Аллакова Дилбар

Mavzuni mustaxkamlash uchun savollar.
1). Algebraik amal tushunchasi. Misollar.

2). Kommutativ va assosiativ algebraik amallar.

3). Neytral element deb qanday elementga aytiladi?

4). Simmetrik element deb qanday elementga aytiladi?

5). Yarim gruppaga ta'rif bering.

6). Umumlashgan assosiativlik qonunini tushuntiring.

9,10- MA'RO'ZA

MAVZU: GRUPPALAR, QISM GRUPPALAR VA ULARNING

XOSSALARI.

REJA:

1. Qism gruppalar. Misollar.

2. Gruppalar va ularga misollar.

3. Gruppalarning sodda xossalari.

4. Umumlashgan assosiativ qonuni .

5. Gomomorf va izomorf gruppalar.

ADABIYOTLAR [1,2,3]

Faraz etaylik, bizga bitta binar t va unar  algebraik amal aniqlangan G bo'sh bo'lmagan to'plam berilgan bo'lsin. Agarda G to'plamning elementlari unda aniqlangan t amalga nisbatan assosiativlik qonuniga buysinsa, ya'ni:

1). a,b,c G  (at b)t c=at(b t c) tenglikni qanoatlantirsa,  G; t algebraga t amalga nisbatan yarim gruppa deyiladi. Agar  G; t,* - yarim gruppa

2). a G,  eG , at e = eta= a;

3). a G,  a* G , at a* = a*ta= e;

shartlarni qanoatlantirsa,  G; t,* ga t amalga nisbatan gruppa deyiladi.

е ga G = G; t,* gruppaning neytral elementi, a*ga esa a elementga simmetrik element deyiladi.

Agarda G = G; t,* gruppaning elementlari

4). a,b G  at b = b t a

shartni qanoatlantirsa,G ga kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi.

Neytral elementga ega bo'lgan yarim gruppaga monoid deyiladi.

Agar М G bo'lib  М ; t, * gruppa bo'lsa, bu gruppaga G = G; t,* gruppaning qism gruppasi deyiladi.

1-teorema. Agar G = G; t, * gruppa bo'lsa, uning ixtiyoriy Qism to'plami M ning t amalga nisbatan qism gruppa bo'lishi uchun:

1).  h,h h t h ;

2).  h, h^-1 

shartlarning bajarilishi zarur va yetarlidir.

Isboti. Zaruriy shart.  М ; t, * gruppa bo'lsin,u holda 1) va 2) shartlarning bajarilishi gruppa ta'rifidan bevosita kelib chiqadi.

Yetarli sharti. 1) va 2) shartlar bajarilsin. U holda М G qism to'plamning G ning qism gruppasi bo'lishini ko'rsatamiz. Shartga ko'ra  h,h uchun h t h , ya'ni M to'plam t amalga nisbatan yopiqdir va h, h', h''  lar uchun h t (h't h'')=(ht h')t h'' o'rinli, chunki h, h', h''  G . 2) va 1) shartlardan ht h^-1 = eM.

Demak, 1), 2), 3) shartlar bajariladi va  М ; t, * - gruppa, ya'ni G ning qism gruppasi.

Misollar . 1. N-natural sonlar to'plamini arifmetik qo'shish amaliga nisbatan tekshiraylik. Ma'lumki,  n,m N, m+n  N.

1).  m, n,e N, m+(n+e) =(m+n)+e bajariladi .

2).  m,  eN, m+e= e+m= m, e=0 N, ya'ni bu shart bajarilmaydi .

Demak, N= N; +  yarim gruppa ekan .

Endi shu to'plamni ko'paytirishga nisbatan tekshiraylik.  m,n N m nN.

1).  m,n,e N, m(n e)=(m  n) e bajariladi.

2).  m  N ,  e=1N , m1 =1 m= m bajariladi .

3).  m  N,  m'N, m  m' = m'  m =1 bo'lishi kerak.

m' =1/m  N . Demak, bu shart bajarilmaydi . Shunday qilib N=  N,   monoid bo'lar ekan .

2. Barcha butun sonlar to'plami Z qo'shish amaliga nisbatan gruppa bo'ladi .