Аллакова Дилбар

Z =  Z; +  da a ga teskari element (- a) hamda neytral element 0 bo'ladi .

Z =  Z; +  ga butun sonlarning additiv gruppasi deyiladi.

Endi Z ni ko'paytirishga nisbatan qarasak, Z =  Z; +  monoid bo'ladi, chunki a 0 ga (teskari) simmetrik element a^-1=1/aZ.

3. Barcha rasional sonlar to'plami Q qo'shishga nisbatan additiv Abel gruppasi

Q= Q; +  bo'ladi. Agar Q₁=Q \{0} to'plamni qarasak, Q₁= Q₁;  ham multiplikativ gruppa bo'ladi.

4. Haqiqiy sonldar to'plamini qarasak, u holda R= R; +  additiv Abel gruppasi; R₁= R₁;  esa multiplikativ Abel gruppasi bo'ladi. Bu yerda R₁= =R \{0}.

5. m0 moduli bo'yicha chegirmalar sinflari {C₀,С_1, C_{2, ... ,} C_m-1}=Z / mZ to'plamida qo'shish amalini

 C_i+j , agarda 0  i+j  m-1 bo'lsa;

C_i +C_j = (*)

 C_i+j-m , agarda i+j  m bo'lganda;

tenglik bilan aniqlasak, Z/mZ=  Z/ mZ; +  additiv Abel gruppasi bo'ladi. Bunda neytral element C₀ ; C_i elementga qarama karshi element C_m-i sinf bo'ladi, chunki C_i+ C_m- = C_m = C₀ .

6. m=6 modul bo'yicha chegirmalar sinflari to'plami Z/6Z={ C₀ ,С₁, C₂, C₃,С₄, C_5, } dan iborat bo'ladi. (*)ga ko'ra

_____________________________

C₀ С₁ C₂ C₃ С₄ C₅

__+_________________________

C₀ C₀ С₁ C₂ C₃ С₄ C₅

_____________________________

C₀ C₀ С₁ C₂ C₃ С₄ C₅

______________________________{____________}

C₀ C₀ С₁ C₂ C₃ С₄ C₅

______________________________{_____}

C₀ C₀ С₁ C₂ C₃ С₄ C₅

_____________________________

C₀ C₀ С₁ C₂ C₃ С₄ C₅

______________________________
Bu jadvaldan foydalanib gruppa ta'rifidagi 1), 2), 3), 4), shartlarning bajarilishini osonlik bilan tekshirish mumkin.

Z/6Z=  Z/ 6Z; +  - additiv abel gruppasi.

7). Z/mZ to'plamda ko'paytirish amalini

 C_ij , agarda 0  ij  m-1 bo'lsa;

C_i C_j =  (*)

 C_r , agarda ij  m va ij=mq+r bo'lsa;

tenglik bilan aniqlasak.  Z/ mZ;   -multiplikativ monoid bo'ladi.

Bunda neytral element С₁ bo'ladi, assosiativlik qonuni bajariladi, lekin ixtiyoriy С_i uchun C_i C_j = C₁ shartni qanoatlantiruvchi C_j element mavjud emas.

Masalan, m=6 da C₃ C₀ = C₀ , C₃ C₁ = C₃ , C₃ C₂ = C₀ , C₃C₃ = C₃ , C₃C₄ = C₀ , C₃ C₅ =C₃, ya'ni C₃ C_j = C₁ tenglikni qanoatlantiruvchi C_j sinf mavjud emas.

8). М={1,-1} to'plamning arifmetik ko'paytirish amaliga nisbatan multiplikativ gruppa bo'lishligini isbotlang.

9). a+b3 ko'rinishdagi sonlar to'plamini a,b R bo'lganda ko'paytirish va qo'shish amallariga nisbatan gruppa bo'lish yoki bo'lmasligini tekshiring.

GRUPPANING XOSSALARI
1. Ixtiyoriy gruppada neytral element bir qiymatli aniqlanadi va gruppaning istalgan elementi uchun yagona teskari (simmetrik )element mavjud bo'ladi. Biz bu xossani ilgari umumiy holda isbotlagan edik.

2. Har qanday multiplikativ gruppada bo'lish munosabati o'rinli, ya'ni istalgan a va b elementlar uchun shunday x,y elementlar topiladiki, аx=b, yа=b tenglamalar yagona yechimga ega .

Isboti. ax=b tenglamani chap tomondan а^-1 ga ko'paytirsak, а^-1(ax)= а^-1b yoki (а^-1 a)x= а^-1b  ex = а^-1b x= а^-1 b ga ega bo'lamiz. x= а^-1b bilan birga c ham ax=b tenglamaning yechimi bo'lsa, u holda c=e c=( а^-1 a)c= а^-1(ac); bu yerda ас =b bo'lgani uchun c= а^-1b, ya'ni с= x.

3. Istalgan grupaning elementlari regulyar elementlardir .

Haqiqatan ham at b= at c  b=c va bta= cta  b=c kelib chiqadi. Gruppaning elementlariga simmetrik а' element mavjut bo'lgani uchun

а't(at b)= а't (аt c)  (а't a) t b=( а' t a)tc  et b=etc b=c .

Keyingi tenglik ham shuning singari isbotlanadi.

4.  G, t  - gruppaning ixtiyoriy n ta elementi shu gruppada aniqlangan algebraik amal t ga nisbatan assosiativdir .

Isboti. Isbotni yozuvda soddalik uchun ko'paytirish amaliga nisbatan olib boramiz.

1) n=1,2 da isbotning xojati yo'q;

n=3 da esa gruppa ta'rifidagi 1)-shartda berilgan.

Faraz etaylik, n=k da teorema o'rinli bo'lsin, ya'ni n ta ko'paytuvchining ko'paytmasi qavslarni qo'yish tartibiga bog'liq bo'lmasin. U holda a₁ a₂ ...a_к =

_k

=  a_i deb yoza olamiz . Bu tenglikning ikkala tomonini a_к+1 ga ko'paytirsak,

ⁱ⁼¹ _{k l k}

(a₁ a₂ ...a_к )  a_к+1 = (  a_i )  a_к+1 =  a_i   a_i  a_к+1

^{i=1 i=1 i=l+1}

_{l k}

Endi  a_i va  a_i lardagi ko'paytuvchilar soni k dan kichik shuning uchun

^{i=1 i=l+1}

bu ko'paytuvchilar uchun xossa o'rinli .

Endi _{l k}

 a_i ,  a_i , a_к+1

^{i=1 i=l+1} hadlar uchun (ularni 3ta element deb) assosiativlik qonunini qo'llasak _{l k}

 a_i   a_i  a_к+1

^{i=1 i=l+1}

ifodaga va demak (a₁ a₂ ...a_к )  a_к+1 ifodada ham uning qiymati qavslarni qo'shish tartibiga bog'liq emas degan xulosaga kelamiz.

5. a₁ ,a₂ , ...,a_к G elementlarining ko'paytmasiga teskari bo'lgan element

a_k^-1a_k-1^-1 ...a₁^-1 bo'ladi. (Tekshiring). a.a...a=aⁿ deb belgilaymiz , а⁰ = е .

6. Agar а G bo'lsa , u holda aⁿ G, nN bo'ladi.

GRUPPALARNING GOMOMORFLIGI

Faraz etaylik , G =  G;   ^-1  va H =  H;   ^-1  - multiplikativ gruppalar berilgan bo'lsin. Agar G ni H ga akslantiruvchi h akslantirish asosiy amallarni saqlasa , ya'ni

1) a,b G учун h(аb)= h(a) h(b) ,

2)  a  G, h(a^-1) =(h(a)) ^-1

shartlar bajarilsa, h ga gomomorf akslantirish , G va H gruppalarga esa gomomorf (o'xshash) gruppalar deyiladi. Agar h:G  H gomomorf akslantirish bo'lib G ni H ga (ustiga) o'tkazsa h ga epimorf akslantirish deyiladi .

Agar h:G  H akslantirish o'zaro bir qiymatli akslantirish bo'lib, asosiy amallarni saqlasa bunday akslantirishga izomorf akslantirish deyiladi (xossalari bir xil). Bu holda G va H gruppalarga izomorf gruppalar deyiladi va G  H ko'rinishda yoziladi.

G ni G ga (ustiga) akslantiruvchi izomorf h akslantirishga avtomorfizm deyiladi.

1-teorema . Agar h:G  H akslantirish G dagi binar amal ( ni saqlasa, ya'ni

 a,bG, h(ab)=h(a) h(b) tenglik o'rinli bo'lsa , u holda h G gruppa-ning birlik е elementini H gruppaning birlik elementiga o'tkazadi va

h:G  H gomomorf akslantirish bo'ladi.

Isboti . Faraz etaylik, е G ning bir elementi bo'lsin va u h akslantirishda е' H elementga utsin , ya'ni е' = h(е) H. е' ning H uchun birlik element ekanligini ko'rsatamiz . 1) ga asosan

h(ee)=h(e)  h(e) = е' е', ikkinchi tomondan е' =h(e)=h(e e). Demak, е' е' =е', ya'ni е' H birlik element. h ning gomomorf akslantirish ekanligini ko'rsatish uchun 2) shartni qanoatlantirishni ko'rsatish yetarli.

Faraz etaylik, a G bo'lsin. U holda G gruppa bo'lgani uchun  a^-1G va a a^-1 = e G . (1) ga asosan bunlan h(a a^-1) = h(a) h(a^-1)= h(e)= e' H .

Demak,  a  G, h(a^-1) =(h(a)) ^-1 , ya'ni h(a) ga teskari element.

Gruppalar to'plamidagi izomorflik munosabati ekvivalentlik munosabatidir (tekshirib ko'ring ).

Misollar. 1. Q* - barcha noldan farqli rasional sonlar to'plami va Q*=

= Q* ;  , ^-1  esa rasional sonlarning multiplikativ gruppasi bo'lsin.