Algebra va sonlar nazariyasi

f akslantirishning teskarisi deyiladi va g = f^-1 kabi belgilanadi. Teskarisi mavjud bo‘lgan akslantirishga teskarilanuvchi akslantirish deyiladi.

10. 
    teorema. Agar f akslantirishga teskari akslantirish mavjud bo‘lsa, u yagonadir.
    

Isbot. Faraz qilaylik, g va g' akslantirishlar f akslantirishning teskarisi bo‘lsin, ya’ni
g°f = e_A,f°g = e_B va fog' = e_A, g'°f = e_B.
U holda
g' = e_A°g' = (g⁰f)⁰g' = g⁰(f⁰g') = g°e_B=g-
□

11. 
    teorema. Agar f: A ^ B va g: B ^ A akslantirishlar uchun f = e_A tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda /-inyektiv, g- syurektiv akslantirishlar bo‘ladi.
    

Isbot. Haqiqatan ham, x, x₂ e A va f (xj) = f (x₂) bo‘lsin. U holda
*1 = Oi ) = (g°f)xi = g(/Oi)) = gif (x₂)) = (x₂) = x₂ ekanligi kelib chiqadi, demak, f - inyektiv.
Ixtiyoriy x g A element uchun
x = e_A (x) = (g о f)(x) = g(f(x)) ekanligidan esa g akslantirishning syuryektivligi kelib chiqadi. □

12. 
    teorema. Xar qanday biyektiv akslantirish teskarila- nuvchidir.
    

Isbot. Aytaylik, f: A ^ B biyektiv akslantirish bo‘lsin. U holda ihtiyoriy y e B uchun yagona x e A element topilib, f (x) = y bo‘ladi. g(y) = x ko‘rinishida aniqlangan g: B ^ A akslantirish f akslan-tirishga teskari akslantirish bo‘ladi. □

13. 
    natija. Biyektiv f akslantirishning teskarisi ham biyektiv
    

bo‘ladi va (f⁴)⁴ = f tenglik o‘rinlidir.

14. 
    natija. f:A^>B, g.B^C biyektiv akslantirishlaming g° f kompozitsiyasi ham biyektiv bo‘ladi va (g ° f) ' = / ¹ °g ¹.
    

17

2. 
   BOB. KOMPLEKS SONLAR
   

4. 
   - §. Kompleks sonlar va ular ustida amallar
   

Bizga M haqiqiy sonlar to‘plami berilgan bo‘lsin. C = MxM to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish amallarini quyidagicha aniqlaymiz:
(a, b) + (c, d) = (a + c,b + d),
(a,b)- (с, d) = (ac - bd, be + ad).
Ravshanki, С da aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari uchun quyidagi shartlar bajariladi:

1. 
   qo‘shishning kommutativligi: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b),
   
2. 
   qo‘shishning assotsiativligi:
   

[(a, b) + (c, d)] + (e,f) = (a, b) + [(c, d) + (e,f)],

3. 
   ko‘paytirishning kommutativligi (a, b) ■ (c, d) = (c, d) ■ (a, b),
   
4. 
   ko‘paytirishning assotsiativligi:
   

[(a,b) ■ (c, d)] ■ (e,f) = (a, b) ■ [(c, d) ■ (e,f )]■
Ushbu qonunning o‘rinli ekanligi quyidagi tengliklardan kelib chiqadi:
[(a, b) ■ (c, d)] ■ (e, f) = (ac - bd, ad + bc) ■ (e, f) =
= ace - bde - adf - bcf + acf - bdf + ade + bcf,
(a,b) ■ [(c, d) ■ (e, f)] = (a, b) ■ (ce - df, cf + de) =
= ace - bde - adf - bcf + acf - bdf + ade + bcf ■

5. 
   distributivlik qonuni:
   

[(a, b) + (c, d)] ■ (e,f) = (a, b) ■ (e,f) + (c, d) ■ (e, f);
Qo‘shish va ko‘paytirish amallarini bog‘lovchi ushbu distributivlik qonuni ham o‘rinli bo‘lishini tekshirish qiyin emas:
[(a,b) + (c, d)] ■ (e, f) = (a + c, b + d) ■ (e, f) =
= (ae + ce - bf - df, af + cf + be + de),
(a, b) ■ (e,f) + (c, d) ■ (e,f) = (ae - bf, af + be) + (ce - df, cf + df) =
= (ae + ce-bf -df,af + cf + be + de).
Ta’kidlash joizki, (0,0) element С to‘plamning trivial (nol) elementi, (1,0) element esa birlik elementi bo‘ladi, ya’ni:

(a, b) + (0,0) = (0,0) + (a, b) = (a, b), (a,b)-(\,0) = (\,0)-(a,b) = (a,b).

Ma’lumki, ixtiyoriy (a,b) С element qarama-qarshi (-a,—b) elementga ega.
Endi biz С to‘plamdagi ixtiyoriy noldan farqli (a,b) elementning teskarilanuvchi ekanligini ya’ni (a, b) ■ (x, y) = (1,0) tenglama yechimga ega ekanligini ko‘rsatamiz. Ushbu tenglamadan quyidagiga ega bo‘lamiz


Bu tenglikdan quyidagi ikki noma’lumli tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi
fax - by = 1,
^[bx + ay = 0^
Ma’lumki, bu sistema (a,b) Ф (0,0) bo‘lganda yechimga ega
a —b bo‘lib, x = — , y = — ekanligi kelib chiqadi.
a² + b a + b
Demak, (a,b) element uchun teskari element


ko‘rinishga ega bo‘ladi.

1. 
   ta’rif Qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallari aniqlangan С to‘plamga kompleks sonlar to ‘plami, uning elementlari esa kompleks sonlar deb ataladi.
   

Kompleks sonlar to‘plamining (a,0) ko‘rinishidagi elementlari to‘plamini Mj orqali belgilaymiz. С da kiritilgan qo‘shish va ко‘paytirish amallarini Mj daqaraymiz:


Ushbu tengliklardan ko‘rinadiki, Mj to‘plamdagi qo‘shish va ko‘paytirish amallari, haqiqiy sonlar to‘plamidagi amallar kabi aniqlanadi.


(ax - by, ay + by) = (1,0)





(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0), (^a, 0) • (c, 0) = (ac, 0).


19

Mj va M to‘plamlar orasida /((a,0)) = a kabi /:Mj—

moslik o‘rnatsak, yuqoridagi tengliklardan ushbu moslik ko‘paytma va yig‘indi amallarini saqlashi kelib chiqadi. Demak, (a,0) = a deb olish mumkin.
Agar (0,1) elementni i orqali belgilasak,
z² = (0,1) - (0,1) = (—1,0) = —1 bo‘ladi. Ushbu ;eC elementga mavhum birlik deyiladi. Ixtiyoriy (a,b) e С uchun
(a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (6,0)-(0,l) = a + bi tenglikni yozishimiz mumkin. Shunday qilib, С kompleks sonlar to‘plamining ixtiyoriy elementini z = a + bi shaklda yozish mumkin. Bu shaklga kompleks sonning algebraik shakli deyiladi.
Kompleks sonning algebraik shaklidagi a songa kompleks sonnning haqiqiy qismi deyiladi va Re(z) orqali belgilanadi. Undagi b soni esa z kompleks sonning mavhum qismi deyiladi va Im(z) orqali belgilanadi. Mavhum qismi nolga teng bo‘lgan kompleks sonlar haqiqiy sonlar bo‘lsa, haqiqiy qismi nol bo‘lgan kompleks sonlar mavhum kompleks sonlar deyiladi.
Ushbu z = a - bi kompleks soni z = a + bi kompleks soniga qo‘shma kompleks son deyiladi. Qo‘shma kompleks sonlar uchun z + z = (a + bi) + (a - bi) = 2a, z • z = (a + bi) • (a - bi) = a² + b² tengliklar o‘rinli, ya’ni kompleks sonning o‘z qo‘shmasiga yig‘indisi va ko‘paytmasi haqiqiy son bo‘ladi.

2. 
   xossa. Kompleks sonlarning qo‘shmasi quyidagi xossalarga
   

ega:

1. 
   z + z2 = zj + z2;
   
2. 
   zj -z2 = zj -z2;
   
3. 
   ^Z1 • ^z2 = ^z! • ^z2^;
   

d)

V ^z2 ]


Kompleks sonning teskarisini topishda uning qo‘shmasidan foydalanish juda qulay hisoblanadi:


\


j a - bi a - bi


a


b


a + bi a + bi a - bi a + b a + b a + b

3. 
   tasdiq. Bizga z = a + bi kompleks son berilgan bo‘lib, u + vi uning kvadrat ildizi bo‘lsin, u holda
   

u = ±,


v = ±.


!■ |-a + Va² + b² j.


Isbot. Aytaylik, -Ja + bi = u + vi bo‘lsin. U holda bu tenglikni ikkala tomonini kvadratga ko‘tarsak,
(u + vi)² = a + bi tenglikni hosil qilamiz. Bundan


( 2 2
u - v = a,


2uv = b.


(4.1)


tenglamalar sistemasi kelib chiqadi. Bu sistemadagi tenglamalarning har birining ikkala tomonini kvadratga ko‘tarib, so‘ngra ularni qo‘shsak, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
(u² - v²)² + 4u²v² = (u² + v²)² = a² + b².
So‘nggi tenglikdan u² + v² =*J a² + b² (ildiz musbat ishorali, chunki tenglikning chap tomoni musbat sondir). Bu tenglikdan va tenglamalar sistemasi birinchi tenglamasidan quyidagilarni hosil qilamiz:
u² = j^a Wa² + b² j, v² = — ^-a + Va² + b² j.