Algebra va sonlar nazariyasi

Isbot. Faraz qilaylik, dimL_} {'\L₂= к bo‘lib, e_l,e₂,...,e_k uning qandaydir bazisi bo‘lsin. ^va ЦГ\1₂^Ь₂ bo‘lganligi
uchun, dim L = k + 5 dim L₂ = k +1 deb olishimiz mumkin. Tanlangan e , e , ... , e bazisni L va L qism fazolarning bazislarigacha to‘ldiramiz, ya’ni
^ei, ^e2, ..., ^ek, ^f1, ^f2, ..., fs
vektorlar L qism fazoning bazisi
^ei, ^e2, ..., ^ek, Si, ^S2, ..., St vektorlar esa Z₂ qism fazoning bazisi bo‘lsin. Biz


149

fi^,f2^,...J_s^{, e}^ ^.^ ^ek^, Sl^, S2^,...^, S_t (23.1)

vektorlarni Ц + L₂ fazoda bazis bo‘lishini ko‘rsatamiz. Dastlab, ularning chiziqli erkli ekanligini aniqlaymiz. Faraz qilaylik,
^Af + *2/2+... + Kf_s + m + ^2^e2.. + Vk^ek+vs + v S2 +...+^v,s, = 0 bo‘lsin. U holda
^Afl + A^f2 + ... + ^Afs +M^ei + ^2^e2... + Vk^ek = ^-Vl^gl ^-V2^S 2 ^- ... ^- bo‘lib, tenglikning chap tomoni Z₁ ga o‘ng tomoni esa L₂ ga tegishli ekanligi kelib chiqadi. Demak, tenglikning chap va o‘ng tomonlari /,, n I₂ qism fazoga tegishli. e_l,e₂,...,e_k vektorlar /,, f| I₂ da bazis bo‘lganligi uchun -vg-v₂g -... -v,g_t vektorni ular bazis orqali chiziqli ifodalash mumkin, ya’ni qandaydir c, c₂,..., c lar uchun
^-Vl^gl ^{- V}2^g2 ^- ... ^{- V}t^gt = ^Ci^ei + ^C2^e2 + ... + ^Ck^ek . tenglik o‘rinli. Bundan
^Ci^ei + ^C2^e2 + ... + ^Ck^ek + ^VlSl + ^V2 S2 + ... + ^V_tS_t = ⁰ hosil bo‘ladi, bu vektorlarning chiziqli erkli ekanligidan
^Cl = ^C2 = ... = kk =^V2 = ... = V=⁰ kelib chiqadi. Bularni yuqoridagi tenglikka olib borib qo‘ysak,
Л/ + A^f2 + ... + ^As^fs + M^ei + ^2^e2... + ^hk^ek = ⁰ tenglik hosil bo‘ladi. e, e₂,..., %, f, /,..., / vektorlarning chiziqli
erkli ekanligidan A = A = . = A = 0, h = h = . = h =0 kelib chiqadi. Demak, (23.1) vektorlar sistemasi chiziqli erkli ekan.
Endi ixtiyoriy x gЦ + L₂ vektorni (23.1) vektorlar sistemasi orqali chiziqli ifodalanishini ko‘rsatamiz. Ta’rifga asosan, x = x + x₂, x g L, x g L₂, bo‘lib, x va x₂ vektorlarni bazis vektorlar orqali yoysak,

10. 
    = ^ai^ei + ^a2^e2 + ... + ^ak^ek + ^ak₊l^fl + ... + ^ak₊Js
    

va
^x2 = ^bi^ei + ^b2^e2 + ... + ^bk^ek + ^bk₊iSl + ... + ^b_k+tS, tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa
x = x + x2 = (a + bi )ei + (a + b2 )e2 +... + (ak + bk )e_k +

^ak₊1^f1 + ^ak+2^f2 + + ^ak_+sfs + ^bk+lSk+1 + ^bk+2 Sk+2 + - + ^bk_+tS,

hosil bo‘ladi.
Demak, ixtiyoriy x eL + L₂ vektorni (23.1) vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalash mumkin. Shunday qilib, biz

1. 
   vektorlar sistemasi L + L₂ qism fazoning bazisi ekanligini ko‘rsatdik. Bundan esa, dim(L + L₂) = s + k +1 ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
   

dim(Zj + L₂) = dimZj + dimZ₂ - dim(Zj ПL₂)
□

8. 
   ta’rif. Agar L₁f]L₂ = {0} bo‘lsa, L_x va L₂ qism fazolarning yig‘indisiga to‘g‘ri yig‘indi deyiladi va L ©Z₂ ko‘rinishida yoziladi.
   

Ravshanki, L va L₂ qism fazolarning to‘g‘ri yig‘indilari uchun
dim(L © L ) = dimL + dimZ₂ tenglik o‘rinli bo‘ladi.

9. 
   teorema. L © Z₂ to‘g‘ri yig‘indining ixtiyoriy vektori L va L₂ qism fazolar vektorlarining yig‘indisi shaklida yagona ravishda ifodalanadi.
   

Isbot. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni
x = x + x₂, x e L, x₂ e L₂
va
^x = Vl + У2^, Vl ^e ^ У2 ^{e L}2 bo‘lsin. U holda bu tengliklardan у - x = x₂ - y₂ hosil bo‘ladi.
y_l-x₁ e Zj, x₂ - y₂ g L₂ va Ц f| L₂ = {0}
ekanligidan
Vl ^{- x}i= ^x2 ^- У2=⁰ ^ ^xi = Уl^{, x}2= У 2 kelib chiqadi. □
Shuni ta’kidlash joizki, V fazoning bir nechta L,L₂,•••,L, qism ^{S S} fazolari uchun ham Q Z_; qism fazolarning kesishmasi va IL, /=1 /=1
yig‘indisini aniqlash mumkin.


151

21. 
    - §. Yevklid fazolari. Ortogonal va ortonormal sistemalar
    

Avvalgi mavzularda chiziqli fazoni qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari bajariladigan vektorlar to‘plami sifatida ta’riflagan edik. Ammo faqat qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari yordamida vektorlarning uzunligi, vektorlar orasidagi burchak tushunchalarini ta’riflab bo‘lmaydi. Buning uchun chiziqli fazoda skalyar ko‘paytma tushunchasini kiritish kerak. Vektorlarni qo‘shish, ularni songa ko‘paytirish va vektorlarning skalyar ko‘paytmasi terminlari yordamida Yevklid geometriyasini bayon qilish mumkin.
Bizga haqiqiy sonlar maydonida aniqlangan V chiziqli fazo berilgan bo‘lsin.

1. 
   ta’rif. Agar x,y e V vektorlarning xar bir juftiga (x,y) e К haqiqiy son mos qo‘yilgan bo‘lib, bu moslik quyidagi aksiomalarni qanoatlantirsa, V chiziqli fazoda skalyar ko‘paytma aniqlangan deyiladi:
   

1. 
   (x, y) = (y, x);
   
2. 
   (Ax, y) = A( x, y);
   
3. 
   (x + *2, y) = (xi, y) + (*2, y);
   
4. 
   (x, x) > 0, (x, x) = 0 » x = 0.
   

Skalyar ko‘paytma aniqlangan chiziqli fazo Yevklid fazosi deb ataladi.
Misol 24.1. a) V fazo sifatida elementar geometriyada o‘rganiladigan uch o‘lchamli fazoni olaylik. Vektorlarning skalyar ko‘paytmasini ularning uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinusi ko‘paytmasi sifatida aniqlaymiz, ya’ni;
(x,y) =| x | • | y |-cosa.
Bu aniqlangan ko‘paytma 1) - 4) aksiomalarni qanoatlantiradi.

2. 
   V fazo sifatida n ta haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan x = (£j ,^₂ ,...,#„) ko‘rinishidagi elementlar to‘plamni olaylik. Ma’lumki, vektorlarni qo‘shish va songa ko‘paytirish quyidagicha aniqlanadi:
   

x + У = (£ +Ti,^2 + %,•••,£. +Пп ), 4x = (Л4₁,Л4₂,:;А4_п ), bu yerda у = (^^•••fa )•

Endi x = (^i,^2,...,#n) va у = (fa,fa,,-,fan) vektorlar uchun
quyidagi ko‘paytmani qaraymiz;
⁽x у⁾ = ZiVi +Z2V2 + •••+£д,
Bunday aniqlangan ko‘paytma ham 1) - 4) aksiomalarini qanoat- lantiradi, ya’ni skalyar ko‘paytma bo‘ladi.

2. 
   darajasi n dan oshmaydigan haqiqiy koeffitsientli ко'phadlar fazosi Р_п(Щ ni qaraymiz. f(x),g(x)eP_n(x) ko'phadlarning uchun aniqlangan quyidagi ko‘paytma;