Hozirgi zamon algebra fani to‘plam va uning elementlari uchun aniqlangan algebraik amal va uning xossalarini o‘rgatadi

Hozirgi zamon algebra fani to‘plam va uning elementlari uchun aniqlangan algebraik amal va uning xossalarini o‘rgatadi.
1-ta‘rif. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plam berilgan bo‘lsin. dekart ko‘paytmani A to‘plamning o‘ziga mos qo‘yuvchi akslantirishiga A to‘plamda aniqlangan binar algebraik amal deyiladi.
Bu ta’rifga asosan, bo‘lganda tartiblangan juftlikka shu A to‘plamning aniq bitta C elementi mos kelgani holda (b;a) juftlikka mos kelmasligi mumkin. akslantirish yordamida juftlikka ning mos qo‘yilishi , yoki orqali belgilanadi.
A to‘plamning elementlari uchun aniqlangan binar (ikki o‘rinli) algebraik amallar odatda maxsus tanlangan belgilar bilan belgilanadi. Maktab matematikasidan ma’lumki, va lar mos ravishda a va b elementlarning yig‘indisi va ko‘paytmasini bildiradi.
2-ta‘rif. bo‘lib, dekart ko‘paytmaning tartiblangan har bir elementiga A to‘plamning yagona elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa, A to‘plamda rangi n ga teng bo‘lgan (n o‘rinli, n – ar) algebraik amal aniqlangan deyiladi.
n o‘rinli algebraik amalni orqali belgilasak, u yoki ko‘rinishlarda yoziladi. Ba’zi hollarda bo‘lishi mumkin. Bunday holda qaralayotgan algebraik amal qismiy algebraik amal deb yuritiladi.
Algebraik amallar nol, bir, ikki, uch, ... , n o‘rinli bo‘lishi mumkin va ular mos ravishda nular, unar, binar, ternar, ... n – ar algebraik amallar deb yuritiladi.
A to‘plamning istalgan elementini alohida olish nol o‘rinli algebraik amaldir. Bir o‘rinli algebraik amal deganda A to‘plamni o‘z-o‘ziga akslantirishni tushunamiz. Biror sonlar to‘plamida aniqlangan a : 6 =c : d proporsiya uch o‘rinli algebraik amal bo‘ladi. n ta natural sonning eng katta umumiy bo‘luvchisini topish n o‘rinli algebraik amalga misoldir.
Natural sonlar to‘plamida aniqlangan «a dan bevosita keyin keladi» munosabati bir o‘rinli algebraik amaldir.
Bitta A to‘plamning o‘zida bir qancha algebraik amallar aniqlanishi mumkin. Shu amallarni biz orqali belgilaylik.
3-ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plam va unda qaralayotgan algebraik amallar to‘plami dan tuzilgan tartiblangan juftlik algebra deyiladi.
A to‘plamda qaralayotgan amallar soni chekli bo‘lganda bu algebra ko‘rinishda belgilanib, uzunligi s+1 ga teng bo‘lgan kortejni ifodalaydi. Bu yerda A to‘plam qaralayotgan algebraning asosiy to‘plami, amallar esa asosiy algebraik amallar deb yuritiladi.
f algebraik amalning rangi odatda orqali belgilanadi.
4-ta’rif. Agar , bo‘lsa, kortej algebraning turi (tipi) deyiladi.
Masalan, < Z, + , •,– > algebra (2, 2, 2) turli algebradir.
n = 0 bo‘lsa, operatsiyaga nular operatsiya deyilib, u holda nular operatsiyaga A to‘plamning ixtiyoriy tanlangan elementi mos qo‘yiladi.
+ , •, 1 > algebra esa (2, 2, 0) turli algebradir (1 son ko‘paytirish amaliga ko‘ra N dagi neytral element).
Misollar. 1) Natural sonlar to‘plamida aniqlangan ayirish amali binar algebraik amal bo‘lmay, balki qismiy binar algebraik amaldir, chunki istalgan ikkita natural son ayirmasi har doim ham natural son bo‘lavermaydi.
2) N to‘plam elementlari uchun aniqlangan moslik algebraik amal bo‘ladi.
3) Butun sonlar to‘plamida sonlarni qo‘shish, ko‘paytirish, ayirish amallari binar algebraik amal bo‘ladi.
4) Mulohazalar ustida bajariladigan (inkor amalidan boshqa) mantiqiy amallar mulohazalar to‘plamida binar algebraik amallar bo‘ladi.
5) Biror U universal to‘plamning qism to‘plamlari uchun bajariladigan birlashma va kesishmalar binary algebraik amal bo‘ladi.
6) Ikkita natural t va p sonning umumiy bo‘luvchisini topish binar algebraik emas, chunki mazkur sonlar bir nechta umumiy bo‘luvchilarga ega bo‘lishi mumkin.
7) Ikkita vektorning skalyar ko‘paytmasi ham binary algebraik amal emas, chunki u vektorlarning skalyar ko‘paytmasi vektor bo‘lmay, balki sondir.
8) Butun sonlar to‘plami Z va bu to‘plamda aniqlangan qo‘shish, ayirish amallari bo‘yicha < Z, + , — > algebrani tashkil qiladi.
9) < N, + , • > algebra (2,2) turli algebradir.
10) Biror bo‘sh bo‘lmagan M to‘plamning barcha qism to‘plamlari to‘plamini 2^M deb belgilaylik. Bunday holda algebra (2, 2, 1) turli algebra bo‘lib, bu yerda va – lar mos ravishda kesishma, birlashma
va to‘ldiruvchi to‘plamlarni bildiradi.
11) R haqiqiy sonlar to‘plami uchun algebra (2, 2, 2, 0) turli algebra bo‘ladi.