Algebra va sonlar nazariyasi

A(4f (t)) = (s)ds = (s)ds = AAf (t )•
Endi chiziqli almashtirishlar ichida alohida ro‘l o‘ynovchi quyidagi 2 ta sodda almashtirishlarni keltiramiz. Ixtiyoriy vektorga shu vektorning o‘zini mos qo‘yuvchi E almashtirish, birlik almashtirish deyiladi, ya’ni
Ex = x.
Ixtiyoriy x vektorga nol vektorni mos qo‘yuvchi 0 almashtirish nol almashtirish deyiladi, ya’ni
0( x) = 0^
n o‘lchamli V chiziqli fazoda A chiziqli almashtirish berilgan bo‘lib, e, e, •••, e chiziqli fazo bazisi bo‘lsin.

2. 
   tasdiq. Berilgan g, g₂, •••, g vektorlar uchun
   

^Aei = g^ ^Ae2 = g2^, •••^{, Ae}n = gn
shartni qanoatlantiruvchi A chiziqli almashtirish mavjud va yagona.
Isbot. Dastlab, A chiziqli almashtirish Ae_x, Ae₂,•••, Ae_n vektorlar orqali bir qiymatli aniqlanishini ko‘rsatamiz. Haqiqatdan ham, V fazodan olingan ixtiyoriy
x = + £e + ••• + £ e
~1 1 ~2 2 ^n n
vektor uchun
^Ax = ^A(£ei + ^£2^e2 + ••• + ^£en⁾ = ^£1^Aei + ^£2 ^Ae2 + ••• + ^£Aen
bo‘ladi. Demak, Ax vektor g, g₂, •••, g vektorlar orqali bir qiymatli aniqlanadi.
Endi xar qanday g, g, •••, g vektorlar uchun Ae = g tenglikni qanoatlantiradigan A chiziqli almashtirish mavjudligini ko‘rsatamiz.


187

Buning uchun ixtiyoriy x = ^e_x +£₂ e₂ +... + ^_и e vektorga Eg + ^₂g₂ +... + E„g„ vektorni mos qilib qo‘yamiz. x vektor e bazis vektorlar orqali bir qiymatli ifoda etilgani uchun, unga muayyan bir Ax vektor mos qo‘yiladi. Bunday aniqlangan akslantirish chiziqli almashtirish bo‘ladi. □

Chiziqli almashtirishlar va matritsalar orasidagi bog‘lanishni aniqlaymiz. Yuqoridagi tasdiqdan ixtiyoriy g, g₂,..., g_n vektorlar uchun Ae = g, Ae₂ = g,..., Ae_n = g shartni qanoatlantiruvchi chiziqli almashtirish yagona ravishda aniqlanishiga ega bo‘ldik. g vektorning e, e₂,..., e bazisdagi koordinatalarini a_1k, a_2k,..., a_nk orqali belgilaylik, ya’ni
n
gk = ^Aek =Z a k^e,.
i=1
Ushbu a_ik koeffitsientlar orqali (a_{i k}) matritsani hosil qilamiz. Hosil qilingan matritsa A chiziqli almashtirishning ej,e₂,..., e bazisdagi matritsasi deb aytiladi.
Shunday qilib, berilgan e, e₂,..., e bazisda xar bir A chiziqli almashtirishga (a_ik) matritsa bir qiymatli mos qo‘yilishiga ega bo‘ldik. Demak, chiziqli almashtirishlarni matritsalar yordamida tasvirlash mumkin. Lekin ushbu matritsa bazisga bog‘liq ekanligini, bazis o‘zgarganda esa matritsaning ham o‘zgarishini ta’kidlab o‘tish joiz.
Misol 28.2. Aytaylik, V = M³ uch o‘lchamli Yevklid fazosi bo‘lsin. A chiziqli almashtirish sifatida x vektorni OXY tekisligiga proeksiyalashdan iborat bo‘lgan akslantirishni olamiz. Bazis sifatida koordinatalar o‘qlari bo‘yicha yo‘nalgan birlik e, e₂, e vektorlarni qabul qilamiz. U holda
Ae = e, Ae₂ = e₂, Ae₃ = 0, ya’ni, bu bazisda A almashtirishning matritsasi

' 1 0 0^л

1. 
   1 0
   

v^{0 0} °,
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Endi chiziqli almashtirishlar ustida amallarni aniqlaymiz. Chiziqli almashtirishlar ustida qo‘shish, songa ko‘paytirish va ko‘paytirish amallarini aniqlash mumkin.

3. 
   ta’rif. A va B chiziqli almashtirishlar yig‘indisi deb, x vektorga Ax + Bx vektorni mos qo‘yuvchi C almashtirishga aytiladi. Boshqacha aytganda, C = A + B ifoda xar qanday x uchun Cx = Ax + Bx ekanligini bildiradi.
   

Aytaylik, A va B chiziqli almashtirishlar e, e₂,..., e bazisda mos ravishda (a _k) va (b_ik) matritsalarga ega bo‘lsin. U holda C = A + B chiziqli almashtirishning matritsasini topish uchun e, e₂,..., e bazis elementlarning ushbu almashtirishdagi qiymatlarini qaraymiz, ya’ni
n
^Cek=^Aek+^Bek =Z ^(a,,k +^b,, к^)e,.
i=1
Bu esa C chiziqli almashtirishning e, e₂,..., e bazisdagi (c_k) matritsasi uchun c_ik = a_ik + b_ik tenglik bajarilishini anglatadi.
Shunday qilib, A va B chiziqli almashtirishlar yig‘indisining berilgan bazisdagi matritsasi chiziqli almashtirishlarning shu bazisdagi matritsalari yig‘indisiga teng ekanligini ko‘rsatdik.

4. 
   ta’rif. A chiziqli almashtirishning X soniga ko‘paytmasi deb, x vektorga XAx vektorni mos qo‘yuvchi C = XA almashtirishga aytiladi, ya’ni (XA) x = X(Ax).