Аллакова Дилбар

A ning (r+1) - tartibli minorini ifodalaydi, shuning uchun ham _i =0 .

_i ni oxirgi ustun elementlari bo'yicha yoysak

a_1i A_1i + a_2i A_2i + ... + a_ri A_ri + a_{s i} A_{s i} = 0 , (1)
Bunda A =(-1)^r+1+r+1 M =M=0 bo'lgani uchun (1) ni a_{s i} ga nisbatan yechsak

a_{s i} =_{1 i} a_{1 i} + _{2 i} a_{2 i} + . . . + _{r i} a_{r i} , (i= 1, 2, . . . , n; s = r+1, r+2, . . . , m) ga ega bo'lamiz. Bundan ko'rinadiki A ning s-catri birinchi r ta satrlari orqali chiziqli ifodalanadi. Demak, A matrisaning rangi (satrlar bo'yicha rangi) r ga teng.

Natija. Determinantning nolga teng bo'lishi uchun uning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'langan bo'lishi zarur va yetarlidir.


Misol . 1 1 1 -1

-1 -1 1 1

A= 1 -1 -1 1

1 1 -1 1

0 1 0 1 matrisaning rangini hisoblang.

Avvalo shuni ta'kidlash kerakki, matrisaning rangini minorlardan foydalanib hisoblashda faqat birbirining ichiga joylashgan minorlarini tekshirish kifoya.

Bizning misolimizda М₁ =1  0

1 1 1 1

M₂= -1 -1 = -1 + 1 =0, M'₂ = -1 1 = 1 + 1 = 2  0
1 1 1

M₃ = -1 -1 1 = 1 + 1 + 1 + 1 - 1 + 1= 4  0

1 -1 -1




1 1 1 -1 1 1 1 -1

-1 -1 1 1 0 0 1 0 1 1 -1

M₄ = -1 -1 -1 1 = 2 0 0 0 =(-1)²⁺³ 2 0 0 = - (- 4) =4 .

1 1 -1 1 2 2 0 0 2 2 0
Demak, r(A) = 4.
2. Matrisalar ko'paytmasining determinanti

2- teorema. A va B n-tartibli kvadrat matrisalar ko'paytmasining determinanti shu matrisalar determinantlarining ko'paytmasiga teng.

Isboti. Agar A=E- birlik matrisa bo'lsa  E B  = 1  B  =  E   B  .

ya'ni bu holda teorema o'rinli.

2-teoremani isbotlashdan oldin ushbu lemmani isbotlaymiz.

Lemma. Agar A’’ matrisa A’ matrisadan birta elementar satr almashtirish yordamida hosil qilingan bo'lsa, u holda

 A’ В  =  A’    В  (2)

dan  A’’ В  =  A’’    В  (3)

kelib chiqadi.

Isboti. Faraz etaylik A’’ matrisa A’ matrisadan quyidagi elementar almashtirishlarning biri orqali hosil qilingan bo'lsin:

a) catrlarining o'rinlarini almashtirish;

b) ixtiyoriy satrini noldan farqli k coniga ko'paytirish;

c) biror satrini ixtiyoriy songa ko'paytirib ikkinchi bir satriga qo'shish.

Matrisalarni ko'paytirish qoidasiga asosan A’’ В matrisa A’ В matrisadan mos elementar almashtirish natijasida hosil bo'ladi.

a) bajarilgan bo'lsa,  A’’ = - A’ va

 A’’В =-A’B; (4)

b) bajarilgan bo'lsa,

 A’’ = k   A’ ,  A’’ В  =k  A’ B  ; (5)

v) bajarilgan bo'lsa, u holda

 A’’ =  A’ ,  A’’ В  =  A’-B  (6)

(4) , (5) va (6) dan (2) ga asosan (3) kelib chiqadi. Haqiqatan ham,
(4) va (2) dan  A’’ В  = - A’ B  = - A’   В  =  A’’   В  ;

(5) va (2) dan esa  A’’ В  = k  A’ B  = k  A’   В  =  A’’   В  ;

(4) ва (2) dan  A’’ В  =  A’-B  =  A’   В  =  A’   В  .

Shu bilan lemma to'la isbot bo'ldi.

Agar A matrisa a), б), с) elementar almashtirishlar yordamida E birlik matrisadan hosil qilingan bo'lsa, lemmaga asosan  E В  =  E    В  dan

 A В  =  A    В  kelib chiqadi. Bunda  A   0, ya'ni A- xosmas matrisa.

 A  = 0 bo'lsa, u holda AB matrisaning satrlari ham chiziqli bog'langan bo'ladi, ya'ni

 A В  = 0 va  A В  =  A    В  tenglik bajariladi.

3. Determinantlarni hisoblash.