Amaliy matematika va infarmatika

2.1.2. Tekis kuchlangan holat.

Faraz qilaylik, uchlari mahkamlanmagan silindrik jismning (7.1-chizma) yon sirtiga normal yo‘nalishida o‘zaro muvozanatlashgan sirt kuchlari qo‘yilgan bo‘lsin. Massaviy kuchlarning bor yo‘ki yo‘qligi masalani yechish xarakteriga xalaqit bermaydi, shuning uchun ularni nolga teng deb hisoblaymiz.

Jism tekis kuchlangan holatda deyiladi, agar uning hamma ko‘ndalang kesimlarida

(21)

bo‘lsa. Tekis kuchlangan holat ba’zan ikki o‘qli kuchlangan holat deb ham yuritiladi. Kuchlanish tenzorining qolgan noldan farqli uchta konponentasi (13) bir jinsli muvozanat tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak.

Tekis kuchlangan holatda tekis deformatsiadan farqli o‘laroq, ko‘chishlar va kuchlanishlar koordinataga bog‘liq bo‘ladi. Ya’ni tekis kuchlangan holat haqidagi masala uch o‘lchovli masala bo‘ladi.

Yuqorida tavsiflangan tekis kuchlangan holatni jismning yon sirtiga qo‘yilgan va jism o‘rta kesimiga nisbatan simmetrik holda koordinataga kvadratik qonun bo‘yicha bog‘liq bo‘lgan va sirt kuchlari amalga oshirishlarini isbotlash mumkin.

Tekis kuchlangan holatda Guk qonuni tenglamalari:

(22)

bu yerda

. (23)

Ikkinchi tomondan

bo‘lganligi uchun (22) ning uchinchi ifodasidan

yoki bundan

(24)

U holda

(25)

Quyidagicha belgilash kiritamiz:

(26)

U holda Guk qonuni quyidagi ko‘rinishga keladi:

(27)

Guk qonunining olingan (27) munosabatlari tekis deformatsia holatidagi (7) munosabatlar bilan shaklan bir xildir: agar (7) da Lamening koeffitsiyentini (26) tenglik bilan aniqlanuvchi o‘zgarmas bilan almashtirilsa, (27) munosabatlarni olish mumkin. Shu bilan bir qatorda, tekis kuchlangan holat, yuqorida ta’kidlanganidek, tekis deformatsiadan farqli ravishda uch o‘lchovlidir. Chunki tekis deformatsiada kuchlanish va ko‘chishlar tekis deformatsiyada koordinataga bog‘liq bo‘lmaydi. Lekin jism chetlari orasidagi masofa uning ko‘ndalang kesimi o‘lchamlariga nisbatan juda kichik bo‘lganda, ya’ni jism plastinkadan iborat bo‘lganida (7.3-chizma), kuchlanishlarning koordinataga bog‘liqligini hisobga olmaslik mumkin bo‘ladi. Chunki bunday holatda koordinataning o‘zgarish oralig‘i juda kichik. Xuddi ana shu faktorga asosan Faylon tekis kuchlangan holatni umum-lashtirib, yupqa plastina holida masalani ikki o‘lchovli masalaga keltirish imkonini beradi. Faylon nuqtayi nazariga ko‘ra kuchlanishlar va ko‘chishlarning plastinaning kichik qalinligi bo‘yicha qiymatlarini bilish ularning har bir nuqtadagi qiymatlarini bilish bilan ekvivalentdir.

Endi 3–chizmada tasvirlangan, qalinligi ga

teng yupqa plastinani qaraymiz. koordinat

tekisligini plastina o‘rta tekisligi bilan ustma-ust

qo‘yamiz. Plastina o‘zining o‘rta tekisligiga nisbatan

simmetrik ravishda va sirt kuchlari bilan

ko‘ndalang kesim konturi bo‘ylab yuklangan

bo‘lsin. Plastinaning bunday yuklanishida, uning

ichki nuqtalarida kuchlanish tenzori va ko‘chish vektori komponentalari, umuman olganda, nolga teng bo‘lmaydi va uchta bir jinsli (massaviy kuchlar nolga teng deb hisob-lanadi: ) muvozanat tenglamalarini qanoatlantirishlari kerak

(28)

Ammo, yuklanish shartiga ko‘ra plastinaning chetki tekisliklarida, ya’ni va tekisliklarining hamma nuqtalarida

(29)

kuchlanishlar nolga teng bo‘lishlari kerak.

Endi funksiyani va larning fiksirlangan qiymatlarida koordinataning darajalari bo‘yicha nuqta atrofida Teylor qatoriga yoyamiz

Bu yerdan (29) ni hisobga olgan holda

.

Demak, yupqa plastina uchun komponenta juda kichik va uni yetarli darajadagi yaqinlashish aniqligida plastinaning hamma nuqtalarida nolga teng deb hisoblash mumkin, ya’ni

(30)

Kuchlanish tenzorining qolgan komponentalarini plastinaning qalinligi bo‘yicha o‘rtalashtiramiz, ya’ni

. (31)

Shartga ko‘ra plastina o‘zining o‘rta tekisligiga nisbatan simmetrik ravishda yuklangan. U holda va kuchlanishlar - koordinataga nisbatan juft funksialardir, va kuchlanishlar esa toq funksialardir. Bundan va kuchlanishlarning o‘rta qiymatlari nolga tengligi chiqadi, ya’ni

(32)

Shunday qilib, kuchlanish tenzorining komponentalarini ularning o‘rta qiymatlari bilan almashtirganda, kuchlanish tenzorining faqat uchta va komponentalarigina noldan farqli bo‘ladi va koordinataga bog‘liq bo‘lmaydi. Boshqacha aytganda, kuchlanish tenzori komponentalari plastina qalinligi bo‘yicha o‘rtalashtirilganda plastina taqriban (deyarli) tekis kuchlangan holatda bo‘ladi. Ana shu holat umumlashgan tekis kuchlangan holat deyiladi.

Kuchlanish tenzorining o‘rta qiymatlaridan foydalanilganda bo‘lganligi uchun (28) muvozanat tenglamalari

(33)

ko‘rinishni oladi. Guk qonuni munosabatlari esa quyidagicha bo‘ladi:

(34)

bu yerda - (26) tengliklar bilan aniqlanuvchi o‘zgarmaslar;

(35)

Xuddi tekis deformatsiadagidek kuchlanishlar koordinataga bog‘liq bo‘lmaganlari uchun (34) muvozanat tenglamalari uchun ham kuchlanish (Eri) funksiasini kiritish mumkin, ya’ni

(36)

kuchlanishlar Beltrami shartlariga bo‘ysunishlari zarur. Demak, Eri funksiasi bigarmonik funksiya bo‘lishi, ya‘ni (18) tenglamani qanoatlantirishi kerak.

Plastinaning L konturida Ф(x₁,x₂) funksiya uchun chegaraviy shartlar quyidagi tengliklar bilan ifodalanadi:

(37)

bu yerda

.

Tekis deformatsiya haqidagi masalaning asosiy tenglamalarini umumlashgan tekis kuchlangan holat haqidagi masalaning asosiy tenglamalari bilan solishtirish ko‘rsatadiki, bu ikki masala matematik jihatdan bir xildir. Birinchi masala asosiy tenglamalarida ishtirok etuvchi va komponentalarni ularning (31) formulalar bilan aniqlanuvchi o‘rta qiymatlari bilan almashtirib hamda - Lame koeffitsientini (26) formula bilan aniqlanuvchi o‘zgarmas bilan almashtirib ikkinchi masalaning asosiy tenglamalarini olamiz. Ushbu mohiyati har xil bo‘lgan ikki masala bitta bigarmonik chegaraviy masalaga keltiriladiki, u elastiklik nazariyasining tekis masalasi deyiladi.

Yuqoridagi ikki masala uchun Guk qonuni munosabatlarini yana bir marta yozib taqqoslash ishini amalga oshiramiz.

Tekis kuchlangan holat uchun:

(38)

Tekis deformatsia holati uchun:

(39)

bu yerda

(40)

Guk qonuni formulalarining tekis kuchlangan holat uchun (38) ifodasi va tekis deformatsia uchun (40) ifodalarini mos ravishda quyidagi ko‘rinishlarga keltirish mumkin:

(41)

va

(42)

Paragrafning oxirida konturda tashqi kuchlar emas, balki ko‘chishlar berilganda tekis masala asosiy tenglamalarini keltiramiz. Bu holda chegaraviy shartlar quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:

(43)

Muvozanat tenglamalari sifatida Lame tenglamalari qabul qilinadi va quyidagi ko‘rinishda foydalaniladi:

1. 
   tekis deformatsia uchun:
   

(44)

2. 
   tekis kuchlangan holat uchun:
   

(i= 1,2). (45)

Bundan keyingi paragraflarda amaliy tekis masalalar va ularni yechish usullari bilan tanishamiz . Yuqorida qaralgan tenglamalardan ko‘rinadiki, tekis masala holida asosiy munosobatlar nisbatan qisqa shaklda yoziladi. Shu sababli tekis masalalar qaralayotganda yozuvning tenzor «tili» dan, an’anaviy ko‘rinishga o‘tgan ma’qul. Shu nuqtayi - nazardan bundan keyingi masalalarni yechishni to‘g‘ri burchakli Dekart koordinatalari sistemasining belgilanishidan an’anaviy belgilashlarida yoritamiz.