Аллакова Дилбар

1 - misol. Ushbu D determinantda x qatnashgan hadning koeffisiyentini hisoblang:

1 2 0 x Determinantni oxirgi ustun elementlari bo'yicha yoysak

D = 0 1 1 y faqat 1-satr , 4- ustunini uchirganda x qatnashadi. Shu-

1 -1 0 z ning uchun ham x qatnashgan hadning koeffisiyenti ku-

1 1 1 t yidagiga teng bo'ladi: 0 1 1

1 -1 0 = 1+1-1 =1 .

1 1 1

2 - misol . Ushbu Vandermond determinantining qiymati ni hisoblang:



1 a₁ a₁² a₁³ . . . a₁^n-1

1 a₂ a₂² a₂³ . . . a₂^n-1

V_n = .....................................

1 a_n a_n² a_n³ . . . a_n^n-1 .

Buning uchun V_n ning har bir ustunini (-a₁) ko'paytirib o'zidan oldingisiga kushamiz. U holda

1 0 0 . . . 0

1 a₂ - a₁ a₂ (a₂ - a₁) . . . a₂^n-2 ( a₂ - a₁)

V_n= 1 a₃ - a₁ a₃ (a₃ - a₁) . . . a₃^n-2 ( a₃ - a₁) =(a₂ - a₁) (a₃ - a₁)...(a_n - a₁) 

........................................................................

1 a_n - a₁ a_n (a_n - a₁) . . . a_n^n-2 ( a_n - a₁)



1 a₂ a₂² a₂³ . . . a₂^n-2

 1 a₂ a₃² a₃³ . . . a₃^n-2

..................................... =(a₂ - a₁) (a₃ - a₁)...(a_n - a₁)  V_n-1 = . . . =

1 a_n a_n² a_n³ . . . a_n^n-2
=(a₂ - a₁) (a₃ - a₁)...(a_n - a₁) (a₃ - a₂) (a₄ - a₂)...(a_n - a₂) ...(a_n - a_n-1 )=

_n

=  (a_i-a_j).

^{i> j  }

3-misol. Ushbu determinantni uchburchak ko'rinishga keltirib hisoblang:

a-x a a . . . a

a a-x a . . . a

D = a a a-x . .. a

..........................

a a a . . . a-x .

Oxirgi ustunini (-1) ga ko'paytirib barcha ustunlariga kushib chiqamiz:

-x 0 0 . . . a

0 -x 0 . . . a

D = 0 0 -x . . . a

...................... ....

x x x . . . a-x .

Endi barcha satrlarini oxirgi satriga kushamiz:

-x 0 . . . a

0 -x . . . a

D = ...................... =(-x)^n-1 (na- x).

0 0 . . . na-x

4- misol.Berilgan D determinantni chiziqli ko'paytuvchilarini ajratish usuli bilan hisoblang:

1 x₁ x₂ . . . x_n

1 x x₂ . . . x_n

D= 1 x₁ x . . . x_n (1)

..........................

1 x₁ x₂ . . . x .
D ning yoyilmasi n-darajali ko'phad bo'lib u x=x₁, x₂ , . . . , x_n da nolga aylanadi.

Shuning uchun ham

D= c (x - x₁) (x - x₂) ... (x - x_n) (2)

deb olsak bo'ladi. Endi noma'lum koeffisiyent s ni aniqlaymiz. (1) ning boshhadi x^n-1, demak с=1.

Shunday qilib

D = ( x - x₁ ) ( x - x₂ ) ... ( x - x_n ).
5-misol . ( Rekurent formulalardan foydalanish).
a_o -1 o o ... o o

a₁ x -1 o ... o o

D_n+1 = a₂ o x -1 ... o o

- - - - - - - - - - - - - - - -

a_n-1 o o o ... x -1

a_n o o o ... o x ni hisoblang.

D_n+! ni oxirgi satr elementlari bo'yicha yoyamiz:




-1 o o ... o o

x -1 o ... o o

D_n+1 = (-1)ⁿ⁺² a_n o x -1 ... o o + x D_n = a_n (-1)ⁿ⁺²⁺ⁿ +x D_n =

- - - - - - - - - - - - -

o o o ... x -1
= a_n + x( a_n-1+x D_n-1 )= a_n + a_n-1x + x² D_n-1 .

Bu yerda

a₀ -1

D₂ = a₁ x = a₀ x+ a₁ , D₁ =a₀ .

Shuning uchun ham

D_n+1= a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + ... + a_n-1 x + a_n .
MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR.

1. Matrisaning rangi nimaga teng ?

2. Matrisalar ko'paytmasining determinanti haqidagi teoremani ayting.

3. n (n>3) tartibli determinantlarni hisoblash usullari haqida gapirib bering.

22 - MA'RO'ZA

MAVZU : TESKARI MATRISA

REJA:

1. Determinantlarni ko'paytirish.

2. Teskarilanuvchi matrisalar .

3. Teskari matrisani hisoblash usullari.

4. Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisaviy ko'rinishda yozish va yechish.

5. Misollar.

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3]
1. Determinantlarni ko'paytirish. Ushbu teorema o'rinli:

Teorema. Ikkita n tartibli

a₁₁ a₁₂ ... a_1n b₁₁ b₁₂ ... b_1n

D₁ = a₂₁ a₂₂ ... a_2n va D₂ = b₂₁ b₂₂ ... b_2n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a_n1 a_n2 ... a_nn b_n1 b_n2 ... b_nn
determinantlarning ko'paytmasini yana n- tartibli determinant

с₁₁ с₁₂ ... с_1n

D = c₂₁ c₂₂ ... с_2n

- - - - - - - - - -

c_n1 c_n2 ... c_nn

shaklida ifodalash mumkin bo'lib, bunda с_{i j} element D₁ dagi i - satr elementlari a_i1 , a_i2 , . . . , a_in larni D₂ dagi j - ustun elementlari b_{1 j} ,b_2j , . . . ,b_nj ga

mos ravishda ko'paytirib natijani qo'shish bilan hosil qilinadi, ya'ni

_n

c_{i j} = a_i1b_1j + a_i2b_{2 j} + . . . + a_in b_{n j} =  a_{i k} b_{k j} . (1)

^

Isboti. Ushbu 2n -tartibli determinantni qaraymiz:

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n 0 0 . . . 0

a₂₁ a₂₂ . . . a_2n 0 0 . . . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - ??

a_n1 a_n2 . . . a_nn 0 0 . . . 0

-1 0 . . . 0 b₁₁ b₁₂ . . . b_1n

0 -1 . . . 0 b₂₁ b₂₂ . . . b_2n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0 0 . . . -1 b_n1 b_n2 . . . b_nn .
Agar ? da birinchi ta satrini ajratib n - tartibli minorlar tuzsak faqat birtasi D₁ ga teng, qolganlari esa nolga teng bo'ladi. D₁ ning algebraik to'ldiruvchisi D₂ ga teng bo'ladi . Demak,

=D₁ D₂ (2)

Endi  dagi 1- ustunni b₁₁ ga 2 - ustunni b₂₁ ga , . . . , n - ustunni b_n1 ga ko'paytirib n+1- ustuniga qo'shamiz. So'ngra 1- ustunni b₁₂ ga , 2- ustunini b₂₂ ga va x.k. n - ustunini b_{n 2} ga ko'paytirib n+2 - ustuniga qo'shamiz va x.k. davom etib 1- ustunini

b_1n ga, ikkinchi ustunini b_2n ga va x.k. n- ustunini b_nn ga ko'paytirib 2n - ustuniga qo'shamiz. U holda ushbuga ega bo'lamiz (determinantning xossalariga ko'ra  ning qiymati o'zgarmaydi):

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n с₁₁ с₁₂ . . . с_1n

a₂₁ a₂₂ . . . a_2n с₂₁ с₂₂ . . . с_2n

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

  a_n1 a_n2 . . . a_nn с_n1 с_n2 . . . с_{n n}

-1 0 . . . 0 0 0 . . . 0

0 -1 . . . 0 0 0 . . . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

0 0 . . . -1 0 0 . . . 0 .
Agar  ning oxirgi n ta satrini ajratib shu satrlardagi n-artibli minorlar bo'yicha yoysak  = МА ga ega bo'lamiz. (Chunki faqat

-1 0 . . . 0

М= 0 -1 . . . 0 = ( -1)ⁿ  0 bo'lib qolgan barcha n- tartibli minorlar

- - - - - - - - - nolga teng).

0 0 . . . 0
Bu yerda

A= (-1)^{(n+1)+(n+2)+ . . . +2n +1+2+ . . . + n} D= (-1) ^{n+2(1+2+ . . . + n )} D= (-1) ⁿ D.
 = ( -1)ⁿ ( -1)ⁿ D =( -1)²ⁿD =D . (3)

Demak, (2) va (3) dan D₁D₂= D.

Determinantlarni transponirlasak uning qiymati o'zgarmagani uchun determinantlarni ko'paytirish uchun ham hozirgi ko'rib o'tilgan “ satrlarini

ustunlariga“, bo'yicha qoidasidan tashqari “satrlarini satrlariga”, “ustunlarini satrlariga”, ”ustunlarini ustunlariga ” qoidalarini qullash mumkin.

Natija. A va В kvadrat matrisalar ko'paytmasining determinanti shu matrisalar determinantlarining ko'paytmasiga teng.

det (A B)=detA detB . (4)

Umuman

A₁ A₂    A_k  =  А₁    A₂      A_k  ;  A  ^k =  A^k  .

2. Teskari matrisa .

Faraz etaylik F maydonda n-tartibli A matrisa berilgan bo'lsin. Agar

А В = В А=Е (1)

shartni qanoatlantiruvchi В n - tartibli kvadrat matrisa mavjud bo'lsa, bu matrisaga A ga teskari matrisa deyiladi, o'z navbatida A ham В ga teskari matrisa bo'ladi . (1) dan

det (A B) = detA  detB = detЕ=1

bo'lgani uchun detA 0 va detB  0 degan xulosaga kelamiz, yani faqat xosmas matrisalar uchun teskarisi mavjud bo'lar ekan . Bundan keyin A ga teskari matrisani

А^-1 bilan belgilaymiz.

Berilgan matrisaga teskari matrisani topishning 2 xil usuli bor:

1). Determinantlardan foydalanib ;

2). Matrisadagi elementar almashtirishlardan foydalanib topish .

Avvalo 1- usulni qarab chikaylik . Faraz etaylik


a₁₁ a₁₂ ... a_1n

A = a₂₁ a₂₂ ... a_2n

- - - - - - - - -

a_n1 a_n2 ... a_nn

matrisa berilgan bo'lsin. U holda

A₁₁ A₂₁ . . . A_n1

1 A₁₂ A₂₂ . . . A_{n 2}

A^-1 = - - - - - - - - - - - -

det A A_1n A_2n . . . A_{n n}
matrisa A ga teskari matrisa bo'ladi. Bu yerdagi A_ij A matrisadagi a_ij elementning algebraik to'ldiruvchisi.

Haqiqatan ham

a₁₁A₁₁+a₁₂ A₁₂ + ... +a_1n A_1n a₁₁A₂₁+a₁₂ A₂₂ + ... + a_1n A_2n . . .

1 a₂₁A₁₁+a₂₂ A₁₂ + ... +a_2n A_1n a₂₁A₂₁+a₂₂ A₂₂ + ... + a_2nA_2n . . .

A A^-1= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

detA a_n1A₁₁+a_n2 A₁₂+ ... + a_nn A_1n a_n1A₂₁+a₂₁ A₂₂ + ... + a_nn A_2n . . .




. . . a₁₁ A_n1+a₁₂ A_n2 + ... + a_1n A_nn D 0 . . . 0 1 0 . . . 0

. . . a₂₁ A_n1+a₂₂ A_n2 + ... + a_2n A_nn 1 0 D . . . 0 0 1 . . . 0

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - = - - - - - - - = - - - - - - - = E .

. . . a_n1A_n1+ a_n2 A_n2+ ... + a_nn A_nn D 0 0 . . . D 0 0 . . . 1
М и с о л . Berilgan A matrisaga teskari matrisani hisoblang.

2 -3 2

A= - 4 -2 5

5 1 - 6
Barcha elementlarga mos algebraik to'ldiruvchilarni hisoblaymiz:

-2 5 - 4 5

A₁₁=(-1)¹⁺¹ 1 -6 = 12 - 5 = 7 ; А₁₂= - 5 -6 = - 24 + 25 = 1 ;

- 4 -2 -3 -2

A₁₃ = 5 1 =- 4 + 10 = 6 ; A₂₁ = - 5 -6 = -(18 + 2)= -20 ;




2 -2 2 -3

A₂₂= 5 -6 = - 12 + 10 = - 2 ; A₂₃= - 5 1 = - ( 2 + 15)= -17 ;
-3 -2 2 -2

A₃₁= -2 5 = -15 - 4 = -19 ; A₃₂= - - 4 5 = - 10 + 8 = - 2 ;
2 -3

A ₃₃= - 4 -2 = - 4 - 12 = -16 ; A = 24 + 8 - 75 - 20 + 72 - 10 = - 1 ;

Demak, -7 20 19

A^-1= -1 2 2

-6 17 16 .

Tekshirish:

- 14+3+12 40 - 6 - 34 0 1 0 0

AA^-1 = 0 1 0 = 0 1 0 = E

0 0 1 0 0 1
Ikkinchi usul . Agar A xosmas n - tartibli matrisa berilgan bo'lsa, ushbu ( АE) matrisani to'zib olib shunday elementar almashtirishlar bajaramizki, buning natijasida

( EB) matrisa hosil bo'lsin. Ana shu В=А^-1 matrisa A ga teskari matrisa bo'ladi . (Bu tasdiqning qat'iy isboti uyga mustaqil topshiriq). Endi yuqridagi misolni ikkinchi usul bilan yechaylik:
2 -3 -2 1 0 0 2 -3 -2 1 0 0 2 -3 -2 1 0 0

-4 -2 5 0 1 0 ~ 0 -8 1 2 1 0 ~ 0 -8 1 2 1 0 ~

5 1 -6 0 0 1 1 -1 -1 0 1 1 0 -1 0 1 -2 -2

2 -3 -2 1 0 0 2 -3 -2 1 0 0 2 -3 -2 1 0 0

~ 0 -8 1 2 1 0 ~ 0 8 0 8 16 16 ~ 0 1 0 -1 2 2 ~

0 0 1 -6 17 16 0 0 1 -6 17 16 0 0 1 -6 17 1
2 0 0 -14 -40 38 1 0 0 -7 -20 19

~ 0 1 0 -1 2 2 ~ 0 1 0 -1 2 2

0 0 1 -6 17 16 0 0 1 -6 17 16 .

Shunday qilib -7 20 19

A^-1= -1 2 2

-6 17 16 .
4.Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisaviy ko'rinishda yozish va uni yechish.

F maydondagi nxn- chiziqli tenglamalar sistemasi

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... + a_1j x_j + ... + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ... + a_2j x_j + ... + a_2n x_n = b₂

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (1)

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + ... + a_nj x_j + ... + a_nn x_n = b_n

berilgan bo'lsin. Agar (1) ning asosiy matrisasini A, no'ma'lumlar ustunini X va ozod hadlar ustunini b bilan belgilasak, ya'ni

a₁₁ a₁₂ ... a_1n x₁ b₁

A = a₂₁ a₂₂ ... a_2n x₂ b₂

- - - - - - - - - , X = ... , b = ...

a_n1 a_n2 ... a_nn x_n b_n
deb belgilab olsak, (1) ni quyidagicha yoza olamiz:

AX = b . (2)

Bo'nga (1)-chiziqli tenglamalar sistemasining matrisaviy ko'rinishda yozilishi deyiladi.

Agar detA  0 bo'lsa , u holda A ga teskari А^-1 matrisa mavjud bo'ladi va A^-1AX = A^-1 b yoki (A^-1A)X = A^-1 b, bu yerda A^-1A = E va EX =X bo'lgani uchun

X = A^-1 b (3)

tenglikka ega bo'lamiz.

M i s o l . Ushbu tenglamalar sistemasini matrisaviy ko'rinishda yozing va

yeching:

x₁ - x₂ +2x₃ =2 1 -2 2 x₁ b₁

3x₁ -3x₂ +7x₃ =9 A= 3 -3 7 X= x₂ b= b₂

2x₁ -3x₂ +5x₃ =2 . 2 -3 5 , x₃ , b₃
deb olsak АХ=b hosil bo'ladi. Endi A^-1 ni topaylik.
1 -1 2 1 0 0 1 -1 2 1 0 0 1 0 1 3 0 -1

3 -3 7 0 1 0 ~ 0 0 -1 3 -1 0 ~ 0 1 0 -1 1 -1 ~

2 -3 5 0 0 1 0 1 -1 2 0 -1 0 1 -1 2 0 -1
1 0 1 3 0 -1 1 0 0 6 -1 -1 6 -1 -1

~ 0 1 0 -1 1 -1 ~ 0 1 0 -1 1 -1 A^-1= -1 1 -1 ва

0 0 1 -3 1 0 0 0 1 -3 1 0 . -3 1 0

6 -1 -1 2 12-9-2 1 x₁ 1

X= A^-1b= -1 1 -1  9 = -2+9-2 = 5 ; x₂ = 5

-3 1 0 2 -6+9+0 3 x₃ 3

Demak, х₁ =1, х₂ =5, х₃ =3 .

MAVZUNI MUSTAXKAMLASH UCHUN SAVOLLAR

1. Teskari matrisa deb qanday matrisaga aytiladi?

2. qanday matrisalar uchun teskarisi mavjud bo'ladi?

3. Berilgan matrisaga teskari matrisa mavjud bo'lsa uni topishning qanday usullarini bilasiz?

4. Matrisaning rangini topishning qanday usullarini bilasiz?

5. Ushbu matrisaviy tenglama АХ=В дан номаълум матрица Х ни топинг.

dan noma'lum matrisa X ni toping.


ADABIYOTLAR

1. Xojiyev J., Faynleyb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi. Toshkent.

O'zbyokiston. 2001 yil. 304 bet.

2. Kurosh A.G. Oliy algebra kursi. Toshkent. O'qituvchi . 1975yil.

3. Nazarov R.N., Toshpulatov B.T., Dusimbetov A.D. Algebra va sonlar

nazariyasi. I, II- Qism. Toshkent .O'qituvchi . 1993, 1995yil.

4. Iskandarov R.I. Oliy algebra. I,II-Qism.“O'rta va oliy maktab”.Toshkent.

1963.

5. Gelfand I.M. Leksii po lineynoy algebre. M. “Nauka”. 1971.

6. Kostrikin A.I. Vvedeniye v algebru. M.”Nauka”. 1977.

7. Fadeyev D.K. Leksii po algebre. Uchebnik . M. “Nauka”. 1984.

8. Golovina L.I. Lineynaya algebra i nekotoro'e yeyo prilojeniye . M. “Nauka”.

1983.

9. Proskuryakov I.V. Sbornik zadach po lineynoy algebre. M.”Nauka”. 1983.

10. Fadeyev D.K. , Sominskiy I.S. Sbornik zadach po vo'sshey algebre. M.

“Nauka”. 1985.

11. Sbornik zadach po algebre. Pod redaksiyey A.I. Kostrikina. M. “Nauka”.

1987.