Algebraik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar. Kompleks sonning geometrik ma’nosi. Kompleks sondan kvadrat ildiz chiqarish

Aim.uz

Algebraik shakldagi kompleks sonlar va ular ustida amallar.
Kompleks sonning geometrik ma’nosi. Kompleks sondan kvadrat ildiz chiqarish
Reja:

1. 
   Kompleks sonlar va ular ustida amallar
   
2. 
   Kompleks sonning geometrik ma’nosi
   
3. 
   Kompleks sondan kvadrat ildiz chiqarish
   

Haqiqiy sonlar ustida bajarilgan arifmetrik amallar natijalari yana haqiqiy sonlarni beradi. Musbat sondan har doim ixtiyoriy aniqlikda aniq yoki taqribiy juft darajali ildiz chiqarish mumkin. _{ }= 4, _{ }= 5, _{ }≈1,41

Kvadrat ildiz chiqarish amali barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlanmagan.Bu amal faqatgina manfiy haqiqiy sonlar uchun ma’noga ega bo’lib, manfiy haqiqiy sonlardan ildiz chiqarish ma’noga ega emas, ya’ni manfiy haqiqiy sonning kvadrat ildizi haqiqiy son bo’lmasligi mumkin. Haqiqiy sonlar sohasida manfiy sonning juft darajali ildizi mavjud emas. Manfiy sondan juft darajali ildiz chiqarish son tushunchasini kengaytiradi.
_{ } = i deyish va uni mavhum birlik deb qabul qilishga kelishib olamiz. Haqiqiy sonning mavhum birlik bilan ko’paytmasi mavhum son deyiladi.
6 i, _{ }, - _{ } mavhum sonlardir
Ta’rif. a+ib ko’rinishdagi ifoda ( bu yerda a va b – haqiqiy sonlar, i-mavhum birlik) kompleks son deyiladi.
Ikkita a+bi va c+di kompleks sonlar faqat va faqatgina a=c va b=d bo’lgandagina bir-birga teng deyiladi..

1.Qo’shish. Kompleks sonlar qo’shilganda ularning haqiqiy qismlari o’zaro va mavhum qismlari o’zaro qo’shiladi: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d)

Misol: (4 + 5i) + (4 + 5i) = (4 + 4) + (5 + 5 ) i = 8 + 10 i
2.Ayirish. Kompleks sonlarni ayirish ham shunga o’xshash bajariladi.
(a + bi) + (c + di) = (a – c) + (b – d ) i
Misol: (2 + 3 i) – ( 5 – 6 i ) = ( 2 + 5 ) + ( 3 + 6 ) i = 7 + 9 i
3. Ko’paytirish. Kompleks sonlarni ko’paytirish
( a + bi) ( c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Misol: (3 + 5i) (2 + 3i) = (6*15) + ( 9*10)i = 9 – i
4.Bo’lish. a+bi kompleks sonni c+di kompleks sonlarga bo’lish deb, shunday uchinchi bir x+yi kompleks songa aytiladiki, bu son uchun _{ }= x+yi bo’lsa, (x+yi)(c+di)=a+bi bo’ladi. Kompleks sonlarni bo’lish
_{ } = _{ }+ _{ }i
Misol: _{ }= _{ }= _{ }= _{ }-_{ }i
5.Darajaga ko’tarish. z=a+bi kompleks sonni n- darajaga (n_{ }N) ko’tarish kompleks sonlarni ko’paytirishning xususiy holi sifatida bajariladi: _{ } .
z=a+bi kompleks sonning kvadrat ildizi x+yi ko’rinishdagi kompleks son bo’lsin, ya’ni _{ 
 } deyish va uni manfiy birlik deb qabul qilamiz. Haqiqiy sonning mavhum birlik bilan ko’paytmasi mavhum son deyiladi. a+bi shakldagi son kompleks son deyiladi. kompleks sonlar ustida arifmetik amallar quyidagicha aniqlanadi (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)I; (a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i
_{ }; _{ }.
Kompleks sondan ikldiz chiqarish.
Z=a+bi kompleks sonning kvadrat ildizi x+yi ko’rinishdagi kompleks son bo’lsin, ya’ni _{ }
Bu tenglikning har ikkala qismini kvadratga ko’taramiz;
a+bi=(x²-y²)+2xyi.
Ikkita kompleks sonning bir-biriga tenglik ahartlaridan x va y ni imkon beradigan ikkinchi darajali tenglamalar sistemasini olamiz;
_{ } (1)
Masala (1) sistemaning haqiqiy ildizlarini topishga keltiriladi. Ikkala tenglamani kvadratga ko’tarib, so’ngra ularni qo’shib, quyidagilarni hosil qilamiz:
_{ }
Oxirgi tenglamani (1) sistemaning birinchi tenglamasi bilan birgalikda olamiz, ularni qo’shib va ayirib, quyidagilarni hosil qilamiz:
_{ } ;
_{ }.
(1) sistemaning ikkinchi tenglamasidan: agar b>0 bo’lsa, x va y ishoralari bir xil, agar b<0 bo’lsa, x va y ishoralari har xil bo’lishi kelib chiqadi. Shuning uchun:
b>0 bo’lganda, _{ }
b<0 bo’lganda, _{ }
Misollar;
1) _{ };
2) _{ }.
Kompleks koeffitsientli az²+bz+c=0, a_{ }0 tenglama ham haqiqiy koeffitsientli tenglama uchun chiqarilgan
_{ }
Formula bo’yicha yechiladi. Xususiy holda, diskriminanti manfiy bo’lgan koeffitsientlarni yechamiz.
Misol. Tenglamalarni yeching:
1) 9x²-12x+7=0
Yechish. _{ }
2) x²+3=0
Yechish. _{ }
a) (-3+2i)+(4-i) g) (-5+2i)-(8-9i)
b) (4+5i)+(4-5i) e) (5+21i)-(9i+8)
v) (5+2i)+(-5-2i) i) 4-(42-3i)