Аллакова Дилбар

MAVZUNI MUSTAXKAMDASH UCHUN SAVOLLAR .

a). k- tartibli minor deb nimaga aytiladi ?

b). qo'shimcha minor deb nimaga aytiladi ?

v). Algebraik to'ldiruvchi deb nimaga aytiladi ?

g). а ₁₁ а₁₂ а₁₂

D= а₂₁ а₂₂ а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

determinantdagi а₃₂ elementga mos algebraik to'ldiruvchini toping .

20 - MA'RO'ZA

MAVZU: DETERMINANTLARNI SATR YOKI USTUN ELEMENTLARI

BO'YICHA YOYISH.
REJA:

1. Determinantlarni satr elementlari bo'yicha yoyish formulasi. Misollar.

2. Determinantlarni satr elementlari bo'yicha yoyish. Misollar.

3. Kramer formulalari.

4. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining nolmas yechimga ega bo'lish sharti.

ADABIYOTLAR [ 1, 2, 3].

1. Agar Laplas teoremasida r=1 deb olib i- satrni ajratsak (4^*) formula quyidagi ko'rinishga keladi.

1- natija. D= a_i1A_i1+ a_i2A_i2+ ... +a_{i n} A_{i n} . (1)

(1) ga D determinantni i-satr elementlari bo'yicha yoyish formulasi deyiladi.

Agarda Laplas teoremasida r=1 deb olib birta j- ustunini ajratib olsak ushbu natijaga ega bo'lamiz.

2- natija. D= a_1j A_1j+ a_2j A_2j + ... + a _nj A_nj . (2)

(2) ga D ni j- ustun elementlari bo'yicha yoyish formulasi deyiladi.

Misol. 1). 1 2 3 0 ni avval 1- satr elementlari bo'yicha yoyib, keyin

D= 1 -1 2 -1 esa 1- ustun elementlari bo'yicha yoyib hisoblang.

1 1 0 1

0 2 0 1

Avvalo D ni 1-satr elementlari bo'yicha yoyib hisoblaylik:

-1 2 1 1 2 -1 1 -1 -1 1 -1 2

D=1(-1)¹⁺¹ 1 0 1 + 2 (-1)¹⁺² 1 0 1 + 3  1 1 1 + 0 (-1)¹⁺⁴ 1 1 0 =

2 0 1 0 0 1 0 2 1 0 2 0

= 0 + 0 + 4 - 0 -2 +0 -2( 0 + 0 + 0 + 0 - 2 - 0) + 3 ( 1 - 2 - 0 - 0 + 1 - 2)+ 0=

=2 + 4 - 6 = 0 .

Endi D ni 1- ustun elementlari bo'yicha yoyib hisoblaymiz:

-1 2 -1 2 3 0 2 3 0

D=1(-1)¹⁺¹ 1 0 1 + 1 (-1)²⁺¹ 1 0 1 +1 (-1)³⁺¹ -1 2 -1 + 0 =( 0 + 0 + 4 - 0 -

2 0 1 2 0 1 0 2 1

- 2 - 0 ) - ( 0 + 0 + 6 - 0 - 3 - 0) + ( 4 + 0 - 6 - 0 + 3 - 0) = 2 - 3 + 1 = 0.

Agarda D ning i- satridagi faqat birta element, masalan a_i1  0 , bo'lib

qolgan elementlar nolga teng bo'lsa, u holda D ning qiymati shu element bilan o'nga mos algebraik to'ldiruvchi A_i1 ning ko'paytmasiga teng bo'ladi.


Misol. 1). 1 2 -1 0 1 0 0 0

1 1 1 1 = 1 -1 2 1 -1 2 1

3 2 1 -1 3 -4 4 -1 = -4 4 -1 = - 20 + 4 + 0 - 0 + 40 + 1 = 25.

2 4 -3 5 2 0 -1 5 0 -1 5

2 ). a₁₁ 0 0 ... 0 a₂₂ 0 ... 0 а₃₃ ... 0

a₂₁ a₂₂ 0 ... 0 a₃₂ а₃₃ ... 0

D = a₃₁ a₃₂ а₃₃ ... 0 = а₁₁ - - - - - - - - = а₁₁ а₂₂ - - - - - - = ... =

- - - - - - - - - - - a_n2 a_n3 ... a_nn а_n3 ... а_nn

a_n1 a_n2 a_n3 ... a_nn
= а₁₁ а₂₂ а₃₃ ... а_nn .
3 ). 0 0 . . . 0 a_1n

0 0 . . . a_2,n-1 a_2n 0 0 . . . a_2,n-1

. . . . . . . . . . . . . . . = a_1n (-1)¹⁺ⁿ . . . . . . . . . . . . . =

a_n1 a_n2 . . . a_n,n-1 a_nn a_n1 a_n2 . . . a_n,n-1




0 . . . a_3,n-2

= a_1n a_2,n-1(-1)^1+n+n-1+1 - - - - - - - - - = . . .= a_1n a_2,n-1 . . . a_n1(-1)^{(n+1)+n+ . . .+ 1} =

0 . . . a_n,n-2
=(-1)^{(1+n+1)(n+!) / 2} a_1n a_2,n-1 . . . a_n1 = (-1)^{(n+1)(n+2) / 2} a_1n a_2,n-1 . . . a_n1 .
3-natija. Agar n- tartibli D determinantdagi i- satrning (ustunning) elementlarini boshqa bir j- satrining (ustunining) algebraik to'ldiruvchilariga mos ravishda ko'paytirib qo'shsak yig'indi 0 ga teng bo'ladi, ya'ni

a_i1A_j1+ a_i2A_j2+ ... +a_{i n} A_{j n} = 0 , ( i j) (3)

a_1i A_1j+ a_2i A_2j + ... + a _{n i} A_nj =0, ( i  j). (4)

Isboti. 1- natijaga ko'ra D=a_1j A_1j+ a_2j A_2j + ... + a_nj A_nj . Agar bu formulaning chap tomonidagi a_1j , a_2j , ... , a _nj elementlarni mos ravishda a_1i , a_2i , ... , a _ni lar bilan almashtirsak (ya'ni D da j-ustun elementlarining o'rniga ham i-ustun elementlarini yozsak) D da ikkita bir xil ustun paydo bo'ladi. Determinantlarning xossasiga ko'ra bunday determinantning qiymati nolga teng. Shunday qilib (4) tenglik isbotlandi. (3) ham xuddi sho'nga o'xshash isbotlanadi.

3. Faraz etaylik n ta nomalumli n ta chiziqli tenglamadan to'zilgan sistema

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... + a_1j x_j + ... + a_1n x_n = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ... + a_2j x_j + ... + a_2n x_n = b₂

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (5)

a_n1 x₁ + a_n2 x₂ + ... + a_nj x_j + ... + a_nn x_n = b_n
berilgan bo'lsin. Bu sistemadagi 1-tenglamani A_1j ga, ikkinchisini А_{2 j} ga, ... , n- tenglamani A_nj ga ko'paytirib, tenglamalarni hadlab qo'shamiz. U holda
(a₁₁ A_{1 j} + a₂₁ A_{2 j} + ... + a_n1 A_{n j} ) x₁ +( a₁₂ A_{1 j} + a₂₂ A_{2 j} + ... + a_n1 A_{n j}) х₂+...+

+( a_1j A_{1 j} + a_2j A_{2 j} + ... + a_nj A_nj)х_j+...+( a_1n A_{1 j} + a_2n A_{2 j} + ... + a_nn A_nn)х<sub>n=

=</sub>b₁A_1j+b₂A_2j+...+b_nA_nj .
tenglamaga ega bo'lamiz . Bundan esa (4)ga asosan

(а_1j А_1j +a_2j A+... + a_nj A_nj ) х_j=b₁A_1j+b₂A_2j+...+b_n A_nj (6)

ni hosil qilamiz. (6) ning chap tomonidagi х_j noma'lum oldidagi koeffisiyent 2-natijaga ko'ra D ga teng. O'ng tomonidagi ifoda esa D dagi j-ustun elementlarining o'rniga (5) dagi ozod hadlar ustunini qo'yib hosil qilingan D_j determinantga teng . Demak , Dх_j =D_j еки х_j=D_j / D , j=1,2,3,...,n ; ya'ni

х₁=D₁ / D, х₂=D₂ / D , ... , х_n =D_n / D (7) formulalarga Kramer formulalari deyiladi. (7) ning (5)-chiziqli tenglamalar sistemasini qanoatlantirishini bevosita uning istalgan tenglamasiga qo'yib tekshirib ko'rish mumkin.

(7) da D0 bo'lishi kerak, agar D=0 bo'lsa, (5) yechish uchun Kramer formu-lasidan foydalanib bo'lmaydi . ( Bu holda (5) ning rangi r < n topiladi va (5)da n-r ta noma'lumlarni o'ng tomonga o'tkazib keyin qo'llasa bo'ladi).

Misol. 2x₁ - 3x₂ + x₃ = -1

x₁ + 4x₂ - x₃ = 3

3x₁ - x₂ + x₃ = 4 chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer formulalaridan foydalanib yeching.

Avvalo D, D₁, D₂ , D₃ larni hisoblaylik.

2 -3 1

D= 1 4 2 =8 - 1 + 18 - 12 + 3 - 4 = 12  0

3 -1 1

-1 -3 1

D₁= 3 -4 -2 =- 4 - 3 + 24 - 16 + 9 +2 = -23 + 35 = 12

4 -1 -1

2 -1 1

D₂ = 1 3 -2 = 6 + 4 + 6 - 9 + 1 + 16 = 24

3 4 1

2 -3 -1

D₃ = 1 4 3 = 32+ 1 - 27 + 12 + 12 + 6 = 63 - 27 =36.

3 -1 4

Bu topilgan qiymatlarni (7) formulalarga olib borib qo'ysak

х₁=D₁ / D =12 / 12 =1 , х₂=D₂ / D =24 / 12 = 2 , х₃ =D₃ / D =36 / 12 =3

berilgan sistemaning yechimlariga ega bo'lamiz.

Endi ushbu teoremani isbotlaymiz:

Teorema. n ta noma'lumli n ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo'lishi uchun uning noma'lumlari oldidagi koeffisiyentlardan to'zilgan matrisaning determinanti nolga teng ( D = det A=0 ) bo'lishi zarur va yetarlidir.

Isboti.a).Faraz etaylik

a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ... + a_in x_n = 0 , ( i=1,2 , ...,n) (8)

sistema noldan farqli ₁₂  _n yechimga ega bo'lsin. U holda

a_i1  ₁ + a_i2 ₂ + ... + a_in _n = 0 , ( i=1,2 , ...,n) . (9)

Bu oxirgi sistemani quyidagicha yoza olamiz:

(a₁₁  ₁ + a₁₂ ₂ + ... + a_1n _n ; a₂₁  ₁ + a₂₂ ₂ + ... + a_2n _n ;  ;a_n1  ₁ + a_n2 ₂ + ... + a_nn _n) = ( 0, 0, ... , 0)

yoki

 ₁(a₁₁ ,a₂₁ , ... a_n1)+₂( a₁₂ , a₂₂ , ... ,a_n2) +  +  _n( a_1n , a_2n , ... , a_nn )= 0 . (10)
(10) dan ko'rinadiki D ning ustunlari chiziqli bog'langan va demak D=0.

б). D=0 bo'lsa, u holda determinantlarning xossalariga ko'ra uning ustunlari chiziqli bog'langan. Demak, hech bo'lmasa birortasi noldan farqli bo'lgan ₁₂  _n sonlari mavjud bo'lib (10) bajariladi. (10) dan esa (9) kelib chiqadi, ya'ni (8)-sistema noldan farqli yechimga ega.

Misol. 2x₁ +x₂ - 4 x₃ = 0

x₁ - x₂ - 5x₃ = 0

3x₁ +4 x₂ - x₃ = 0 chiziqli tenglamalar sistemasini qaraylik..

Bunda 2 1 -4

d= 1 -1 -5 = 2 - 16 - 15 - 12 + 1 + 40 = 43 - 43 = 0

3 4 -1

bo'lgagligi uchun sistema noldan farqli yechimga ega. Uni Gauss usuli bilan yechamiz :

x₁ - x₂ - 5x₃ = 0 x₁ - x₂ - 5x₃ = 0 x₁ - x₂ - 5x₃ = 0

3 x₂ + 6x₃ = 0  x₂ + 2x₃ = 0  x₂ + 2x₃ = 0 

7x₂ + 14x₃ = 0 x₂ + 2x₃ = 0
x₂ = -2x₃ , x₁ = 5x₃ + x₂ = 5x₃ - 2x₃ = 3x₃ .

Javobi: x₁ = 3x₃ , x₂ = -2x₃ , x₃ R .