Algebra va sonlar nazariyasi

0 -1 ... 0 0 0 ... -1


bo‘lib, uning qiymati (-1)ⁿ ga teng. | C |


minor 1,2, ...,n satrlarda va n + \, n + 2, ...,2n ustunlarda
joylashganligi sababli
A = (-1/^C ■ (-1)ⁿ | C |,
S_c ⁼ (1 + 2 +... + /?) + (n + 1 + /7 + 2 + ... + 2/?) = 2/7 — n ~\~ 2/7


bo‘ladi. Demak,


2


A = (-1)ⁿ⁺²ⁿ (-1)ⁿ | C |= (-1)^/n+/n | C |= (-1)^/(n+n) | C |=| C |. Bundan esa | C | = | A | ■ | B | kelib chiqadi, ya’ni | A ■ B | =| A | ■ | B |.

Ushbu teorema bir nechta matritsalarning ko‘paytmalari uchun ham o‘rinlidir, ya’ni

det(Aj • A • ■ • ■ • A_s) = dct A_] • dot •...• det A_s, bu yerda A e M_n (K).
12.2.-teoremadan xos va xosmas matritsalar uchun quyidagi xossalar kelib chiqadi.

1. 
   xossa. a) Xos matritsalar ko‘paytmasi ham xosdir;
   

2. 
   Xosmas matritsalar ko‘paytmasi ham xosmasdir;
   
3. 
   Agar matritsalar ko‘paytmasida biror ko‘paytuvchisi xos matritsa bo‘lsa, u holda ko‘paytma ham xosdir.
   

Biz 8-mavzuda berilgan A kvadrat matritsaning teskarisi tushunchasini kiritgan edik. Endi teskari matritsani topish usulini keltiramiz.

2. 
   teorema. A matritsa teskarilanuvchi bo‘lishi uchun uning xosmas bo‘lishi zarur va yetarli.
   

Isbot. Zaruriyligi. A matritsa teskarilanuvchi bo‘lsin, u holda A^- teskari matritsa mavjud va
A ■ A-¹ = A-¹ ■ A = E.

2. 
   teoremaga ko‘ra,
   

det(A ■ A⁴) = det(E), det( A) ■ det( A¹) = 1.
Ushbu tenglikdan det(A) Ф 0 kelib chiqadi.
Yetarliligi. A matritsa xosmas bo‘lsin. A matritsaning barcha « . elementlari Д. . algebraik to‘ldiruvchilardan n -tartibli
(A,i A, ••• a , ^


A* =


An


(12.2)


matritsani tuzib olamiz. A* matritsaga A matritsaning biriktirilgan matritsasi deyiladi. Endi AA* va A*A ko‘paytmalarni topamiz.


65

Ravshanki,

AA = AA =


(d 0
0 d


0 0


0}
0


(12.3)


bo‘ladi, bu yerda d = det A.
Haqiqatan ham, A matritsani i -satrini A* matritsaning i -ustu- nining mos elementlariga ko‘paytirib qo‘shsak, AA* matritsaning i - satr va i -ustunida
a,A, +a. _nA. , +... + a. A =d
z,l z,l i,2 i,2 i,n i,n
element hosil bo‘ladi.
Xuddi shunday A matritsaning i -satrini A* matritsaning j -ustu- niga mos ravishda ko‘paytirib qo‘shishdan hosil bo‘lgan quyidagi element:
^a.,l^Aj,l ^{+ a}>,2^AJ,2 + • • ■ + ^a.,n^AJ,n’ * ^Ф ]
nolga teng bo‘ladi.
A*A ko‘paytmani ham yuqoridagi kabi hisoblash mumkin.
A matritsa xosmas matritsa bo‘lganligi uchun quyidagi ko‘paytmani qaraymiz.


A-A = -


¹ (AA* ) =¹
dd


(d 0 ... 0^

1. 
   d ... 0
   

0 0


d


(1 0 ... 0^1

1. 
   1 ... 0
   

о 0


1


= E.


Demak, A matritsaga teskari matritsa

A ^A1,1	A,\	A \ n,\
d	d ‘	' d
^A',2	4,2	Aa
~cT	~d~ '	' d
A	An	A,n
V d	d '	d )

bo‘ladi. Teskari matritsa qiyudagi sodda xossalarga ega xossa. a) det(A^4) = det(A) ^1; (A • B)^-1 = B ^l • A"^1; (A-' )■' = A; (A )-'=( a-' )^T (3 ' 3 ^ Misol 12.1. A = matritsaning teskarisini toping. ' -' 0 ' ' \ у Bu matritsaning determinanti | A | = -' ekanligini hisoblash qiyin emas. Demak, A xosmas matritsa bo‘lib, uning teskarisi mavjud. A ning algebraik to‘ldiruvchilari A-,- =(-')'^+ A-,3 =(-')'^+- A2,2 =(-')^2+ A3,' = (-')^3+' -1	0
1	1	= -1,
1
0	1	= 1,
3	3	3, II
0	1
1	3	rW^4 II
JL	0

A',2 =(-')'+^2 A- =(-'f A2,3 = (-')^2+^3 A3,2 =(-')^3+^2 1	0
0	1	= -1,
1	3	= 2,
1	1
3	1	= -3,
0	1
3	^3	= 3,
1	0

67

^A3,3 = ^(_1)