Аллакова Дилбар

a₁+  a₂, a₂ , . . . , a_m (3)

ko'rinishda bo'lsa ham (1) va (3) lar ekvivalentdir.

Endi vektorli fazolar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biriga ta'rif beramiz.

Ta'rif. Berilgan chekli sondagi vektorlar sistemasining bazisi deb uning chiziqli bog'lanmagan va berilgan sistemaga ekvivalent bo'sh bo'lmagan qismiy sistemasiga aytiladi.

Boshqacha so'z bilan aytganda berilgan vektorlar sistemasidagi har bir vektorni ifodalash mumkin bo'lgan, chiziqli bog'lanmagan, bo'sh bo'lmagan qismiy sistemadir.

2-teorema. Agar chekli vektorlar sistemasida hech bo'lmasa birorta noldan farqli vektor mavjud bo'lsa, bu sistema bazisga ega. Berilgan sistemaning har qanday ikkita bazisi bir xil sondagi vektorlardan to'zilgan bo'ladi.

Isboti. Faraz etaylik, chekli sondagi hech bo'lmasa birortasi noldan farqli bo'lgan vektorlar sistemasi

u₁, u₂ , . . . , u_k , . . . , u_m (4)

berilgan bo'lsin. Bu sistemadagi nol vektorlarni tashlab yuborish mumkin, chunki hosil bo'lgan sistema (4) sistemaga ekvivalent bo'ladi. Shuning uchun ham u₁ deb olishimiz mumkin. Agar (4) chiziqli erkli bo'lsa uning o'zi bazis bo'ladi. Agarda (4) sistema chiziqli bog'langan bo'lsa, u holda bu sistemadagi u_k vektor o'zidan oldingi vektorlarning chiziqli kombinasiyasidan iborat bo'ladi, ya'ni u₁, u₂ , . . . , u_k-1 , u_k+1 , , . . . , u_m sistema (4) ga ekvivalent va kamida birta noldan farqli vektor o'nga qarashli. Shu jarayonni davom ettirib chekli qadamdan keyin birortasi ham qolganlarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo'lmagan sistemaga ega bo'lamiz va u bazis bo'ladi.

Agar u₁, u₂ , . . . , u_k va v₁, v₂ , . . . , v_s lar berilgan sistemaning bazislari bo'lsalar, ular ekvivalent bo'ladi va demak k=s.

Ta'rif.Berilgan vektorlar sistemasining bazisini tashkil etuvchi vektorlar soniga shu sistemaning rangi deyiladi.

Faqat nol vektordan to'zilgan sistemaning va bo'sh sistemaning rangi nolga teng deb hisoblanadi.

Xossalari.

1. Agar u₁ , u₂ , . . . , u_k L(v₁ , v₂ ,... , v_m ) bo'lsa, u₁ , u₂ , . . . , u_k vektorlar sistemasining rangi v₁ , v₂ ,... , v_m vektorlar sistemasining rangidan katta emas.

Isboti. Agar u₁ , . . .. , u_k sistema faqat nol vektorlardan to'zilgan bo'lsa, uning rangi nolga teng va v₁ ,... , v_m sistemaning rangidan katta emas.

Agarda birinchi u₁ , . . .., u_k sistemada birorta noldan farqli vektor mav-jud bo'lsa, v₁ ,... , v_m sistema ham noldan farqli vektorga ega bo'ladi(teorema-ning shartiga ko'ra). U holda ikkala sistema ham bazisga ega. u₁ , . . .., u_r bi-rinchi sistemaning bazisi; v₁ ,... , v_s esa ikkinchi sistemaning bazisi bo'lsin. U holda v₁ ,... ,v_s sistema v₁ ,... ,v_m ga ekvivalent va demak L(v₁ ,...,v_s)= L(v₁ ,..., v_m).

Shunday qilib u₁ , . . . , u_r  L(v₁ ,... , v_s ) va r  s.

Natijalar:

1. Berilgan sistemaning rangi uning ixtiyoriy qismi sistemaning rangidan kichik emas.

2. Ekvivalent sistemaning ranglari o'zaro teng.

3. n- o'lchovli vektorli fazodagi Ixtiyoriy chekli sistemaning rangi  n.

Haqiqatdan ham L(е₁ , е₂ ,... , е_n)=Rⁿ va a₁ , ... , a_m ,  L(e₁ , e₂ ... , e_n)= Rⁿ bo'lsa, 1 ga ko'ra a₁, ... , a_m ning rangi e₁ , e₂ ... , e_n ning rangi n dan katta emas.

4. Agar chekli sistemaning rangi r ga teng bo'lsa, uning Ixtiyoriy k ta vek-tordan to'zilgan qismiy sistemasi k > r bo'lganda, chiziqli bog'langandir.

5. Agar

a₁, ... , a_m (5)

sistemaning rangi

a₁, ... , a_m ,b (6)

sistemaning rangiga teng bo'lsin. U holda b vektor (5) sistemadagi vektorlar orqali chiziqli ifodalanadi.

Isboti. Tushunarliki, agar ikkala sistemaning ham rangi nolga teng bo'lsa, teorema o'rinli. Faraz etaylik, (5)-sistemaning rangi r > 0 ga teng bo'lsin va a₁, a₂ ... , a_r uning bazisi bo'lsin. U holda ikkinchi sistemaning ran-gi ham r ga teng bo'ladi va a₁, a₂ ... , a_r sistema (6) ning qismi bo'lgani uchun a₁, ... , a_r ,b chiziqli bog'langan, demak, b L(a₁ , ... , а_r). U holda bL(a₁,...,a_r ..., a_m)

ya'ni b= ₁ a₁ + ₂ a₂ + ... + _m a_m.