Аллакова Дилбар

Matrisaning rangi. A matrisaning satrlari m ta n o'lchovli gorizontal a ₁ =(a₁₁, a₁₂ ,..., a_1n ), a ₂ =(a₂₁ , a₂₂ ,..., a_2n ), . . . , a _m =( a_m1 , a_m2 .,..., a_mn ) (3)

векторларни, устунлари эса n та m улчовли вертикал векторларни ташкил ки-лади. Уларни горизонтал векторлардан фарк килиш учун

a ¹ =(a₁₁, a₂₁ ,..., a_m1 ), a ² =(a₁₂ , a₂₂ ,..., a_m2 ), . . . , a ⁿ =( a_1n , a_2n .,..., a_mn ) (4)

куринишда белгилаймиз.

1-таъриф. a ₁ ,a ₂ , . . . ,a _m vektorlar sistemasining rangi A matrisaning satrlar bo'yicha rangi, a ¹, a ², . . . , a ⁿ vektorlar sistemasining rangiga esa A matrisaning ustunlar bo'yicha rangi deyiladi.

1- teorema. Elementar almashtirishlar matrisaning rangini o'zgartir-maydi.

Isboti. Elementar almashtirishlarni satrlarga tadbik etaylik.

1). Matrisaning ixtiyoriy ikkita satrining o'rnini almashtirish (3) sistemadagi ikkita vektorning o'rnini almashtirishga mos keladi, shuning uchun ham uning rangi o'zgarmaydi.

2). Matrisaning biror satri (masalan i-catr) 0 soniga ko'paytirilgan bo'lsa, u holda (3) sistemadagi a _i - vektor shu  soniga ko'paytirilgan bo'ladi, ya'ni

a ₁ ,a ₂ , . . . , a _i , . . . ,a _m (5)

sistema hosil bo'ladi. Faraz etaylik, (3) chiziqli erkli, lekin (5) esa chiziqli bog'langan bo'lsin. U holda hech bo'lmasa birortasi noldan farqli ₁ , ₂ , . . . , _i , . . . , _m sonlari mavjud bo'lib ₁ a₁ +₂a₂ +...+_i (a _i)+...+_m a _m=0

tenglik bajariladi. _i0 deb olishimiz mumkin (aks holda (3)-sistema chiziqli bog'langan bo'lar edi). 0 bo'lganligi sababli _i   0, demak, ₁ a₁ + +₂a₂ +...+(_i )a _i+...+_m a _m=0, ya'ni (3)-sistema chiziqli bog'langan, bu qarama-karshilik (5)-sistemaning chiziqli bog'lanmagan ekanligini ko'rsatadi.

3). Matrisaning j-satrining elementlari  ga (0) ko'paytirilib i-satrning mos elementlariga qo'shilgan bo'lsa, u holda

a ₁ ,a ₂ , . . . , a _i +a _j , . . . ,a _m (6)

vektorlar sistemasiga ega bo'lamiz. Bizga ma'lumki, (3) va (6) vektorlar sistemalari ekvivalent, ya'ni ularning ranglari teng.

2-teorema. Har bir matrisaning satr bo'yicha rangi ustun bo'yicha rangiga teng.

Isboti. Biz (3) va (4) sistemalarning ranglarining teng ekanligini is-botlaymiz. (3) ning bazisi

a₁ ,a₂ , . . . ,a_r (7)

(4) ning bazisi esa

a ¹, a ², . . . , a ^s (8)

bo'lsin. Biz r=s ekanligini isbotlaymiz. Faraz etaylik r bo'lsin.U holda (7) sistemadagi a _i =(a_i1 ,a_i2 ,..., a_is ,..., a_in ), ( i=1,2,...,r) vektorlarning birinchi s ta koordinatalaridan foydalanib ushbu s ta noma'lumli r ta tenglamadan to'zilgan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi

a_i1x₁ + a_i2 x₂ + ....+ a_is x_s =0, (i=1,2,...,r)

ni to'zib olamiz. r (₁ , ₂ , ....,_s ) nolmas yechimga ega, ya'ni

a_i1₁ + a_i2 ₂ + ....+ a_is _s =0, (i=1,2,...,r). (9)

Bu (₁ , ₂ , ....,_s ) yechim (3) dagi qolgan vektorlar a_r+1 ,a_r+2 , . . . ,a_m larning birinchi s ta koordinatalardan to'zilgan

a_k1x₁ + a_k2 x₂ + ....+ a_ks x_s =0, (k= r+1,r+2,...,m)

sistemani ham qanoatlantiradi. Haqiqatan ham, a_r+1 ,a_r+2 , . . . ,a_m vektorlarning har biri (7) sistemadagi vektorlar orqali (bazis orqali) chiziqli ifodalanadi: a_k =_1k a₁ +  _2k a₂ + ....+  _rk a_r , (k= r+1,r+2,...,m). Bundan (a_k1, a_k2 , , ...., a_kn ) = (_1k a₁₁ +  _2k a₂₁ + ....+  _rk a_r1 , . . . , _1k a_1n +  _2k a_2n + ....+  _rk a_{r n} ) yoki

a_k1 = _1k a₁₁ + _2k a₂₁ + ....+  _rk a_r1 ,

---------------------------------------------

a_ks = _1k a_1s +  _2k a_2s + ....+  _rk a_{r s} ,

a_k,s+1 = _1k a_1,s+1 +  _2k a_2,s+1 + ....+  _rk a_r,s+1 , (k=r+1,r+2,... ,n)

------------------------------------------------------

a_kn = _1k a_1n +  _2k a_2n + ....+  _rk a_{r n} .

Bu tengliklarning birinchi s tasini mos ravishda ₁ , ₂ , ....,_s larga ko'pay-tirib qo'shsak (9) ga asosan a_k1₁+a_k2 ₂ + ....+a_ks _s =₁ (_1k a₁₁+_2k a₂₁ + ....+

+ _rk a_r1 )+₂ (_1k a₁₂ + _2k a₂₂ + ....+ _rk a_r2)+...+_s(_1k a_1s + _2k a_2s + ....+ _rk a_{r s})=

= _1k( a₁₁ ₁ + a₁₂ ₂ + ....+a_1s _s) + _2k( a₂₁ ₁ + a₂₂ ₂ + ....+a_2s _s) + ... +

+ _rk( a_r1 ₁ + a_r2 ₂ + ....+a_rs _s)= _1k  0 + _2k 0 +...+ _rk  =0 ni hosil qilamiz.

Demak,

a_k1₁+a_k2 ₂ + ....+a_ks _s =0 (10)

(9) va (10) dan (8) ning chiziqli bog'langan ekanligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham ₁ a ¹ +₂ a ² +....+_s a ^s =₁ (a₁₁ ,a₂₁ ,..., a_m1 )+₂ (a₁₂ ,a₂₂ ,..., a_{m 2} )+ . . . +

+_s (a_1s ,a_2s ,..., a_ms )= ( a₁₁₁ + a₁₂₂ + ....+a_1s_s), a₂₁₁ + a₂₂₂ + ....+a_2s_s), ... ,

+ a_m1₁ + a_m2₂ + ....+a_ms _s)=(0,0, . . . ,0). Bu esa (8) ning chiziqli erkli ekanligiga ziddir. Demak, r< s bo'la olmas ekan. r > s xoli ham xuddi shunday karaladi. Shuning uchun ham r = s.

Chiziqli tenglamalar sistemasining rangi deb uning matrisasining rangiga aytiladi.

Agar nolmas satrga ega bo'lgan matrisadagi k-nolmas satrdagi birinchi noldan farqli element(k-1)-nolmas satrdagi birinchi noldan farqli elementdan o'ng tomonda tursa bunday matrisaga pogonali matrisa deyiladi. Tushunarliki matrisaning rangi uning pogonali ko'rinishidagi noldan farqli satrlar soniga teng.

Misol. Ushbu matrisaning rangini hisoblang: 2 -1 0 8

A= -4 2 0 -6

6 -3 0 9

2 -1 0 8 2 -1 0 8 2 -1 0 8 2 -1 0 8

-4 2 0 -6  0 0 0 10  0 0 0 1  0 0 0 0

6 -3 0 9 0 0 0 -15 0 0 0 -1 0 0 0 0 .

Shunday qilib, berilgan matrisaning rangi r(A)=2 .

MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR .

1). Matrisaning rangi deb nimaga aytiladi?

2). Chiziqli tenglamalar sistemasining rangi deb nimaga aytiladi ?

3). Matrisaning satrlar (ustunlar) bo'yicha rangi deb nimaga aytiladi?

4). Matrisadagi elementar almashtirishlar uning rangiga qanday ta'sir qiladi?


16- MA'RO'ZA

MAVZU: CHIZIqLI TENGLAMALAR SISTEMASINI NOMA'LUM-

LARINI KETMA-KET YUqOTISH USULI (GAUSS USULI) BILAN YECHISH

R YE J A:

1. Chiziqli tenglamalar sistemasida yagona yechimga ega bo'lgan xol.

2. Chiziqli tenglamalar sistemasi cheksiz ko'p yechimga ega bo'lgan xol.

3. Misollar.

4. Bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlari orasidagi bog'lanish.

ADABIYOTLAR [ 1 , 2 , 3 ].

Ushbu mxn -chiziqli tenglamalar sistemasi (ch.t.s.)

a₁₁ x₁ +a₁₂ x₂ + ....+ a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ +a₂₂ x₂ + ....+ a_2n x_n = b₂

.................................................. (1)

a_m1 x₁ +a_m2 x₂ + ....+ a_mn x_n = b_m

berilgan bo'lsin.Uni Gauss usuli bilan yechish uchun uning Ixtiyoriy bir (masa- lan birinchi) tenglamasini yezib olamiz va qolgan tenglamalarning barchasidan birorta noma'lumni (masalan, x₁ ni) yuqotamiz. U holda ushbu sistemaga ega bo'lamiz:

a₁₁ x₁ +a₁₂ x₂ + ....+ a_1n x_n = b₁

a'₂₂ x₂ + ....+ a'_2n x_n = b'₂

................................... (2)

a'_m2 x₂ + ....+ a'_mn x_n = b'_m

Tushunarliki (2) sistema (1) ga ekvivalent. Endi (2) sistemadagi 1-tenglamani va qolgan tenglamalardan yana birortasini (masalan 2-tenglamani) yozib olamiz, qolgan barcha tenglamalardan x₂ ni yuqotamiz. Shu jarayonni davom ettiramiz. Bunda agar 0=0 ko'rinishdagi tenglama hosil bo'lsa, uni tushirib qoldiramiz. Agarda, 0=b (b0) ko'rinishdagi tenglik hosil bo'lsa,u holda ja-rayenni to'xtatamiz va sistema yechimga ega bo'lmaydi. Shu jarayonni k marta takrorlagandan keyin quyidagi ikki holatdan biri yuz beradi:

1).Oxirgi tenglamada faqat 1 ta noma'lum qatnashib qoladi;

2).Oxirgi tenglamada 1 tadan ortiq noma'lum qatnashadi va ulardan birortasini ham endi yuqotish imkoniyati yuk.

1-holda oxirgi tenglamadan x_n ni topib olamiz va uni oxirgidan oldingi tenglamaga qo'yib x_n-1 ni topamiz. x_n va x_n-1 larni topilgan qiymatlarini undan oldingi tenglamaga qo'yib x_n-2 ni topamiz va x.k. x_n ,x_n-1 , ... , x₂ larning topilgan qiymatini sistemadagi birinchi tenglamaga qo'yib x₁ ni topamiz.

Shunday qilib, bu holda berilgan sistema yagona x₁ =₁, x₂ =₂, ... ,x_n =_n yechimga ega.

Misol. 1).  x₁ - x₂ + х₃ = 2 sistemani Gauss

 2x₁ + х₂-2x₃ =-2 usuli bilan

 5x₁ +2х₂-7x₃ =-12 yeching.

 x₁ - x₂ + х₃ = 2  x₁ - x₂ + х₃ = 2  х₃ =3 ,

 3x₂ -4х₃ =- 6   3x₂ -4х₃ =- 6   3x₂ =4х₃ - 6=-6+12=6

 7х₂ -12х₃=-22  -8х₃=-24  x₂ =2 , x₁ = x₂ - х₃ +2=2+2-3=1.

Javobi: x₁ = 1, x₂ =2 , х₃ =3.

Ikkinchi holda sistemaning oxirgi tenglamasida faqat birta noma'lumni chap tomonda (masalan, x_k ni) qoldirib boshqa noma'lumlarni x _k+1 ,..., x_n larni erkli o'zgaruvchi sifatida kabo'l qilib hosil bo'lgan sistemani 1-holda gi singari yo'l bilan yechib х₁,x₂,...,x_n larni topamiz va bu holda topilgan yechim х_k+1,...,x_n erkli o'zgaruvchi (parametr) larga bog'liq bo'ladi va ularga Ixtiyoriy qiymatlar berib sistemaning cheksiz ko'p yechimini topamiz.

Misol. 2).  x₁ - x₂ + х₃ = 2 x₁ -x₂ + х₃ = 2  x₁ - x₂ + х₃ = 2

 2x₁ + х₂- 2x₃ = - 2   3x₂ -4х₃ =- 6   3x₂ -4х₃ =- 6

 x₁ +2x₂ -3х₃ = - 4  -3x₂ +4х₃ = 6 
3x₂ =-6+4х₃ , x₂ = - 2 + (4/3)х₃ , x₁= 2+x₂ - х₃ =2-2+(4/3) х₃ - х₃=х₃ /3 .

Javobi: х₁= х₃ /3; х₂=2+(4/3) х₃ ; х₃ R.

Bu almashtirishlarni tug'ri burchakli matrisalar yordamida ham bajarish mumkin.

1 -1 1 2 1 -1 1 2 1 -1 1 2

2 1 -2 -2  0 3 -4 -6  0 3 -4 -6

1 2 -3 -4 0 -3 4 6 0 0 0 0 .

4. Faraz etaylik

a_i1x₁ +a_i2 x₂ + ....+ a_in x_n = b_i , i=1,2,3, ... , m . (1)

csistema bilan birga o'nga mos

a_i1x₁ +a_i2 x₂ + ....+ a_in x_n = 0 , i=1,2,3, ... , m . (2)

bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi ham berilgan bo'lsin.

1. (2) sistemaning ikkita (₁, ₂, . . . ,_n) va (₁, ₂, . . . , _n) yechimlarining yig'indisi va ayirmasi ham shu sistemaning yechimi bo'ladi.

Isboti. Haqiqatan ham, a_i1₁ +a_i2 ₂ + ....+ a_in _n = 0 va a_i1₁ +a_i2 ₂ +

+ . ..+ a_in _n = 0 bo'lsa , u holda a_i1(₁  ₁)+a_i2 (₂  ₂)+ ....+ a_in (_n  _n)=

= a_i1₁ +a_i2 ₂ + ....+ a_in _n  (a_i1₁ +a_i2 ₂ + . ..+ a_in _n )= 0  0=0.

2. (2)-sistemaning ixtiyoriy yechimining R soniga ko'paytmasi yana shu sistemaning yechimi bo'ladi.

Isboti. (₁, ₂, . . . ,_n) (2)-sistemaning yechimi bo'lsin, ya'ni a_i1₁ +a_i2₂+ + ....+ a_in _n = 0 , u holda a_i1(₁)+a_i2 (₂)+ ....+ a_in(_n) = ( a_i1₁ +a_i2₂ +

+ ....+ a_in _n)=   0=0.

Bu ikki xossadan kelib chiqadiki, (2) sistemaning yechimlar to'plami W arifmetik fazo bo'lar ekan (n o'lchovli arifmetik fazo mavzusiga qarang), ya'ni W, n o'lchovli arifmetik fazoning Qism fazosi ekan.

3. (1) ning ixtiyoriy (₁, ₂, . . . ,_n) va (₁, ₂, . . . , _n) yechimlarining ayirmasi (2) sistemaning yechimi bo'ladi.

Isboti. Haqiqatan ham a_i1₁ +a_i2 ₂ + ....+ a_in _n = b_i va a_i1₁ +a_i2 ₂ +

+ . ..+ a_in _n = b_i bo'lsa, u holda a_i1(₁ - ₁)+a_i2 (₂ - ₂)+ ....+ a_in (_n - _n)=

= a_i1₁ +a_i2 ₂ + ....+ a_in _n - (a_i1₁ +a_i2 ₂ + . ..+ a_in _n )= b_i - b_i =0 bo'ladi.

4. (1) (1) ning ixtiyoriy yechimi (₁, ₂, . . . ,_n) bilan (2) ning yechimi (₁, ₂, . . .

... , _n) larning yig'indisi va ayrmasi ham (1) ning yechimi bo'ladi.

Isboti. a_i1₁ +a_i2 ₂ + ....+ a_in _n = b_i va a_i1₁ +a_i2 ₂ + . ..+ a_in _n = 0 bo'lsa , u holda a_i1(₁  ₁)+a_i2 (₂  ₂)+ ....+ a_in (_n  _n)= a_i1₁ +a_i2 ₂ + ....+ +a_in _n  (a_i1₁ +a_i2 ₂ + . ..+ a_in _n )= b_i  0 = b_i bo'ladi.

3 va 4 - xossalardan kelib chiqadiki, (1)- sistemaning yechimlarini hosil qilish uchun uning birta х₀ =(₁, ₂, . . . ,_n) yechimiga (2) - sistemaning yechimini qo'shish kifoya, ya'ni agar (1) nig yechimlari to'plamini H desak, H=х₀+W. Demak, H to'plam W qism fazoni х₀ vektorga siljitish natijasida hosil bo'ladi. Bunday holda (1) ning yechimlari to'plami chiziqli ko'pxillilik tashkil etadi deyiladi.