Algebra va sonlar nazariyasi

to‘ldiruvchisi deb, a_tj elementni 1 bilan, i -satr va j -ustun qolgan elementlarini nollar bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan determinantga aytiladi, ya’ni a_{t j} elementning algebraik to‘ldiruvchisi quyidagi ko‘rinishga ega:


^a\.\ ^ai,2


a


1,n


a₀₁ a~~ ... a~
2,1 2,2 2,n


a


a


a


n,1


n,2


n,n


a


^ai,l ... ⁰ ... ^ain

1. 
   ... 1 ... 0
   

^an,1 ... ⁰ ... ^an


Berilgan a_{t j} elementning algebraik to‘ldiruvchisi A_{t j} kabi belgilanadi.

1. 
   -xossa. Determinantning qiymati uning ixtiyoriy satri elementlari bilan mos algebraik to‘ldiruvchilari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng, ya’ni
   

det(^A) = OiA + ^ai,2^Ai,2 +...+^aiA,n. (¹⁰¹)
Isbot. Tasdiqni isbotlash uchun determinantni qiyudagi ko‘rinishda yozib olamiz:


51

^a1,1 .	.. ^au	.. ^a1,n			^a1,1 ^.	.. ^au	^.. a1,n
a,l .	.. 0 .	.. 0	+	. +	0 .	. a .	.. 0
i ,1						*,J
a.	.. a .	.. a			a.	.. a .	.. a
n,	^n,J	n,n			n,1	^n,J	n,n

^aM ... ^ai, j -. ^ai,n

1. 
   ... 0 ... a,
   

a ... a ... a
n,1 n, j n,n


a


1.1


a


a


a


n\


n,n


Hosil bo‘lgan determinantlarning i -satrlaridan mos ravishda a_t1, a ₂, • • •, a_in sonlarini determinantlar tashqarisiga chiqazib yozamiz:

		^a1,1	••• ^a1,J	•• ^a1,n
det( A) = an		1	• •• 0	••• 0	+ ••• +
		a	••• a	••• a
		n,1	^n,J	n,n
	^ai,i ••• ^ai, j •••	^a1,n		^a1,1 •••	^a1, J ••• ^a1,n
+^a,	0 ••• 1 •••	0	+ ••• + ^a,,n	0 •••	0 ••• 1
	a ••• a •••	a		a •••	a ••• a
	n,1 n, j	n,n		n,1	n,J n,n

Ushbu determinantlarni algebraik to‘ldiruvchilarga teng ekanligini ko‘rish qiyin emas. Buning uchun birinchi determinantning

1. 
   -satrini -a_n ga ko‘raytirib birinchi satrga, -a₂₁ ga ko‘paytirib ikkinchi satrga, va hokazo -a_n1 ga ko‘raytirib oxirgi satrga qo‘shsak A_{i 1} algebraik to‘ldiruvchi hosil bo‘ladi.
   

Xuddi shunday qolgan determinantlar A_i2, ..., A_in algebraik to‘ldiruvchilarni beradi, Demak,
det(^A) = ^a, i^A_l i + a_h 2Д, 2 +••• + ^a_h nA, n • □
Determinantning ushbu xossasi uni biror satri bo‘yicha yoyish xossasi deyiladi.
Agar det(A) = a An + a 2 A 2 ⁺ •••+a nAn yoyilmada /-satrining elementlarini ixtiyoriy n ta sonlar sistemasi Ъ_Х,Ъ₂, ••••, Ъ_п bilan almashtirsak, hosil bo‘ladigan
ЪДд + ЪЛг + ••• + Ъп4,п (10.2)
ifoda determinantning /-satrini shu sonlar bilan almashtirish natijasida hosil bo‘ladigan ushbu


53

^au ■■■ ^ai, j ■■■ ^ai,

b ■■■ b ■■■ b_n


determinantga teng bo‘ladi.
Demak, biror satr algebraik to‘ldiruvchilarini berilgan n ta
Ь, b₂,■■■■, b_n sonlarga ko‘paytmalarining yig‘indisi shu satr elementlarini berilgan sonlar bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan matritsaning determinantiga teng.
Bu xulosadan quyidagi xossa osongina kelib chiqadi.
10.2 -xossa. Determinantning biror satri elementlarini boshqa bir satr algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmalari yig‘indisiga nolga teng,


ya ni


^ai,A,l ^{+ a}i,2^Ak,2 +■■■+ ^ai,n^Ak,n = ^{0 bu} y^{erda i} * ^k■ (10.3)


Isbot. Ma’lumki,


det( A) =


^ai,i ■■■ ^ai,, ■■■ ^ai,


a,i ■■■ a,., ■■■ a.
i ,1 i, j i,n


^ak 1 ■■■ ^ak, j ■■■ ^ak ,n


a ■■■ a ■■■ a
n,1 n, j n,n


= ^ak,1^Ak,1 ^{+ a}k,2 ^Ak,2 ⁺ ■■■ ^{+ a}k,n^Ak,n ■


a


a


a


n.1


n, j


n,n


Ushbu tenglikning o‘ng tomonidagi ^ak,L^ak,2^,■■■^,ak,n elementlarni mos ravishda ^a_г■д^,ai,2^,■■■^,ai,n lar bilan almashtirsak,

^ai ,1^Ak ,1 + ^ai ,2 ^Ak ,2 + ••• + ^ai,n^Ak ,n =

^a1,1 ••• ^a1, j ••• ^a1,n


a ••• a ••• a

1. 
   i ,J i,n
   

a ••• a ••• a

1. 
   i ,J i,n
   

= 0


a ••• a ••• a
n,1 n, j n
ekanligini hosil qilamiz.
Endi minor tushunchasini kiritamiz. Ushbu mavzuda faqat n -1- tartibli minorni aniqlash bilan chegaralanib, ixtiyoriy tartibli minor ta’rifini keyingi mavzuda keltiramiz.
Determinantning n -1 -tartibli m/nor/ deb, uning i -satr va J - ustunini o‘chirishdan hosil bo‘lgan n -1 -tartibli determinantga aytiladi va A,. . kabi belgilanadi, ya’ni


A- ,j =


a


a


^ai-1,1 ••• ^ai-1, J-1 ^ai-1, J+1 ••• ^ai-1,n


a


^ai+1, j-1 ^ai+1, J+1 ••• ^ai+1,n


a ••• a a ••• a
n,1 n, J-1 n, J+1 n,n

3. 
   tasdiq. A = (-1)”+^J A ya’ni algebraik to‘ldiruvchi unga
   mos n -1 tartibli minor bilan faqat ishoragagina farq qilishi mumkin.
   

Isbot. Tasdiq isbotini dastlab, i = j = 1 bo‘lgan hol uchun
ko‘rsatamiz:
1 0 ••• 0
0 a.. ••• a_n

1. 
   =
   

0a


Determinant ta’rifiga ko‘ra


55

^al,1 ■

■ ^a1,j-1