Algebra va sonlar nazariyasi

z


2


I.


21

Kvadrat ildizdan chiqarib,

-^2 (^{a +} ^^a2 + ^b ),


u = a + V a
v = -a + Va² + b²)
u va v larni topamiz. (4.1) tenglamalar sistemasning ikkinchi tengligiga ko‘ra uv ko‘paytmaning ishorasi b ning ishorasi bilan bir xil bo‘ladi, ya’ni agar b > 0 bo‘lsa, u va v lar bir vaqtning o‘zida musbat yoki manfiy ishorali, agar b < 0 bo‘lsa, u va v lar turli ishorali bo‘ladi. □
Shunday qilib, ixtiyoriy kompleks sonnning ikkita kvadrat ildizi mavjud va ular bir-biridan ishorasi bilan farq qiluvchi sonlar bo‘ladi. Xususan, manfiy haqiqiy sonlardan ham kvadrat ildiz chiqarish mumkin. Haqiqatan ham, agar a < 0 va b = 0 bo‘lsa, u holda
Va² + b² =-a (bu ildiz musbat) va u² = 1 (a - a) = 0, ya’ni u = 0
bo‘ladi. Demak, VU = —4~a ■ i bo‘ladi.
Misol 4.1. z = -35 - Hi kompleks sonning kvadrat ildizlarini toping. Bu yerda a = -35, b = -12 ekanligi uchun
Va² + b² =V1225 +144 = V1369 = 37.


Shuning uchun


u² =¹ (35 + 37) = 36,


v


2
=¹ (-35 + 37) = 1.


2
Demak, u = —6, v = — 1, xamda b < 0 bo‘lganligi sababli, u va v laming ishoralari turli xil bo‘ladi, shuning uchun
J-35 - 12i = —(6 - i).
Misol 4.2. (2 + 4i) z² + 2z + 6 - 6i = 0 kvadrat tenglamani kompleks sonlar maydonida yeching.

Kvadrat tenglamaning diskriminanti D = 2л/-35 — j 2i = 2(6 - i) bo‘lib,

-2-2(6-ij -7 + i 2-4i -Ю + 30i -Ю + 30i I 3. ^zj = 2(2 + 4ij = 2 + 4i' 2 - 4i ^_ 4 + ^ = 20 = 2 + 2^Л -2 + 2 (6 - i j 5 - i 2 - 4i 6 - 22i 6 - 22i _3_П. ^z2 = 2(2 + 4i j = 2 + 4i' 2 - 4i ^_ 4 + ^ = 20 = Ю Ю ^

5. 
   - §. Kompleks sonlarning geometrik tasviri va trigonometrik shakli
   

Ma’lumki, haqiqiy sonlar to‘plaminining geometrik talqini to‘g‘ri chiziqdan iborat bo‘ladi. Ya’ni, haqiqiy sonlar to‘plami bilan to'g'ri chiziq o'rtasida o'zaro bir qiymatli moslik mavjud. Shuning ushun К to'plamni to'ri chiziq deb qarashimiz mumkin. Bundan esa, M² to'plamni tekislik deb qarash mumkinligi kelib chiqadi.
Kompleks sonlar to'plain i bilan M² to'plain orasida bir qiymatli moslik mavjudligini hisobga olsak, kompleks sonlar to‘plamining geometrik talqini tekislikdan iborat bo‘lishini payqash qiyin emas.
Kompleks sonlar mos qo‘yilgan tekislik kompleks tekislik deyilib, kompleks tekislikning abssissa o‘qi nuqtalariga haqiqiy sonlar, ordinata o‘qi nuqtalariga esa sof mavhum sonlar mos keladi. Shuning uchun kompleks tekislikning abssissa o‘qiga haqiqiy o‘q, ordinata o‘qiga esa mavhum o‘q deyiladi. Demak, z = a + ib kompleks sonning kompleks tekislikdagi o‘rni quyidagi shaklda tasvirlanadi:





23

Tekislikdagi z nuqta bilan koordinatalar boshini tutashtiruvchi kesma uzunligini r orqali, bu kesmaning OX o‘qi bilan soat strelkasiga qarama-qarshi yo‘nalishda hosil qilgan burchagini ф orqali belgilaymiz.

Endi z = a + ib kompleks sonning trigonometrik shaklini ifodalaymiz. 2-chizmadagi to‘g‘ri burchakli uchburchakdan Pifagor teoremasiga asosan


= 4 a² + b² (5.1)


tenglik kelib chiqadi. Burchak kosinusi, sinusi va tangenslarining ta’rifidan ф burchak aniqlanadi:


yoki


a ■ b
cosф = —, sinф = — (5.2)
r r


tg& = ^b. (5.3)
a


r


Kesma uzunligi r ga kompleks sonning moduli deyiladi va | z \
orqali belgilanadi. Ya’ni, \ z \= r =4a² + b².
Kompleks sonning argumenti deb, ф burchakka aytiladi va argz orqali belgilanadi. (5.2) tengliklardan a va b larni topamiz:




a = rсоБф, b = rsiny.
Ushbu tengliklarni kompleks sonning algebraik shakliga qo‘ysak,
z = r(cosy + i sin ф) (5.4)
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikka z kompleks sonning trigonometrik shakli deyiladi.
Tabiiyki, kompleks son qo‘shmasining trigonometrik shakli: z = r(cos ф - i sin ф) = r(cos(-y) + i sin(-y))
bo‘ladi.

1. 
   teorema. Trigonometrik shaklda berilgan ikkita kompleks sonlar ko‘paytmasining moduli, ko‘paytuvchilar modullarining ko‘paytmasiga, argumenti esa ko‘paytuvchilar argumentlarining yig‘indisiga teng, ya’ni
   

\aP\=\aV\P\, arg(a ■ P) = arga + argP.
Isbot. Bizga a = r(cosф + isinф) va P = p(cos/ + i sin/) kompleks sonlari berilgan bo‘lsin. U holda
a ■ P = г(^ф + i sin ф)р(^ / + i sin /) = = r ■ p(cos ф ■ cos/- sinф■ sin / + /(sin ф ■ cos/ + ^ф^ sin /)) = = r ■ р(^(ф + /) + i sin^ + /)).
Demak,
aP\ = p^r = \a\^\P\ va axg(a^P) = ф + / = arga + argP bo‘ladi.
Bu teoremadan bevosita quyidagi natijani hosil qilamiz.

2. 
   natija. Bir nechta a_x,a₂,...,a_n sonlar ko‘paytmasining moduli
   

\^a1 ■ ^a2 ■ ... ■^aJ=l^aJ' I ^a2 I *... I ^a„\
va argumenti
arg(a₁ ■ a₂ ■... ■a_n) = arga^ + arga₂ +... + arga_n
bo‘ladi.
Misol 5.1. a = 1 - i kompleks sonini trigonometrik shaklga keltiring. a = 1, b = -1 ekanligidan r = V1 +1 =42, hamda


25

cos p = —j=, sinp = J=,

V2 V2


7—


tengliklardan p = — ga ega bo‘lamiz. Natijada
/—( 7— ,7—| a = V21 cos + isin— I.


I— — —
Misol 5.2. a = j - i va / = V2(cos—h i cos—) kompleks


sonlarning ko‘paytmasini toping. a = y[l[ cos-—+ isin—— | ekanli-


7— . 7—
tmasini toping. a = V21 cos
gini hisobga oslak,
a-/ = л/2⁽cos ⁷— + i sin— V2(cos ^— + i cos ^—) =
^ 4 4 J 8 8
j5— . j5—

2. 
   cos + i sin
   

6. 
   - §. Muavr formulasi, kompleks sondan ildiz chiqarish. Birning ildizlari
   

Ushbu paragrafda trigonometrik shaklda berilgan kompleks sondan n darajali ildiz chiqarish formulasini keltiramiz. Bizga
a = r(cosp + isinp)
ko‘rinishidagi kompleks son berilgan bo‘lsin.

1. 
   tasdiq (Muavr formulasi). Har qanday n e Z butun son uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:
   

aⁿ = rⁿ (cos np + i sin np), (6.1)
ya’ni, | aⁿ |=| a |ⁿ, arg(aⁿ) = nargp.
Isbot. 5.2-natijada
= r, = ... = ^rn = ^r, p = P2 = ... = Pn =p
deb olsak, (6.1) formulaning natural sonlar uchun o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.




Endi ushbu formulani manfiy butun sonlar uchun o‘rinli
ekanligini ko‘rsatamiz.

• 
  _j ! j cosp- i sinp
  

a =- = - -


a r(cosp + isinpj cosp-isinp


cos p - г sin p


=r ^:(cosp-isinp) = r ^:(cos(-p) + isin(-p))


r(cos² p + sin² p)
tenglik formulani n = -1 da o‘rinli ekanligini ko‘rsatadi.
Endi ixtiyoriy n manfiy butun son uchun n = -m, m e N deb
olib,
(r(cos p + i sin p))ⁿ = (r(cos p + i sin p))^-m =
= ((r(cos p + i sin p))^- )^m = (r^- (cos(-p) + i sin(-p)))^m =
= r ~^m (cos(-mp) + i sin(-mp)) = r" (cos(np) + i sin(np)), ya’ni (6.1) tenglik manfiy butun sonlar uchun ham o‘rinli.
Misol 6.1. Muavr formulasi yordamida (! - i)^j0 ifodani soddalashtiring.


(j - i)^j0 =


/—( — . —
V21 cos —7- + i sin——
32


= 2⁵1 cos^¹- + i sin


35— . 35—


44


cos j6— + + isin j6— +
_v V 2 J V 2
32 ( cos-3^— + i sin = 32 - (-i) = —32i.

2. 
   natija. Ikkita kompleks son nisbatining moduli modullar nisbatiga, argumenti esa argumentlar ayirmasiga teng.