashqi tekis bosimlar ta’siri

ostidagi qalin devorli quvur (Lame masalasi)

Paragraf nomida keltirilgan masalani qarashdan oldin burchakka nisbatan simmetrik ravishda taqsimlangan kuchlanishlar holatida bigarmonik tenglama va uning yechimini topamiz.

Agar kuchlanishlar burchakka bog‘liq bo‘lmasalar jismdagi kuchlanishlar taqsimoti qutbga nisbatan simmetrik bo‘ladi. Bunday kuchlanganlik holati, masalan, ichki va tashqi va bosimlar bilan yuklangan o‘zgarmas doiraviy kesimli quvurda yuzaga keladi.

Agar buralish haqidagi masalalardan boshqa masalalarni qaraydigan bo‘lsak deb hisoblash kerak. Bu holda - kuchlanishlar funksiyasi ham qutb burchagidan bog‘liq bo‘lmaydi; (18) bigarmonik tenglama va kuchlanishlar uchun (14) formulalar quyidagi ko‘rinishlarni oladilar:

(33)

. (34)

(8.33) tenglamani

(35)

ko‘rinishga keltiramiz. Bu o‘zgaruvchan koeffisiyentli oddiy differensial tenglama va u Eyler tipidagi tenglama deb yuritiladi.

O‘zgaruvchilarni quyidagicha almashtiramiz.

(36)

U holda

Topilgan hosilalarni (35) ga qo‘yib o‘zgarmas koeffisiyentli oddiy differensial tenglamaga ega bo‘lamiz:

. (37)

Bu tenglamaning yechimini

(38)

ko‘rinishda izlaymiz va uni (37) ga qo‘yib

(39)

xarakteristik tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu tenglama ildizlari

,

u holda (37) tenglamaning umumiy yechimi

bo‘ladi. Bu yerda (36) yordamida o‘zgaruvchiga qaytsak kuchlanishlar funksiyasi uchun

(40)

yechimga ega bo‘lamiz.

Olingan (8.40) yechimni (8.34) formulalarga qo‘yib kuchlanishlarni topamiz:

(41)

Endi paragraf nomida keltirilgan masalani yechishga o‘tamiz. Buning uchun avvalo uchlari erkin, yon sirtiga tekis bosim ta’siri (13-chizma) ostidagi doiraviy

tutash silindrni qaraymiz. Bu holda yuqoridagi (41) formulalarda

deb hisoblash zarur bo‘ladi, aks holda bo‘lganda

va kuchlanishlar cheksizlikka intiladilar. Qolgan yagona

o‘zgarmas esa silindr yon sirtidagi chegaraviy shartdan aniqlanadi

da u holda

(42)

ya’ni silindrning hamma nuqtalarida kuchlanishlar bir xil bo‘ladi. Kuchlanishlarning bunday taqsimotida radial ko‘chish - ni aniqlaymiz:

,

bu yerdan

, (43)

ya’ni radial ko‘chishning o‘zgaruvchidan bog‘liqligi chiziqli qonun

bo‘yicha sodir bo‘ladi.

Endi ichki va tashqi va tekis bosimlar ta’siridagi, devorlari

qalin quvurni qaraymiz. Bunda quvur uchlarini erkin, ya’ni

mahkamlanmagan deb hisoblaymiz. (15-chizma). Bu holda (41)

formulalarga kiruvchi uchta o‘zgarmas-larni aniqlash uchun faqat ikkita chegaraviy

da

da (44)

shartlarga egamiz.

Masalani kuchlanishlarda yechishda, agar jismning ko‘ndalang kesimi ko‘p bog‘lamli sohadan iborat bo‘lsa, umumiy yechimda qatnashuvchi ixtiyoriy o‘zgarmaslarni aniqlash uchun chegaraviy shartlar yetarli emasligi ko‘p manbalardan bizga ma’lum. Bunday holda chegaraviy shartlarga ko‘chishlarning bir qiymatliligi shartini

qo‘yish kerak bo‘ladi. Qaralayotgan quvurning ko‘ndalang kesimi ikki bog‘lamli sohadan iborat. Shuning uchun, ko‘chishlarning bir qiymatliligini ta’minlash maqsadida, tekis kuchlangan holat uchun Guk qonunining (6) formulalariga (4) - geometrik munosabatlarni qo‘yamiz va quyidagi ikki tenglamaga ega bo‘lamiz:

(45)

(45) ga (41) ifodalarni qo‘yib, ulardan birinchisini integrallaymiz:

(45) ning ikkinchi tenglamasidan

Olingan bu ikki ifodani taqqoslab, ular teng bo‘lishlari uchun

(46)

bo‘lishi kerakligini topamiz. Buni hisobga olsak

(47)

Endi (8.44) chegaraviy shartlarni qanoatlantirib va o‘zgarmaslarni topamiz

(48)

Olingan (8.46) va (8.48) natijalarni (8.47) formulalarga qo‘yib, radial ko‘chishlar va kuchlanishlar uchun yakuniy formulalarga ega bo‘lamiz:

(49)

(50)

Oxirgi ikki formulani qo‘shsak

. (51)

Shunday qilib, quvurning hamma nuqtalarida normal kuchlanishlarning yig‘indisi bir xil bo‘ladi. Bu holda, quvurning erkin uchlarida yuklamalar bo‘lmaganda, 3 ning natijalariga asosan, va quvur tekis kuchlangan holatda bo‘ladi. Bunda o‘qi bo‘ylab deformatsia va bo‘ylama ko‘chish quyidagi formula (3) bo‘yicha aniqlanishi mumkin:

(52)

Agar quvurning chetki kesimlari bo‘ylama yo‘nalishda mahkamlangan bo‘lsa va quvur tekis deformatsia holatida bo‘ladi. Bu holda kuchlanishlar uchun (50) formulalar o‘rinliligicha qoladilar, kuchlanish esa

(53)

formula bilan aniqlanadi.

Radial ko‘chishlar bu holda ham (49) formula bilan hisoblanadilar. Lekin bu formuladagi va o‘zgarmaslarni (8.7) ifodalar bilan aniqlanuvchi va o‘zgarmaslar bilan almashtirish zarur bo‘ladi.

Xususiy holda, agar quvur faqat ichki bosim bilan yuklangan bo‘lsa, ya’ni bo‘lsa, kuchlanishlar uchun (50) formulalar quyidagi ko‘rinishni oladi:

. (54)

Bu kuchlanishlarning quvur devori qalinligi bo‘yicha taqsimlanish epyuralari 8.16-chizmada tasvirlangan. Quvurning ichi sirtida eng katta sig‘uvchi kuchlanishlar va eng katta cho‘zuvchi kuchlanishlar yuzaga keladi:

(55)

Quvurning tashqi sirtida

Qaralgan masalada quvurning nafaqat kuchlanganlik

holati, balki ko‘chishlar taqsimoti ham simmetrik bo‘ladi.

(56)

Chunki quvurning hamma nuqtalarida aylanma yo‘nalishdagi ko‘chishlar nolga teng, ya’ni . Doiraviy teshikli plastinaning cho‘zilishi (Kirch masalasi)

O‘lchamlari chegaralanmagan, radiusli doiraviy teshikka ega hamda o‘qi bo‘ylab tekis taqsimlangan cho‘zuvchi kuch ta’siri ostidagi plastinani qaraymiz (17-chizma).

Ushbu plastinadan fikran etarli darajada katta tashqi b radiusli xalqa ajratamiz. Halqadan tashqaridagi kuchlanishlar, amalda teshiksiz plastinadagi kabi bo‘ladilar, ya‘ni

(57)

Bu yerda qutb koordinatalariga o‘tib va bunda (7) formulalarni hisobga olib.

(58)

Bu kuchlanishlarni ajratilgan xalqa uchun tashqi yuklama deb qaraymiz. Bu yuklama ikki qismdan iborat bo‘ladi:

Birinchi qismi radial yo‘nalishda tekis taqsimlangan va intensivligi bo‘lgan yuklamaga mos keladi. Bu yuklama ta’sirida xalqa nuqtalarida yuzaga keladigan kuchlanishlarni (50) Lame yechimi ko‘rinishida olamiz. Buning uchun (50)

formulalarda deb hisoblash kerak. Natijada

(59)

ekanligini hisobga olsak, bu yerdan

(60)

ga ega bo‘lamiz.

Yuklamaning ikkinchi qismi:

(61)

dan iborat bo‘ladi, tekis taqsimlangan emas va

(62)

kuchlanishlar funksiyasi yo‘rdamida hisoblash mumkin bo‘lgan kuchlanishlarni yuzaga keltiradi.

Kuchlanishlar funksiyasini (17) bigarmonik tenglamaga qo‘yib quyidagi Eyler tipidagi oddiy differensial tenglamaga kelamiz:

(63)

Bu tenglamaning yechimini

ko‘rinishida izlaymiz va ildizlari

bo‘lgan

xarakteristik tenglamagani olamiz. Demak, (63) tenglamaning umumiy yechimi

(64)

ko‘rinishda bo‘lishi kerak. Kuchlanishlar uchun (18) formulalarga (64) ni qo‘ysak

(65)

Bu yerdagi va o‘zgarmaslar (61) chegaraviy shartlardan hamda teshikning cheti tashqi kuchlardan xoli ekanligi shartidan topiladi:

Bu tengliklardan bo‘lganda

Topilgan bu qiymatlarni (65) ga qo‘yib hamda (59) ni hisobga olib doiraviy teshikli plastinadagi kuchlanishlar uchun yakuniy formulalarni olamiz:

(66)

Ushbu yechim tarkibidagi va qo‘shiluv- chilar teshikdan uzoqlashish bilan juda tez so‘nadilar. Shuning uchun, teshikning borligidan yuzaga kelgan bir jinsli kuchlanishlar maydoni qo‘zg‘alishlari mahalliy xarakterga ega. Bu narsa va chiziqlari uchun keltirilgan kuchlanish epyurasidan juda yaxshi ko‘rinadi. Dekart koordinatalari sistemasida bu mos ravishda va kuchlanishlar (17.a-chizma) epyuralaridan iborat bo‘ladi.

Teshikning chetida

bo‘ladi. kuchlanishning teshik konturi bo‘yicha taqsimlanishi 17, b-chizmada tasvirlangan. Bu kuchlanishlar eng katta qiymatga va bo‘lganda erishadilar.

Shunday qilib, plastinada teshikning mavjudligi uning chetlarida kuchlarning birdaniga oshishiga yoki kuchlanishlar konsentratsiasiga olib keladi.

Kuchlanishlar konsentratsiyasi konstruksialar mustahkamligini baholashda muhim amaliy ahamiyatga ega. Chunki xuddi kuchlanishlar konsentratsiyasi joylarida yoriqlar paydo bo‘ladi va pirovardida konstruksianing buzilishi (yemirilishi) ga olib keladi.

Xulosa:

Mening bu kurs ishim “Tekis kuchlanganlik holati uchun elastiklik nazariyasi masalalarining qo`yilishi” mavzusiga bag`ishlangan bo`lib, bu kurs ishim uchun ma`lumot to`plash jarayonida va yozish mobaynida ko`plab elastiklik nazariyasi bo`yicha va tekis kuchlanganlik holati bo`yicha bilimlarimni mustahkamladim.

Bundan tashqari elastiklik nazariyasining qutb koordinatalaridagi masalalari va masalalarning qo`yilishi-yechimlarini keltirib o`tdim.

Kurs ishini tayyorlash mobaynida to`plangan kuchning yarim tekislikka ta’sirini o`rganuvchi Flamen masalasi, Ichki va tashqi tekis bosimlar ta’siri ostidagi qalin devorli quvur uchun Lame masalasi, Doiraviy teshikli plastinaning cho`zilishini o`rganuvchi Kirch masalasi haqida va bu masalalar yechimlari haqida bilib oldim.

Hayotimizda uchrab turgan elastik jismlar, ularning kuchlanganligi, masalalarining qo`yilishi va yechimi haqida ushbu kurs ishimda qisqacha va tushunarli ma’lumot keltirib o`tdim.

Foydalanilgan adabiyotlar ro`yxati:
1.R.I.Xolmurodov, X.X.Xudoynazarov “Elastiklik nazariyasi” I-II qism. Toshkent, 2003 y.
2.Mamatqulov Sh. Elastiklik nazariyasidan ma’ruzalar. T.: Universitet, 1995.
3.Raxmatov M.A., Xudoynazarov X.X. "Elastiklik nazariyadan ma’ruzalar kursi" Samarkand 2003 yil.
4.Rustam I.X. “Elastiklik nazariyasi” Samarqand 2003.

Elektron ta’lim resurslari

1. 
   http://www.edu.ru
   
2. 
   http://www.edu.uz
   
3. 
   http://ru.wikipedia.org