Algebra va sonlar nazariyasi

^A(£ei +^£2^e2 + ••• + ^£en ^,Vi^ei + V2^e2 + ••• + Vn^en ⁾ =
+£li A(e, e-) + £iV2 A(e, e2) + ••• + A(e, e„ ) + +£hA(e₂, e-) + Afe, e2) + ••• + ZlAe, e_n ) +
+^£nVl^A(en ^{, e}i ⁾ + ^£nl2 ^A(en ^{, e}2 ⁾ + ••• + ^£nln^A(en ^{, e}n ⁾ .
yoki qisqacha:
n
^A( x y⁾ = Z ^A(ei^{, e}j ^£lj •
ⁱJ'=¹
A(e_t,e.) o‘zgarmaslarni a . kabi belgilasak, n o‘lchamli fazodagi xar qanday bichiziqli forma berilgan e, e₂, •••, e bazisda
n
^A( x У⁾ = Z ^ai, j^£lj

1. 
   J=^T
   

ko‘rinishida yozilishini hosil qilamiz, bu yerda £, £, •••, £ va l, i₂, •••, i sonlar mos ravishda x va у vektorlarning shu bazisdagi koordinatalari.
Ma’lumki, a_tJ sonlar bazisning tanlab olinishigagina bog‘liq bo‘lib,

A =

a , a - ... a
у n,1 n,2 n,n у
matritsa A(x, y) bichiziqli formaning e, e, —, e bazisdagi matritsasi deyiladi.
Shunday qilib, ixtiyoriy A(x, y) bichiziqli forma berilgan bazisda A = (a,. .) matritsa bilan aniqlanadi.
Endi bazis o‘zgarganda bichiziqli forma matritsasining o‘zgarishini ko‘rib chiqamiz. Bizga n o‘lchamli fazoda ikkita

5. 
   e, . ., e va f, f, ..., f„ bazislar berilgan bo‘lsin. A(x,y) bichiziqli formaning e, e,..., e bazisdagi matritsasini A = (a,..) va
   
6. 
   f,..., f bazisdagi matritsasi esa 5 = (b .) kabi belgilaylik. Bundan tashqari, e, e,-., e bazisdan f, f,..., f bazisga o‘tish matritsasi
   

С =


c , c ₉ ... c
\ n,1 n,2 n,n у


bo‘lsin, ya’ni


^f1 = ^ci,i^ei + ^c2,i^e2 + ... + ^cn,i^en^{, f}2 = ^ci,2^ei + ^c2,2^e2 + ... + ^cn,2^en,
fn = ^ci,n^ei + ^c2,n^e2 + ... + ^cn,n^en ^,

4. 
   teorema. Agar A va В matritsalar A(x,y) bichiziqli formaning mos ravishda e, e₂, . ., e va f, f,..., f bazislardagi matritsalari bo‘lib, e, e,-., e bazisdan f, f,..., f bazisga o‘tish matritsasi С bo‘lsa, u holda
   

В = C^rAC
167

bo‘ladi, bu yerda, C^T matritsa C matritsaning transponirlangan matritsasi.

Isbot. Ta’rifga ko‘ra b_tj = A(f, f) ekanligi ma’lum. Endi
^f = ^ciA + ^c2,i^e2 + - + ^cni^en^,
fj = ^ci, J^ei + ^c2, j^e2 + - + ^cn, /n
tenglikdan foydalanib,
f n n Л


У ^cp,i^ep , У ^cqj^eq
V p⁼¹ «⁼¹


= У ^cp,.^j^A(ep , ^eq ⁾ =У ^cp,£q,_j^ap,q
p^,q=¹ p^,q=¹
formulani hosil qilamiz.
Bu tenglikni matritsa shaklida yozish uchun c' = deb
delgilash kiritamiz. Natijada, c' lar C^T matritsaning elementlaridan
iborat bo‘ladi. Demak,


. a c ..
"^,p p^,q q^,i


b.. = У c'
hj Z—i i, i
p^,q=¹
Matritsa shaklida esa, bu tenglik B = C^TAC ko‘rinishiga keladi.
□
Endi biz kvadratik forma ta’rifmi keltiramiz. Bizga A(x,y) simmetrik bichiziqli forma berilgan bo‘lsin.

4. 
   ta’rif. Simmetrik bichiziqli formada y = x deb olganda hosil bo‘ladigan A( x, x) funksiyaga kvadratik forma deyiladi.
   

A(x, y) simmetrik bichiziqli forma A(x, x) kvadratik formaga nisbatan qutbiy bichiziqli forma deyiladi.

4. 
   teorema. A( x, y) qutbiy forma o‘zining A( x, x) kvadratik formasi bilan bir qiymatli aniqlanadi.
   

Isbot. Bichiziqli forma ta’rifidan osongina ko‘rish mumkinki,
A( x + y, x + y) = A( x, x) + A(x, y) + A( y, x) + A( y, y).
A( x, y) = A( y, x) ekanligidan

^{A( x},^y)=^{1 [} A( ^x+^y,^x+^y)^{- A( x},^{x) - A( y},^y)]

tenglikni hosil qilamiz.
Bu tenglikning o‘ng tomonida faqat kvadratik formaning qiymatlari ishtirok etganligi uchun, A( x, y) bichiziqli forma o‘zining kvadratik formasi bilan aniqlanishi kelib chiqadi. □
Yuqorida biz ixtiyoriy A( x, у) bichiziqli forma x va у vektorlarning koordinatalari orqali