Algebra va sonlar nazariyasi

sign(i_x, i₂,...,i_n ) = (-\y^kv(гl,г2,...^,гk) miqdorga aytiladi. Ma’lumki, o‘rin almashtirishning signaturasi uning toq va juftligiga qarab, -1 yoki 1 ga teng bo‘ladi.

6. 
   teorema. O‘rin almashtirishda har qanday bajarilgan transpozitsiya uning toq-juftligini o‘zgartiradi.
   

Isbot. Dastlab, transpozitsiyalanayotgan i va j sonlar yonma- yon turgan holni ko‘raylik, ya’ni
( ^k1,..., ^k_s_1, i*, ^j, ^k_s+2,..., ^kn ^{) va} ( ^k1,..., ^ks-1,^j,ⁱ, ^ks+2,..., ^kn ⁾
ko‘rinishidagi o‘rin almashtirishlarni qaraymiz. Ma’lumki, bu o‘rin almashtirishlarning inversiyalar soni faqat i va j qa bog‘liq holda farqlanadi. Ya’ni agar i > j bo‘lsa birinchi o‘rin almashtirishning inversiyalar soni ikkinchisidan bittaga ortiq, aks holda bittaga kam bo‘ladi. Ya’ni, transpozitsiyalangandan so‘ng o‘rin almashtirishning toq-juftligini o‘zgaradi.
Endi umumiy holni, transpozitsiyalanayotgan i va j sonlar orasida k₁,k₂,...,k_s -s ta son joylashgan holni qaraymiz
(...,i,k1,k₂,...,k_s, j,...).
Bu o‘rin almashtirishda i ni j dan keyingi o‘ringa joylashtirish uchun s +1 ta transpozitsiya bajarib, o‘rin almashtirishni (..., k,k,. .,k, j,i,...) ko‘rinishga keltiramiz. Endi j ni k dan oldin joylashtirish uchun s ta transpozitsiya bajarishimiz kerak va o‘rin almashtirish (..., j,k₁,k₂,...,k_s,i,...) ko‘rinishiga keladi. Demak, 2s +1 ta transpozitsiya bajarildi. Natijada birinchi o‘rin almashtirish bilan




hosil bo‘lgan ikkinchi o‘rin almashtirishlarning inversiyasi toq son martaga o‘zgaradi. Demak, birinchi o‘rin almashtirishning inversiyasi toq bo‘lsa, transpozitsiyalash natijasida juft o‘rin almashtirishga va aksincha, juft bo‘lsa, toq o‘rin almashtirishga o‘tadi.
Ushbu teoremadan quyidagi natijaga ega bo‘lamiz.

7. 
   natija. n > 2 bo‘lganda n ta simvoldan tuzilgan juft o‘rin
   

n!
almashtirishlar soni toq o‘rin almashtirishlar soniga, ya’ni — ga teng.
Endi biz o‘miga qo‘yish tushunchasi va uning xossalarini o‘rganamiz. Bizga A = {1.2...../?} birinchi n ta natural sondan iborat to‘plam berilgan bo‘lsin.

8. 
   ta’rif. A to‘plamning o‘zini o‘ziga akslantiruvchi o‘zaro bir qiymatli akslantirishga n-darajali о ‘rniga qo ‘yish deyiladi.
   

A = {1,2,...,/?} to‘plamda aniqlangan barcha f:A^>A biyektiv akslantirishlarni quyidagi ustun shaklida yozib chiqamiz:
1 2 ... n f: i i ... i f (1) f (2) ... f (n)
Agar f(1) = a_x,f(2) = a₂,...,f(n) = a_n deb olsak, a_x,a₂,...,a_n o‘rin almashtirish bo‘lib, bu moslikni quyidagi sxema yordamida tasvirlab olamiz:
(1 2 ... n \ f = .
{?1 ^a2 ... ^an)
Demak, bu n -darajali o‘rniga qo‘yish bo‘ladi.
Misol 7.3. n = 4 da f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 4, f (4) = 1 bo‘lsa, bu to‘rtinchi tartibli o‘rniga qo‘yish quyidagicha yoziladi:
(1 2 3 4')
f = . ^f t² 3 ^{4 1}J
Sxemadan ko‘rinib turibdiki, xar bir o‘rniga qo‘yishlarga aniq bir o‘rin almashtirish mos qo‘yiladi. Demak, o‘rin almashtirishlar uchun kiritilgan tushunchalar va xossalar to‘g‘ridan-to‘g‘ri o‘rniga


35

qo‘yishlar uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Masalan, hamma o‘rniga qo‘yishlar soni n! ta bo‘ladi.

Bundan tashqari, tuzilgan sxema orqali akslantirishlarning kompozitsiyasini quyidagicha tasvirlaymiz:
Agar f'.A^-A va g:A—>A bo‘lsa, u holda ularning g°f:A^>A kompozitsiyasi quyidagicha sxema ko‘rinishida ifodalanadi:


j 2 ... n f: i i ... i
f (j) f (2) ... f (n)
Demak,

2. 
   2 gof_: I I
   

g(/(l)) g(/( 2)) Shunday qilib, ushbu sxemadan (f (j) f (2) ... f (n)
g (f(j)) g (f (2)) ... g (f (n))
( j 2


:(f(j)) g (f(2))

3. 
   .
   

1. 
   .
   

g(j g (2) .
... n ... i
... g^(f(n))


j 2 f(j) f(2)
n ^ g( f(n))


n
i
g(n)


f(n)
>/


hosil bo‘ladi.


Misol 7.4. n = 4 da f =


2
j


va g =


o‘rin almashtirishlarning quyidagicha:


ko‘paytmasini


r \
4
ч
sxematik


2
3


ko‘rinishi


j 2 3 4
>/: 2 1 4 3
^J I I I I

4. 
   4 j 2.
   

Algebraik ifodasi esa
(\ 2 3 4Vl 2 3
g°f =


4 3 2 1

2. 
   j 4 3
   

J V^{2 j 43} J V


(j 2 3 4^
3 4 j 2


bo‘ladi.

n -darajali o‘rniga qo‘yishning barcha simvollari o‘z o‘rnida

qoladigan bo‘lsa, bunday o‘rniga qo‘yishga aynan o‘rniga qo‘yish
deyiladi, ya’ni:
(1 2 ... i
t^{1 2} -
o‘rniga qo‘yishga teskari f^- o‘rniga


f = qo‘yish


(1


n


E =
\


\^a1 ^a2


f^-1 =


1


^an
n


shaklda bo‘ladi. Quyidagi tenglik o‘rinli ekanini tekshirib ko‘rish
qiyin emas:

2. 
   f¹ 2
   fof-^l=f-^lof = E =
   

1 2


J


Ta’kidlash joizki,

1. 
   2 ... n f: i i ... i f(1) f(2) ... f(n) qoidani qaysi tartibda yozilishi ahamiyatga ega emas, shuning uchun f ¹ o‘rniga qo‘yishning ustunlari bo‘yicha shunday joylashtiramizki, uni birinchi satrida tartiblangan 1,2,..., n o‘rin almashtirish joylashtiriladi.
   

Misol 7.7.


f =

12. 
    3 4
    

2. 
   14 2
   

bo‘lsa,


f^-1 =


t¹ 3 ^{2 4}


t^{2 4 1 3} J


bo‘ladi.


Ravshanki, n -darajali o‘rniga qo‘yishlarni ko‘paytirish assosiativlik qoidasiga bo‘ysunadi, ya’ni Vf g, h o‘rniga qo‘yishlar uchun


37

	'1 2 3 4^		'1 2	3 4'
Misol 7.8. f =		, g =
	2 4 3		v^1^3	^4 2j

o rniga


qo‘yishlar berilgan bo‘lsa, u holda
(\ 2 3 4^|
f°g =


_v4 1 2 3_y


’/ =


'\ 2 3 4^Л ,3 4 2 1,


Bundan f°g^g°f ekanligi kelib chiqadi.

8. 
   - §. Matritsalar va ular ustida amallar
   

1. 
   ta’rif. m ta satr va n ta ustundan iborat bo‘lgan quyidagi to‘rtburchakli jadvalga
   

A =


a , a ,
у m,1 m,2


(8.1)


matritsa deyiladi.
Odatda A matritsani quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin:


A = (a ,■), i = 1,m, j = 1,n.


(8.2)


Bu yerda a_tj sonlar matritsaning elementlari deb ataladi. Agar
a_i . e R (a_i . e C) bo‘lsa A matritsa haqiqiy (kompleks) elementli
matritsa deyiladi.
Satrlari soni ustunlari soniga teng bo‘lgan, ya’ni m = n bo‘lgan matritsa n-tartibli kvadrat matritsa deb ataladi. m ta satr va и ta ustundan iborat barcha matritsalar to‘plamini M_mn(K) orqali belgilanadi, bu yerda matritsa elementlari haqiqiy yoki kompleks bo‘lishiga qarab, K = R yoki K = C bo‘ladi. Barcha w-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami esa MJ¥) orqali belgilanadi.




Mos satr va ustun elementlari teng bo‘lgan bir hil tartibli matritsalar teng matritsalar deyiladi.

2. 
   ta’rif. Berilgan A matritsaning satrlarini ustunlari, ustunlarini satrlari bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan matritsa A matritsaga transponirlangan matritsa deyiladi va A^T kabi belgilanadi, ya’ni
   

A =


a , a ,
V m,j m,2


bo‘lsa, A^T =


a a.
j,n 2,n


... a„


... a„


... a


Endi matritsalar ustida amallarni aniqlaymiz. Matritsalarni qo‘shish amali bir hil tartibli matritsalar uchun aniqlanadi.

3. 
   ta’rif. A,B eM_mn(K) matritsalaming yig‘indisi deb, bu matritsalarning mos satr va ustun elementlarini qo‘shish natijasida hosil bo‘lgan m x n-tartibli matritsasiga aytiladi. Agar
   

A=


a


a


тД m,2
ko‘rinishda bo‘lsa, u holda


( b


B =


\,n


^Ь2Д ^b2,2


bb
m,j m,2


A + B =


^au + ^b_u ^a2,j + ^b2,j


^aj,2 + ^bl,2 a 2 + b 2


a , + b i a , + b
m,j m,j m,2 m


j,n j,n
a + b,
2,n 2,n


m,n m,n


(8.3)

4. 
   xossa. Ixtiyoriy A,B,C ^M_mn(K) matritsalar uchun quyidagilar o‘rinli:
   

1. 
   A + B = B + A;
   
2. 
   (A + B) + С = A + (B + C).
   

39

	^/-а1Д	^-а1,2 •••		-а ^ 1,п
- A =	^-а2,1	^-а2,2 •••		-а 2,п
	v^-^ат,1	-а ••• т,2		-а т,и J
8.5-ta’rif. Ixtiyoriy Amn(K)			s t ‘С S
ko‘paytmasi deb quyidagi matritsaga aytiladi:
	^ Ла11	Ла12 •••		Ла Л 1,п
XA =	Ла21	Ла22 •••		^Ла2,п
	Лат, \ m,1	^Лат,2 •••		^Лат,п у

soniga


Endi matritsalarni ko‘paytirish amalini kiritamiz. Ikkita matritsaning ko‘paytmasi faqat birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchi matritsaning satrlari soniga teng bo‘lgan holdagina aniqlanadi.

6. 
   ta’ rif. A g M_{m n} (K) va В e M_{n s} (K) matritsalaming ko‘paytmasi deb, shunday A • B matritsaga aytiladiki, uning i - satr va j -ustunida turgan elementi A matritsaning i - satridagi va B matritsaning j -ustunidagi mos elementlari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng, ya’ni A • B matritsaning elementlari
   

а-Аj + ^а2^Ь2j + ••• + ^а_т^ь_щ> ¹ ^ⁱ ^ ^m, ¹ ^ j ^ ^s (8.4)
yig‘indidan iborat.
Berilgan ta’rifdan ko‘rinib turibdiki, А<ЕМ_тп(Ш) va
BeM_ns(K) matritsalarni ko‘paytirish natijasida hosil bo‘lgan A-В
matritsa m / s-tartibli matritsa bo‘ladi, ya’ni A ■ В .

6. 
   xossa. Ixtiyoriy X e IK. A va В matritsalar uchun quyidagilar o‘rinli:
   

1. 
   A- A = A• A;
   
2. 
   (A + f-i)- A = A • A + f • A;
   
3. 
   (A^ f)^ A = A • (f • A);
   
4. 
   1-A = A • 1 = A;
   
5. 
   A^ (A + () = A- A + A^B;
   
6. 
   A A>B = A^ (A • B) = A^ (A •B).
   

Quyidagi xossada matritsalarni ko‘paytirish amali assosiativlik qonuniga bo‘ysunishini ko‘rsatamiz. Ko‘paytmaning ta’rifidan ma’lumki, A, B va C matritsalar uchun (AB) C ko‘paytma ma’noga ega bo‘lishi uchin birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchi matritsaning satrlari soniga, ikkinchi matritsaning ustunlari soni esa uchunchi matritsaning satrlari soniga teng bo‘lishi kerak. Ushbu holatda A■ (BC) ko‘paytma ma’noga ega ekanligini ham ko‘rish qiyin emas.

6. 
   xossa. BeM_Bj(K) va С gM_s((K) matritsa­
   

lar uchun
(A B) C = A • (B C)
munosabat o‘rinlidir.
Isbot. Aytaylik, A = (a_tj), B = (b_t .) va C = (c .) bo‘lsin, u
holda
AB = U = (щ j), i = 1, m, j = 1, s;
^BC = V = ⁽v_hj^), i = 1, n, j = 1, t.
^(AB)C = ^p = ⁽Pi j X i = 1, m, j = 1, t;
^A(BC) = ^Q = ⁽q_i,j X i = 1, m, j = 1, t. ko‘rinishida yozib olamiz. Ta’rifdan quyidagi tengliklar kelib chiqadi:
n ^s
ui,l =S ^ai,k^bk,l, ^vk,j =^ ^bk,l^Cl,j . k=1 l=1
Natijada
P = UC, Q = AV
tengliklarga ko‘ra


41

Pi, j = lL^ui,fii, j =Z Z^ai,A ,i^ci , j^, l=1 l=1 k=1 n n s

q, j=Z ^a,k^vk, j=ZX ^aiA c, j. k =1 k =1 l=1
Demak, barcha i = j = 1, n lar uchun p . = q. . tenglik o‘rinli ekan, ya’ni
(A B) • C = A • (B C).
Misol 8.1. Quyidagi matritsalar berilgan bo‘lsin:


A =


( 2


-5


va


B =


U holda


A^B =


A + B =
( 2^3+3^6


(5 7 Л
v^{1 12};
2^4 + 3^5 Л (24 23']


-5 •3 + 7•6 -5•4 + 7•5


27 15


Matritsalami ko‘paytirish qoidasidan ma’lumki, A^M_mn(K), BeM_ns(K) bo‘lib, m^s bo‘lsa, u holda A-В ko‘paytmani aniqlash mumkin, lekin B^A ko‘paytmani aniqlab bo‘lmaydi. Agar m = s фn bo‘lsa, A ■ H va H ■ A ko‘paytmalar aniqlanadi, lekin ulaming tartiblari xar hil, ya’ni A ■ В eM_{m s}(IK), В ■ A eM_{n n}(K) bo‘lganligi uchun ular teng bo‘lmaydi. m = s = n bo‘lgan holda A^B va B^A matritsalar bir hil tartibli bo‘lishiga qaramasdan, umuman olganda ular teng bo‘lishi shart emas.


Misol 8.2. Bizga A = berilgan bo‘lsin.


( 2 -5


va B =


( 3 4 ) 6 5


matritsalar


A^B =


( 2^3 + 3^6 2^4 + 3^5 ) (24 23^


_v-5^3+7•6 -5•4+7^5;


27 15

B • A =

(3 • 2 + 4 • (-5) 3 • 3 + 4 • 7 ^ (-14 37^

6. 
   • 2 + 5 • (-5) 6 • 3 + 5 • 7
   

Demak, matritsalarni ko‘paytirish amali kommutativ emas, ya’ni A-В ^B■ A.
Endi A,BeM_mn(К), СёМ_ь(К) matritsalar uchun kiritilgan qo‘shish va ko‘paytirish amallarini bog‘lovchi distributivlik shartini o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz.

6. 
   xossa. (( + ()• С = A • C + B • C.
   

Isbot. Haqiqatdan ham,
n n n n