|
b, c, x, y, z kabi kichik harflar bilan belgilanadi. Agar x element A to‘plamga tegishli bo‘lsa, x e A kabi, aks holda, ya’ni tegishli bo‘lmasa x £ A kabi belgilanadi.
To‘plamni tashkil etuvchi elementlar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishiga qarab, to‘plam chekli yoki cheksiz to‘plam deyiladi. Chekli A to‘plamning elementlar soni | A | kabi belgilanadi.
Birorta ham elementga ega bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deyiladi va 0 kabi belgilanadi.
ta’rif. Agar A to‘plamning xar bir elementi B to‘plamga ham tegishli bo‘lsa, A to‘plam B to‘plamning qism to‘plami deyiladi va A с B bilan belgilanadi.
Ushbu ta’rifni qisqacha Vx e A ^ x e B tarzida ifodalash mumkin.
A to‘plamning elementlari B to‘plamga tegishli va aksincha, B to‘plamning elementlari A to‘plamga tegishli bo‘lsa, A va B to‘plamlar teng to‘plamlar deyiladi, ya’ni
A = B A с B va B с A.
Ta’kidlash joizki, bo‘sh to‘plam ixtiyoriy to‘plamga qism bo‘ladi va xar qanday to‘plam o‘z-o‘ziga qism to‘plam bo‘ladi, ya’ni
c A va A с A.
Agar A с B bo‘lib, A ^0 va A Ф B bo‘lsa, u holda, A to‘plamga B to‘plamning xos qism to‘plami deyiladi. 0 va A to‘plamlarga xosmas qism toplamlar deyiladi. Ma’lumki, bo‘sh to‘plam va bitta elementdan iborat to‘plam xos qism to‘plamlarga ega emas.
Elementlari to‘plamlardan tashkil topgan to‘plamlarga to‘plamlar sistemasi deyiladi.
Misol 1.1. Tekislikdagi barcha to‘g‘ri chiziqlar to‘plami to‘g‘ri chiziqlar sistemasi bo‘lib, to‘g‘ri chiziq o‘z navbatida nuqtalardan iborat bo‘lgan to‘plamdir.
ta’rif. A va B to‘plamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan to'plain A va В to'plain laming kesishmcisi deyiladi va AC\B kabi belgilanadi (l-chizma).
1 -chizma.
Misol 1.2. A - {0,1, 5, 7} va В = {-6, 0,1, 8} to'plamlar uchun А П В = {0,1} bo'ladi.
xossa. Ixtiyoriy A, B, C to‘plamlar uchun quyidagi munosabatlar o'rinli:
Af]A = A, Af]0 = 0f]A = 0;
Af]B = В П A (kommutativlik xossasi);
(А П В) П С = А П (В П C) (assotsiativlik xossasi);
7
Af)B <^A va A(\B c£;
Agar С c= A va С c= В bo‘lsa, u holda С c A fl-8.
ta’rif. A va В to‘plamlaming barcha elementlaridan tashkil
topgan to‘plam A va В to‘plamlaming birlashmasi deyiladi va A[jВ kabi belgilanadi (2-chizma).
AUB
2-chizma.
Misol 1.3. A - {0,1, 5, 7} va В = {-6, 0,1, 8} to‘plamlar uchun A{jB = {-6, 0,1, 5, 7,8}.
xossa. Ixtiyoriy A, B, C to‘plamlar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli:
A{JA = A, AU0 = 0UA;
A\JB = B\JA(kommutativlik xossasi);
(A U i?) U С = A U (B U C) (assotsiativlik xossasi);
A<^A{jBvaB<^A{jB;
Agar ^cC va5cC bo‘lsa, A\JB <^C bo‘ladi. To‘plamlarning kesishmasi va birlashmasi uchun yuqorida
keltirilgan 1.3 va 1.5 xossalaridan tashqari VA, B, C to‘plamlar uchun kesishma va yig‘indini bog‘lovchi quyidagi xossalar o‘rinli.
xossa.
^U(5nC) = (^U5)n(^UC);
^n(5Uc) = (^n5)U(^nc).
Isbot. Ushbu xossaning a) qismini isbotini keltirish bilan chegaralanamiz. Buning uchun, tenglikning chap tomoni o‘ng tomoniga va aksincha, o‘ng tomoni chap tomoniga qism ekanligini ko'rsatamiz:
VxGy4U(^nC)=>XGy4 yoki xgВПС, bundan x eВ va xeC hosil bo'ladi. Demak, x<=A\JB va xeAUC bo'lib, х<=(А{]В)Г\(А{]С) ekanligini hosil qilamiz.
Xuddi shu usulda o'ngdan chapga qarab, mulohaza yuritilsak:
^x<={A\jB)[\{A\jC)^>x<=A[}B va xgAIJC, bundan esa x g A yoki x g В va x g С hosil bo'ladi. Demak, x g A U (B f] C).
ta’rif. A to‘plamning B to‘plamga tegishli bo‘lmagan barcha elementlaridan tashkil topgan to‘plam A to‘plamdan B to‘plamning ayirmasi deyiladi va A \ B kabi belgilanadi (3-chizma)
3-chizma.
Misol 1.4. A = {0,1, 5, 7} va B = {-6, 0,1, 8} to‘plamlar uchun A\B = {5, 7} va B\A = {-6, 8}.
To‘plamlarning ayirmasi, kesishma va birlashma amallari bilan quyidagi xossa orqali bog‘langan.
1.8-xossa.
^\(5UC) = (^\5)n(^\C);
Л\(ЯПС) = (Л\Я)1104\С);
9
Agar B с A bo‘lsa, u holda A \ B ayirma B ning A gacha bo‘lgan to‘ldiruvchisi deb ham ataladi.
ta’rif. A va B to‘plamlarning simmetrik ayirmasi deb (A\B)\J(B\ A) to'plamga aytiladi va A A В kabi belgilanadi.
Quyida simmetrik ayirmaning asosiy xossalarini keltiramiz.
xossa.
A A B = B A A;
(AAB)AC = AA(BAC);
АП(ВАС) = (АПВ)А(АПС).
Muayyan vaziyatdan chiqish uchun biror U to‘plam (odatda U universal to‘plam deyiladi) olinib, uning qism to‘plamlari ustida amallar bajariladi.
ta’rif. Ushbu U\ A to‘plam A to‘plamni U to‘plamgacha
to‘ldiruvchi to‘plami deyiladi va A kabi yoziladi (4-chizma).
U
A = U \ A
4-chizma.
1.12-xossa.
A\SA = U\
АПА = 0;
A = A;
AU-B = AD\B (birlashmauchun de Morgan qonuni);
AP\B = A{JB (kesishmauchun de Morgan qonuni);
A\B = AV\B.
- §. Binar munosabatlar
Ikkita bo‘sh bo‘lmagan A va B to‘plamlar berilgan bo‘lsin. A to‘plamga tegishli bo‘lgan biror a elementni va B to‘plamga tegishli bo‘lgan biror b elementni olamiz. Birinchi elementi a, ikkinchi elementi b bo‘lgan tartiblangan (a,b) juftlikni hosil qilamiz.
Barcha (a, b) ko‘rinishdagi juftliklardan tashkil topgan {(a,b) | a e A, b e B} to‘plam A va B to‘plamlarning dekart (to‘g‘ri) ko'paytmasi deyiladi va Ax В kabi belgilanadi.
Misol 2.1. ^4 = i? = lR bo'lsa, M“=MxM dekart ko'paytma tekislikdagi barcha nuqtalar to‘plamidan iboratdir.
Misol 2.2. A = [0,1] va B = [1,2] segment nuqtalaridan iborat to‘plamlarni olaylik. Bu to‘plamlarning dekart ko‘paytmasi A x B = {(x, y) |0 < x < 1,1 < y < 2} to‘plam 5-chizmada tasvirlangan kvadrat nuqtalaridan iborat to‘plam bo‘ladi:
5-chizma.
Shuni ta’kidlash lozimki, ikkita (a,b) va (c, d) juftliklar a = c, va b = d bo‘lgandagina teng deb qaraladi.
Xuddi shunday bir nechta to‘plamlarning dekart ko‘paytmasini A x A x A x ■■■ x A kabi qarashimiz mumkin. Agar A = A = ■■■ = A„
11
bo‘lsa, u holda ularning dekart ko‘paytmasini qisqacha An = AxAx...xA shaklda yozish mumkin va uni n-darajali dekart ko‘paytma deb yuritiladi. An ning elementlari uzunligi n ga teng bo‘lgan (x,X,. .,X), X e A satrli elementdan iborat bo‘ladi.
ta’rif. AxB to‘plamning ixtiyoriy R qism to‘plami (R с A x B) A va B to‘plamlar orasidagi binar munosabat deyiladi.
Xususan, A = B bo‘lsa, R с A x A binar munosabat A da aniqlangan binar munosabat deyiladi. Binar munosabatlar, odatda R, P, Q kabi xarflar bilan belgilanadi.
Agar R с Ax A binar munosabat aniqlangan bo‘lib, (x, y) e R bo‘lsa, u holda x element y element bilan R munosabatda deyiladi va xRy kabi belgilanadi.
Misol 2.3. Haqiqiy sonlar to‘plami R da x = y tenglik munosabati binar munosabat bo‘ladi.
Misol 2.4. A = {2, 5, 4, 6} bo‘lsin, R = {(x,y) | x < y} to‘plam binar munosabat bo‘ladi. Ravshanki, bu holda
Do'stlaringiz bilan baham: |
