Аллакова Дилбар

1² =(1/6)1(1+1)(2.1+1)  1=1 ni hosil qilamiz, ya'ni n=1 da (1) tenglik o'rinli.

Faraz etaylik n=k da berilgan tenglik o'rinli bo'lsin, ya'ni

1²+2²+3²+ ... + k²= (1/6) k(k+1) (2k+1 ). (2)
Biz berilgan tenglikning n=k+1 uchun o'rinli ekanligini, ya'ni
1²+2²+3²+ ... +k²+ (k+1)² = (1/6) (k+1)(k+2) (2k+3) (3)
tenglikning o'rinli ekanligini ko'rsatamiz. Haqiqatan ham (2) ga ko'ra
1²+2²+3²+ ... +k²+ (k+1)²=(1/6) k(k+1) (2k+1)+(k+1)²=(1/6)(k+1) (2 k²+k+

+6k+6)=(1/6)(k+1)(2 k²+7k+6)=(1/6)(k+1)(k+2)(2k+3),

ya'ni (3) tenglik o'rinli. Demak, yuqorida isbotlangan teoremaga ko'ra (1) tenglik ixtiyoriy n natural soni uchun o'rinli.

2. 1³+2³+3³+ ... + n³=(n(n+1)/2)² ekanligini isbotlang. ( Bu mustaqil bajarish uchun uyga vazifa).

Chekli sondagi elementlardan ma'lum tartibda olib to'zilgan guruhlarga birikmalar deyiladi.

Birikmalar 3 turga: o'rinlashtirish, o'rin almashtirish va gruppalashlarga bo'linadi.

1. O'rinlashtirishlar m elementdan n tadan (1 n  m) to'zilgan o'rinlashtirishlar deb birbiridan kamida birta elementi bilan yoki elementlarining joylashish tartibi bilan farq qiluvchi birikmalarga aytiladi.

m elementdan n tadan to'zilgan o'rinlashtirishlar sonini A_mⁿ bilan belgilaymiz. Bu grekcha “Arrangument” (o'rinlashtirish) so'zining bosh harfidan olingan.

Misol. a,b,c uchta elementdan 1 tadan to'zilgan o'rinlashtirishlar a, b, c; ularning soni A₃¹ =3; 3 elementdan 2 ta to'zilgan o'rinlashtirishlar: ab, ac, bc,ba, ca,cb; bo'larning soni A₃ ²=6 .

3 elementdan 3 ta to'zilgan o'rinlashtirishlar: abc,bac,bca,acb,cab,cba; bo'larning soni ham A₃ ³ =6.

Umuman, A_m ⁿ = m(m-1) (m-2) ... (m-(n-1)) (1)

ekanligini ko'rsatish mumkin.

Haqiqatdan ham agar а₁ , a₂ , ... , a_m-1 , a_m elementlar berilgan bo'lsa, ulardan 1 tadan to'zilgan o'rinlashtirishlar а₁ , a₂ , ... , a_m-1 , a_m bo'lib, ularning soni A_m ¹ = m ga teng.

m elementdan 2 ta to'zilgan o'rinlashtirishlarni hosil qilish uchun m elementdan 1ta to'zilgan o'rinlashtirishlarni yozib olib, ularning har birining yoniga qolgan m-1 elementni yozib chiqish kifoya:
а₁ a₂, а₁ a₃ , ... , а₁ a_m-1 , а₁ a_m

а₂ a₁, a₂ a₃ , ... , a₂ a_m-1 , a₂ a_m

.........................................................