Algebraik amalga nisbatan neytral, yutuvchi va simmetrik elementlar Rеjа

2) G da bu amalga teskari amal aniqlangan bo’lsa, G to’plam gruppa deyiladi.

Gruppaning birinchi va ikkinchi xil ta’riflari ekvivalent ta’riflar ekanligini osongina ko’rsatish mumkin.

Gruppadagi algebraik amal qo’shish, (ko’paytirish) deyilganda gruppani additiv (multiplikativ) gruppa deb ataymiz.
5. Qism gruppa
4-ta’rif. G to’plamning H qism tuplami G da aniqlangan algebraik amalga nisbatan gruppa tashkil etsa, H ni G ning qism gruppasi yoki G dagi qism gruppa deyiladi.

1-teorema. G gruppaning H qism to’plami G da qism gruppa tashkil etish uchun, quyidagi ikki shartning bajarilishi zarur va ytarli.

1) H ning istalgan ikki elementi ko’paytmasi yana H ga qarashli.

2) H ning har bir h elementi uchun, shu H da unga teskari element mavjud.

Isbot. 1. H qism gruppa (demak, gruppa) bo’lsa, yuqoridagi ikki shartning bajarilishi ravshan. 2. Ikkala shart bajariladi deb faraz qilamiz. Bu holda, H qism gruppa ekanligini ko’rsatamiz.

1) Ravshanki, G da aniqlangan algebrik amal H da ham algebraik amaldan iborat bo’ladi.

2) 2 - shart bo’yicha hH uchun mavjud 1 - shartga muvofiq dir. Demak, H da h ga simmetrik element mavjud.

3) hH element uchun G da h_*e=h bo’lganidan H da ham h_*e=h bo’lishi lozim.

Demak, H to’plam gruppaning birinchi ta’rifini qanoatlantiradi. Shu sababli, u G da qism gruppadan iborat.

Misollar 1) Juft sonlar additiv gruppasi butun sonlar additiv gruppasi Z ning qism gruppasi bo’ladi. Chindan ham juft sonlar additiv gruppasini H va butun sonlar additiv gruppasini G desak, HG ekanligi ravshan. Shu bilan birga H yuqoridagi teoremaning ikki shartini qanoatlantiradi: 2 m, 2 nH uchun 2 m+2 nH va 2 mH bilan bir qatorda -2 mH dir.

2) Ratsional sonlar multiplikativ gruppasi haqiqiy sonlar multiplikativ gruppasidagi qisim gruppani ifodalaydi (isbotlang).