Amaliy matematika va infarmatika

II.1.ELASTIKLIK NAZARIYASINING TEKIS MASALASI

2.1.1. Tekis deformatsiya. Kuchlanishlar funksiasi.

Chetki kesimlari o‘qiga perpendikuylar bo‘lgan prizmatik yoki silindrik jismni qaraymiz (7.1-chizma). Jismning uchlari shunday mahkamlanganki, bunda ularning nuqtalari o‘z tekisliklarida erkin harakat qiladi, o‘qi yo‘nalishida ko‘chishlarga ega emas deb faraz qilamiz.

Jismning yon sirtlariga qo‘yilgan tashqi kuchlar o‘qining normal bo‘ylab yo‘nalgan va jism uzunligi bo‘ylab tekis taqsimlangan. Jism ko‘ndalang kesimlari tekisliklarida ular o‘zaro muvozanatlashgan kuchlar sistemasini tashkil etadi.

Ko‘rsatilgan chegaralanishlarda deformatsiya natijasida jismning ko‘ndalang kesimlari tekisligicha qoladi va ularning nuqtalari o‘qi bo‘ylab ko‘cha olmaydi. Shunday qilib tekis deformatsiya jism nuqtalarining o‘qiga perpendikular tekisliklardagina ko‘cha olishlari bilan xarakterlanadi:

(1)

Agar qaralayotgan holda jismning chetki uchlari tekisligicha qolgan holda o‘qi yo‘nalishida ilgarilanma harakatlana olsa, u holda .1) dan farqli ravishda ko‘chish nolga teng bo‘lmasdan koordinataga bog‘liq ravishda (bikr ko‘chish aniqligida) chiziqli qonun bo‘yicha o‘zgaradi, ya’ni

(2)

Jismning bunday deformatsiyalangan holati umumlashgan tekis deformatsiya deyiladi.

Tekis deformatsiya holati odatda o‘qi yo‘nalishida juda katta uzunlikka ega bo‘lgan jismlarda yuzaga keladi. Tekis deformatsiyaga misol sifatida suvning gidrostatik bosimi ostidagi hamda o‘z og‘irlik kuchi ta’siri ostidagi to’sin devor yoki to‘g‘onni keltirish mumkin. (2 - chizma).

Agar to‘g‘onning uchlari bikr mahkamlangan deb hisoblansa, to‘g‘onning hamma kesimlari, shu jumladan uchlaridagi ham, tekis deformatsiya holatida bo‘ladi. Agar to‘g‘onning uchlari mahkamlanmagan deb hisoblansa, to‘g‘onning o‘qi yo‘nalishida ko‘chishlariga uning asosi bilan asosga tegib turgan yer sirti (to‘gonning tubi) orasidagi ishqalanish natijasida yuzaga

keluvchi siljish bog‘lanishlari to‘sqinlik qiladi.

Bu holda Sen-Venan prinsipiga asosan tekis

deformatsia holatida to‘g‘onning uchlaridan

yetarli uzoqlikdagi kesimlari bo‘ladilar.

Faraz qilaylik, tekis deformatsiya holatidagi

jism uchun (1) munosabatlar berilgan bo‘lsin.

U holda Koshining olti differensial bog‘lanishlaridan faqat uchtasi qoladi:

(3)

qolgan uchtasi nolga aylanadi

Guk qonunining deformatsialarga nisbatan yechi gan ko‘rinishi

(4)

kabi bo‘ladi. Deformatsialarning olti uzviylik tenglamalaridan faqatgina bittasi qoladi

(5)

qolganlari esa aynan qanoatlantiriladilar.

Tekis deformatsianing (7.1) munosabatlaridan hamda Guk qonunidan

bu erda

, (6)

kelib chiqib kuchlanish tenzori komponentalari uchun quyidagi ifodalarga ega bo‘lamiz:

(7)

Bu yerda kuchlanish tenzorining komponentalari ham, xuddi ko‘chishlar kabi, koordinataga bog‘liq bo‘lmaydi. Yuqoridagi (7) ifodalarning birinchi ikkitasidan

u holda

(8)

Muvozanat (….) differensial tenglamalari tekis deformatsiya holatida quyidagi ko‘rinishni oladi

(9)

Qaralayotgan jismning yon sirtlaridagi (…) chegaraviy shartlar uning ko‘ndalang kesimining L konturidagi shartlarga keltiriladi: