Algebrada gruppa, halqa va maydon tushunchalari. Misollar. Zn maydoni. Z5 maydoni

1. 
   Bob. Umumiy ma’lumotlar
   
   1. 
      Algebrada gruppa, halqa va maydon tushunchalari. Misollar. Z_n maydoni. Z₅ maydoni
      

Bizga va B (B≠∅) to’plamlar berilgan bo’lsin.

Ta’rif 1: va to’plamlarning dekart (to’g’ri) ko’paytmasi deb, quyidagi juftliklar to’plamiga aytiladi. va to’plamlarning dekart ko’paytmasi quyidagicha bo’ladi. Bu to’plam qisqacha A² shaklda yoziladi.

Ta’rif 2: Biror to’plamda binar amal aniqlangan deyiladi, agar akslantirish berilgan bo’lsa.

Misol 1: to’plam sifatida Z butun sonlar to’plamini olamiz. Z to’plamda binar amal sifatida amalini olamiz. Z butun sonlar to’plamida binar amali aniqlanganligi bizga ma’lum.

Biror bo’sh bo’lmagan to’plam berilgan bo’lib, bu to’plamda binar amal aniqlangan bo’lsin. Binar amalni quyidagicha belgilaylik.

Ta’rif 3: to’plamda aniqlangan binar amal uchun quyidagi shartlar bajarilsin:

1. 
   elementlar uchun tenglik o’rinli bo’lsin (assosiativlik).
   
2. 
   mavjudki uchun tenglik o’rinli bo’lsin ( birlik elementning mavjudligi).
   
3. 
   uchun mavjudki tenglik o’rinli bo’lsin ( -teskari elementning mavjudligi).
   

Bu holda juftlikka gruppa deyiladi.

Misol 2: Biz bilgan butun sonlar to’plami qo’shish amaliga nisbatan gruppa tashkil etadi. (Z,+) ni gruppaning shartlariga tekshiramiz:

1) elementlar uchun bajariladi.

2) mavjudki, uchun tenglik o’rinli bo’ladigan ni topishimiz kerak. Tenglikdan ( -birlik element) ekanligi kelib chiqadi. Demak nol soni amaliga nisbatan birlik elementdir.

3) uchun mavjudki, tenglik o’rinli bo’ladigan ni topishimiz kerak. Tenglikdan kelib chiqadiki ( -teskari element) ekanligi kelib chiqadi. Demak - gruppa tashkil etadi.

Misol 3: Kompleks sonlar to’plami qoshishga nisbatan gruppa tashkil etadi. Hammamizga ma’lumki kompleks sonlar quyidagi uchun ko’rinishda bo’ladi. Ikkita kompleks son teng deyiladi, agar quyidagi ekanligidan va shartlar bajarilsa.

1) elementlar uchun assosiativlik shartini tekshiramiz. bundan, tenglikning chap tomonidan quyidagi (1)

tenglik hosil bo’ladi. Tenglikning o’ng tomonida quyidagi (2)

tenglik hosil bo’ladi. Yuqoridagi (1) va (2) tengliklardan assosiativlik qonuni o’rinli ekanligi kelib chiqаdi. 2) tenglikni qanoatlantiruvchi element mavjud ekanligini ko’rsatamiz. Yuqoridagi tenglikdan quyidagi kelib chiqadi, kompleks sonlarning tengligidan ekanligi kelib chiqadi. Demak qo’shish amaliga ko’ra birlik elementimizni ko’rinishi ko’rinishda bo’ladi.

3) tenglikni qanoatlantiruvchi element mavjudligini ko’rsatamiz. Yuqoridagi tenglikdan kelib chiqadi. Kompleks sonlarning tengligidan kelib chiqadi. Demak element uchun teskari element ko’rinishidagi kompleks sondir. Demak kompleks sonlar to’plami gruppa tashkil etar ekan.