Аллакова Дилбар

Binar algebraik amallarning xossalari. Faraz etaylik,  va t lar A to'plamdagi ixtiyoriy binar algebraik amallar bo'lsinlar.

Agarda A to'plamning ixtiyoriy a,b elementlari kommutativ uchun a b = = b a tenglik o'rinli bo'lsa,  amalni A to'plamdagi kommutativ algebraik amal deyiladi.

Agar A to'plamning ixtiyoriy a,b,c A elementlari uchun (at b)t c=at(b t c) tenglik bajarilsa, t algebraik amalga A to'plamdagi assosiativ binar algebraik amal deyiladi .

Agar A to'plamning ixtiyoriy a,b,c А elementlari uchun (a  b) t c= (a t c )  (b t c) tenglik o'rinli bo'lsa, t algebraik amal  amalga nisbatan distributiv algebraik amal deyiladi.

Agar  amal assosiativ bo'lsa, (a b) c yoki a (bc) yozuvda qavslarni tushirib qoldirish mumkin.

Misollar. 1). Sonlar to'plamlari N, Z , Q , R dagi arifmetik qo'shish va ko'paytirish amallari kommutativ va assosiativdir. Shuningdek, bu to'plamlarda ko'paytirish qo'shishga nisbatan distributiv ham с.(a+b)=c.a+c.b, lekin qo'shish ko'paytirishga nisbatan distributiv emas: (c.a)+b  (c+b).(a+b).

2). Z dagi ayirish amali va darajaga ko'tarish amallari kommutativ emas:

a-b b-a; a^b b^a .

Bu ayirish va darajaga ko'tarish amallari assosiativ ham emas.

3) .Р(М) to'plamda aniqlangan  ,  amallari kommutativ, assosiativ va har biri ikkinchisiga nisbatan distributiv hamdir.

Нейтрал элементлар.t А т to'plamda aniqlangan binar algebraik amal bo'lsin. Agar A to'plamning ixtiyoriy a А uchun A da at е=а (еtа=а) shartni qanoatlantiruvchi е element mavjud bo'lsa, е ga o'ng (chap) neytral element deyiladi.

Agarda а А uchun а t е= е t а bo'lsa, u holda е ga neytral element deyiladi.

1-teorema. Agar t binar algebraik amalga nisbatan neytral element mavjud bo'lsa, u yagonadir.

Haqikatdan ham agar е va е' larni neytral elementlar desak: at e=et a=a va at е' = =е't a =a bo'lishi kerak. U holda e= е't e= е' .

Natija. Agar t amalga nisbatan neytral element mavjud bo'lsa, barcha o'ng va chap neytral elementlar shu neytral element bilan ustma-ust tushadi.

Misollar. 1).Z , Q , R sonlar to'plamlarida qo'shishga nisbatan neytral element 0 sonidir. Bu to'plamlarda ko'paytirishga nisbatan neytral element 1 sonidir.

N- natural son to'plamida qo'shishga nisbatan neytral element mavjud emas, ko'paytirishga nisbatan esa 1 dir.

2). P(M) to'plamidagi  amalga nisbatan neytral element  to'plam;  amalga nisbatan neytral element esa U- universal to'plam bo'ladi.

Regulyar elementlar. Agar а Aelement ixtiyoriy b, с А elementlar uchun аtb= аtc(btа=сtа) tengliklan b=c kelib chiqsa, а ga t amalga nisbatan A to'plamdagi o'ng regulyar (chap regulyar) element deyiladi.

Agar а A element t amalga nisbatan chap va o'ng regulyar element bo'lsa, u holda o'nga regulyar element deyiladi.

Shunday qilib, agar a regulyar element bo'lsa аt b= аtc tenglikni a ga qisqartirish mumkin.

Misollar: 1). Har bir butun son qo'shish amaliga nisbatan regulyardir.

2). Noldan farqli har bir butun son ko'paytirishga nisbatan regulyar. 0 esa regulyar emas.

3).N to'plamda darajaga ko'tarish a^x= a^y  x=y (a>1) xossaga ega bo'lgani uchun 1 dan boshqa barcha elementlar bu amalga nisbatan o'ngdan regulyar va x^a= y^a bo'lgani uchun N ning barcha elementlari chapdan regulyardir.

2- teorema. Agar a va b elementlar assosiativ binar t amalga nisbatan regulyar bo'lsalar, ularning kompozisiyasi аt b ham t amalga nisbatan regulyar bo'ladi.

Isboti. a va b lar regulyar bo'lgani uchun at c = at d dan c=d va bt c = b t d dan c= d kelib chiqadi. Endi faraz etaylik, c va d elementlar (at b)t c = (at b)t d shartni qanoatlantirsin. U holda t ning assosiativligidan (at b)t c=at(b t c) va (at b)t d= =at(b t d). Bo'larning chap tomonlari teng bo'lganligi uchun o'ng tomonlari ham teng bo'lishi kerak:

at(b t c) = at(b t d)  b t c = b t d  с=d. Demak, а А element element o'ngdan regulyar ekan. Chapdan regulyarligi ham shu usulda ko'rsatiladi.

Simmetrik elementlar. Faraz etaylik, t A to'plamdagi neytral elementga ega bo'lgan binar algebraik amal bo'lsin. а А element uchun аt u=e ( ut a=e) shartlarni qanoatlantiruvchi u А elementga a elementga nisbatan o'ng (chap) simmetrik element deyiladi.

Agarda, ata' = a't a= e tenglik o'rinli bo'lsa, u holda element a elementga simmetrik element deyiladi.

Misollar. 1). Z to'plamda qo'shish amaliga nisbatan a elementga simmetrik element -a bo'ladi.

2). R to'plamda ko'paytirish amaliga nisbatan a(a 0) elementga simmetrik element 1/a bo'ladi. 0 uchun esa bu holda simmetrik element mavjud emas.

3-teorema. Assosiativ t amalga nisbatan a elementga simmetrik element mavjud bo'lsa, u yagonadir.

Isboti. Faraz etaylik, u,v lar a ga simmetrik elementlar bo'lsin. U holda atu = ut a= e va atv = vt a= e. t amalning assosiativ ekanligidan u= ute= ut (atv)=(uta)t=v = etv= v.

Natija. Agar a ga t amalga nisbatan simmetrik element a' mavjud bo'lsa, u holda a elementning barcha o'ng va chap simmetrik elementlari a' ga teng bo'ladi.

4-teorema. Agar a va b elementlar uchun assosiativ t amalga nisbatan simmet-rik a' va b' elementlar mavjud bo'lsa, u holda at b ga simmetrik element ham mavjud va u b't a' dan iborat bo'ladi.

Haqikatan ham,

(at b) t (b't a' )=((at b) t b')t a' =( at (bt b'))t a' =( atе)t a' =аt a' = е.

Natija. Agar a element uchun assosiativ t amalga nisbatan simmetrik element a' mavjud bo'lsa, a element t amalga nisbatan regulyar element bo'ladi.

Haqikatan ham, аt a' = a't a= е bo'lib, аt b= аtc bo'lsin. U holda a't(at b)=a't(atc) yoki (a'ta)t b=(a'ta)tc bundan esa et b= etc  b= c.

Faraz etaylik, A to'plamda t - binar amal aniqlangan bo'lsin va ВА bo'lsin.

Agarda a,b B, at b B bo'lsa, u holda В to'plamga t amalga nisbatan yopiq to'plam deyiladi.

4-teoremadan kelib chiqadiki, assosiativ binar amal t ga nisbatan simmetrik elementga ega bo'lgan barcha elementlar to'plami t amalga nisbatan yopiqdir. B A bo'lsa, A da aniqlangan t amal, B da biror t ' binar algebraik amalni aniqlaydi: at' b= at b, a,b B.

Bu holda t amalga В to'plamda aniqlangan t' amalning A dagi davomi deyi-ladi.

Agarda t amal u yoki bu ma'noda arifmetik qo'shish (ko'paytirish) amali bilan bog'liq bo'lsa, o'nga additiv (multiplikativ) algebraik amal deyiladi va + () bilan belgilanadi. Bu holda neytral elementga nol 0 (1 birlik) element, simmetrik elementga esa qarama-qarshi (teskari) element deyiladi.