Algebra va sonlar nazariyasi

A(ei, ei) + 4^, ei) +... + An (en, ei) = (z, el),
^A1^(el^{, e}2⁾ + A⁽^ ^e2⁾ + ... + ^An ^(en ^{, e}2⁾ = ^{(z, e}2^), _{(24 2)}


^A1^(el^{, e}n ⁾ + A^(e2^{, e}n ⁾ + ... + A ^(en^{, e}n ⁾ = ^{(z, e}n X
Ixtiyoriy n -o‘lchamli fazoda ortonormal bazis mavjud ekanligidan foydalanib, e, e,-., e bazisni ortonormal deb faraz qilishimiz mumkin. U holda (24.2) sistemaning yechimi A. = (z,e_t), 1 < i < n ko‘rinishida bo‘ladi. Ya’ni sistema yagona yechimga ega. Demak, y = Ae + Ae₂ +... + A„e„ ortogonal proyeksiya ham mavjud va yagona.
Ta’kidlash joizki, yuqoridagi tasdiqning isbotida biz e, e₂,..., e ortonormal bazisdan foydalandik. Umuman olganda ixtiyoriy bazis uchun ham (24.2) sistema yagona yechimga ega bo‘ladi. Chunki, ushbu sistemaning asosiy determinanti quyidagicha bo‘lib,
^(el^{, e}i^{) (}^ ^ei⁾ ... ^(en^{, e}i^)
(el^{, e}2^{) (e}2^{, e}2⁾ ... ^(en^{, e}2<sup>)


(e</sup>l^{, e}n ^{) (e}2^{, e}n⁾ ... ⁽^ ^en ⁾
bu determinant noldan farqli. Ushbu determinantga Gram determinanti deb ataladi.
Demak, V' qism fazo berilgan bo‘lib, e, e,. ., e uning bazisi bo‘lsa, zgV vektorning V' qism fazoga ortogonal proyeksiyasi y = Ae +A₂e₂ +... + Ae_n ko‘rinishida bo‘ladi, bu yerda \, A,..., A_n

2. 
   chiziqli tenglamalar sistemasining yechimi. x = z - y vektor esa ortogonal to‘ldiruvchi bo‘ladi.
   

161




Yevklid fazolarining izomorfizmi. Endi Yevklid fazolarining izomorfizmi tushunchasini keltiramiz.

11. 
    ta’rif. Bizga V va V' Yevklid fazolari berilgan bo‘lsin. Agar ularning elementlari orasida shunday x o x ' (x e V, x e V') o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin bo‘lib, bu moslik quyidagi shartlarni qanoatlantirsa:
    

1. 
   agar x o x ' va у o у' ekanligidan, x + у o x' + у' bo‘lsa, ya’ni x, у eV vektorlarning x', у' eV' vektorlarga mosligidan, x + у yig‘indining x' + y' yig‘indiga mosligi kelib chiqsa;
   
2. 
   agar x o x ' bo‘lsa, u holda Ax o Ax';
   
3. 
   agar x o x' va у o у’ bo‘lganda (x,y) —(x',у') bo‘lsa, ya’ni mos vektorlar juftligining skalyar ko‘paytmalari o‘zaro teng bo‘lsa, u holda V va V' fazolar izomorf Yevklid fazolari deyiladi.
   

Agar biror n o‘lchamli Yevklid fazosida qo‘shish, songa ko‘paytirish va vektorlarning skalyar ko‘paytmasi tushunchalari bilan berilgan tasdiq isbot qilingan bo‘lsa, u holda shu tasdiqning o‘zi bu fazoga izomorf bo‘lgan xar qanday fazo uchun ham o‘z kuchini saqlaydi. Darhaqiqat, bunday teoremaning tasdig‘ida ham, isbotida ham V ning vektorlarini V ning ularga mos bo‘lgan vektorlari bilan almashtirilsa, u holda izomorfizm ta’rifidagi 1) - 3) xossalarga asosan hamma mulohazalar o‘rinli bo‘lib qolaveradi, ya’ni mos teoremalar V' uchun ham o‘z kuchini saqlaydi.

12. 
    teorema. Barcha n o‘lchamli Yevklid fazolari o‘zaro izomorfdir.
    

Isbot. Barcha n o‘lchamli Yevklid fazolarini maxsus tanlab olingan "standart" n o‘lchamli fazoga izomorf ekanligini isbot qilamiz. Shunda barcha n o‘lchamli Yevklid fazolarining o‘zaro izomorf ekanligi kelib chiqadi.
Standart V' fazo sifatida biz odatdagi n o‘lchamli fazoni qaraymiz: bu fazoda vektorlar quyidagicha olinib, x' — (£,%₂,•••,%„) va у k — (Vj ,^ ,~;V„) ularning skalyar ko‘paytmasi esa
^(x'^, У '^{) —} £i^Vi +^2^V2 + ••• + £n^Vn
formula shaklida aniqlanadi.

Bizga biror n o‘lchamli Yevklid fazosi V berilgan bo‘lsin. Bu fazoda e, e₂,..., e ortonormal bazis tanlab olamiz. Ushbu bazisdagi koordinatalari bilan berilgan ixtiyoriy

x = Ee +Ee +... + E e
~1 1 ~2 2 ^n n
vektorga n ta E, E,. ., E„ sonlar to‘plamini, ya’ni V' ning x' = (E,E,.. ,E) vektorini mos qo‘yamiz. Endi bu moslikning izomorfizm ekanligini ko‘rsatamiz.
Bu moslikning o‘zaro bir qiymatli ekanligi ravshandir. Izomorfizm ta’rifining 1) va 2) shartlarining bajarilishi o‘z-o‘zidan ko‘rinib turibdi. 3) shartning bajarilishini tekshiramiz. Ortonormal bazisda skalyar ko‘paytma uchun avval isbotlangan formuladan foydalanib,
^(X, y ⁾ = ^E1^V1 + ^E2^V2 + ... + ^En^Vn
tenglikka ega bo‘lamiz. Ikkinchi tomondan, V' fazoda skalyar ko‘paytma ta’rifiga ko‘ra,
^(X'^,y0 = ^E1^V1 + ^E2^V2 + ... +^En^Vn .
Shunday qilib, (x,y) = (x',y'), ya’ni skalyar ko‘paytmalar
tengligi isbot qilindi. □

21. 
    - §. Bichiziqli va kvadratik formalar
    

Chiziqli funksiya. Vektor fazoda aniqlanadigan eng sodda funksiyalardan biri chiziqli funksiyadir.

1. 
   ta’rif. Agar vektor fazoda xar bir x vektorga f (x) son mos qo‘yilib, bu moslik uchun quyidagi shartlar o‘rinli bo‘lsa;
   

1.