Algebra va sonlar nazariyasi

f (x + y) = f (x) + f (y);

f (MX) = m/ (x);

vektor fazoda chiziqli funksiya (chiziqli forma) berilgan deyiladi.
Demak, / chiziqli funksiya V fazoni К maydonga mos qo'yadi. ya’ni f: V —> IK.


163

Bizga n o‘lchamli chiziqli fazo va uning ixtiyoriy e,e₂,•••,e bazisi berilgan bo‘lsin. Xar bir x vektorni

x = £e, + £e + ••• + £ e
~1 1 ~2 2 ^n n
ko‘rinishda tasvirlash mumkin bo‘lganligi uchun, chiziqli funksiya xossalariga asosan:
^{f (x)} = ^{f (£e}i + ^2^e2 + ••• + £n^en⁾ = ^(e-⁾ + %2^{f (e}2⁾ + ••• + ^£n^{f (e}n )•
Demak, muayyan bazisga ega bo‘lgan n o‘lchamli fazoda chiziqli funksiyani
^{f (x)} = ^xi^£ + ^x2^2 + ••• + ^xn^n
ko‘rinishda tasvirlanish mumkin. Bunda x = f (e_t) bazisning tanlab olinishigagina bog‘liq bo‘lgan o‘zgarmaslar £,£,•••,£ sonlar esa x
vektorning bu bazisdagi koordinatalari.
Shunday qilib, chiziqli funksiyaga yuqorida berilgan ta’rif, chiziqli funksiyaning algebrada qabul qilingan ta’rifi bilan bir hil bo‘ladi, bu yerda faqat x koeffitsientlar bazisning tanlab olinishiga bog‘liq ekanligini e’tiborga olish zarur.
Bir bazis boshqasiga almashtirilganda chiziqli funksiya koeffitsientlarining qanday o‘zgarishini ko‘rib chiqaylik.
Aytaylik, V chiziqli fazoda e, e₂,•••, e va ek, ek,•••, e'_n bazislar tanlab olingan bo‘lib, ek vektorlar e, e₂, •••, e bazis orqali
^ei = ^ai,i^ei + ^a2-^e2 + ••• + ^an,i^en, ^e2 = ^ai,2^ei + ^a2,2^e2 + ••• + ^an,2^en ,


en = ae + + •••+a„„e„
n 1,n 1 2,n 2 n,n n


kabi ifodalangan bo‘lsin. Birinchi e, e₂, •••, e bazisda chiziqli
funksiya
^{f (x)} = ^xi^£i + ^x2^£2 + ••• + ^xn^£n
ko‘rinishida, ek, ek, •••, e' bazisda esa
' 1 “ 2 “ ~ n
^{f (x)} = ^x£- + ^x2^£2 + ••• + ^x'n^£n
ko‘rinishida ifodalansin.

x, = f (e_t), x'_k = f (e'_k ) bo‘lgani uchun

^X'k = ^{f (a}i,k^ei + ^a2,k^e2 + - + ^an,k^en ⁾ =
= ^ai,k^{f (e}i ⁾ + ^a2,k^{f (e}2⁾ + - + ^an,k^{f (e}n ⁾ =


= ^ai,k^X1 + ^a2,k^X2 + - + ^an,A.


tenglik kelib chiqadi.
Agar bu ifodani matritsalar ko‘rinishida yozsak:


⁽x2^,...^, x'_n⁾ =^(xi^, x^..^ x_n⁾


a
V n,i


hosil bo‘ladi.
Bichiziqli formalar. Endi bichiziqli va kvadratik funksiyalar
(formalar) tushunchalarini kiritamiz. Bu tushunchani dastlab, haqiqiy
sonlar maydonida aniqlangan vektor fazo uchun kiritamiz.

2. 
   ta’rif. Agar V xV to‘plamni M maydonga o‘tkazuvchi
   A: FxF^-M akslantirish aniqlangan bo‘lib, quyidagi shartlar o‘rinli
   bo‘lsa,
   

1. 
   A(Axi + nx^, y) = XA(xi, y) + цА( x2, y);
   
2. 
   A( x,^yi + ^.У2) = XA( x, yi) + цА( x, У2)
   

ya’ni, bitta o‘zgaruvchining tayinlangan qiymatida ikkinchi
o‘zgaruvchiga nisbatan chiziqli funksiya bo‘lsa, u holda A(x,y)
bichiziqli forma deb ataladi.
Misol 25.1. V chiziqli fazo sifatida uzluksiz funksiyalar
to‘plamini qaraylik. K(s,t) funksiya ikki o‘zgaruvchi uzluksiz
funksiya bo‘lsin. Agar
b b


A(f, g ) = j jK (s, t )f (s) g (t )dsdt


bo‘lsa, A(f,g) funksiya V fazoda aniqlangan bichiziqli forma bo‘ladi.


165

3. 
   ta’rif. Agar ixtiyoriy x, у vektorlar uchun
   

A( x, y) = A( y, x)
tenglik o‘rinli bo‘lsa, bichiziqli forma simmetrik bichiziqli forma deyiladi.
Yevklid fazosidagi (x, y) skalyar ko‘paytma simmetrik bichiziqli formaga misol bo‘ladi.
Bichiziqli formaning matritsasi. Biz bichiziqli formaning aksiomatik ta’rifini berdik. Endi n o‘lchamli fazoda biror e, e₂, •••, e bazis tanlab olamiz, hamda A(x, y) bichiziqli formani x va у vektorlarning bu bazisdagi £, £, •••, £ va щ, i₂,•••,!„ koordinatalari orqali ifodalaymiz. Bu holda:
^A(X У⁾ = ^A(£i^ei + ^£2^e2 + ••• + ^£n^en^, li^ei + V2^e2 + ••• + Vn^en X Bichiziqli formaning xossalariga asosan: